2023年河北省秦皇岛市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年河北省秦皇岛市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

A.1B.0C.-1D.-2

2.设f'(x)在点x0的某邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，则等于()．A.A.2B.1C.0D.-2

3.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

4.A.A.

B.

C.

D.

5.（）。A.

B.

C.

D.

6.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

7.A.A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

8.

9.

10.设y=2-cosx，则y'=

A.1-sinxB.1+sinxC.-sinxD.sinx11.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线12.。A.

B.

C.

D.

13.设f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是()A.A.

B.

C.

D.

14.

15.()A.A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定

16.

17.

18.

19.

20.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.22.

23.

24.设=3，则a=________。

25.

26.

27.

28.

29.设y=lnx，则y'=_________。

30.31.微分方程exy'=1的通解为______．32.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．

33.

34.设y=3x，则y"=_________。35.

36.37.38.39.

40.

三、计算题(20题)41.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．42.

43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．45.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

46.

47.

48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

49.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．50.51.52.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．53.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．58.求微分方程的通解．59.证明：60.四、解答题(10题)61.

62.

63.设z=xsiny，求dz。

64.

65.设

66.

67.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

68.

69.

70.求直线y=2x+1与直线x=0，x=1和y=0所围平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。五、高等数学(0题)71.

_________当a=__________时f(x)在(一∞，+∞)内连续。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A

本题考查的知识点为导数公式．

可知应选A．

2.C本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义．

由于f(x0)为f(x)的极大值，且f'(x0)存在，由极值的必要条件可知f'(x0)=0．从而

可知应选C．

3.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

4.B

5.C由不定积分基本公式可知

6.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

7.C

8.D

9.B

10.D解析：y=2-cosx，则y'=2'-(cosx)'=sinx。因此选D。

11.D本题考查了曲线的渐近线的知识点，

12.A本题考查的知识点为定积分换元积分法。

因此选A。

13.B本题考查的知识点为：若f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用．

注意到A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零．因此A不正确．

由可变上限积分求导公式可知B正确．C、D都不正确．

14.A

15.C

16.B解析：

17.A解析：

18.D解析：

19.B

20.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

21.

本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解．

22.

23.2

24.

25.2

26.

27.

28.eab

29.1/x

30.31.y=-e-x+C本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

由于方程为exy'=1，先变形为

变量分离dy=e-xdx．

两端积分

为所求通解．32.[-1，1

33.(-33)(-3,3)解析：34.3e3x35.3x2

36.

37.

38.

39.

40.(1+x)ex(1+x)ex

解析：41.由二重积分物理意义知

42.

则

43.

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.

46.由一阶线性微分方程通解公式有

47.

48.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％49.函数的定义域为

注意

50.

51.

52.

53.54.由等价无穷小量的定义可知

55.

56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

57.

列表：

说明

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

解析：本题考查的知识点为偏导数运算．66.本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．

积分区域D如图2—1所示．

解法1利用极坐标系．

D可以表示为

解法2利用直角坐标系．

如果利用直角坐标计算，区域D的边界曲线关于x，y地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点．注意

可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对x积分，后对y积分，将简便些．

本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分：

右端被积函数中丢掉了r，这是考生应该注意的问题．通常若区域可以表示为

67.

注：本题关键是确定积分区间，曲线为y2=(x-1)3.由y2≥0知x-1≥0即x≥1，又与直线x=2所围成的图形，所以积分区间为[1，2].

68.

69.解

70.解：设