2017-2018学年高中数学平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版

2.3.4 平面向量共线的坐标表不课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P98〜100,思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线?［新知初探］平面向量共线的坐标表示前提条件a=(xi,yi),b=(x2,y2),其中bwo结论当且仅当xy—x2yi=0时，向量a、b(bw0)共线xiyi［点睛］ (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x2=y2(X2W0，y2WS，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当aw。，b=。时，allb,此时xiy2—X2yi=0也成立，即对任意向量a,b都有：xiy2-X2yi=0?a//b.［小试身手］.判断下列命题是否正确.(正确的打，错误的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z⑴已知a=(xi,yi),b=(X2,v*,若a//b,则必有xiy2=X2yi.( )(2)向量(2,3)与向量(—4,—6)反向.( )答案：(i)V(2)V.若向量a=(i,2),b=(2,3),则与a+b共线的向量可以是( )A.(2,i) B.(―i,2)C.(6,i0) D.(―6,i0)答案：C.已知a=(i,2),b=(x,4),若a//b,则x等于( )i iA.-2B.2C.—2D.2答案：D4.已知向量a=(—2,3),b//a,向量b的起点为A(i,2),终点B在x轴上，则点B的坐标为.答案：7,03课堂讲陈设计，举…能通类题

课堂讲陈设计，举…能通类题题型一向量共线的判定题型一TOC\o"1-5"\h\z［典例］(1)已知向量a=(1,2),b=(入，1),若(a+2b)//(2a—2b),则入的值等于( )A.1 B.1 C.1 D.22 3(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,—3).判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？［解析］(1)法一：a+2b=(1,2)+2(入，1)=(1+2入，4),2a—2b=2(1,2)—2(入，11)=(2—2入，2),由(a+2b)//(2a—2b)可得2(1+2入)―4(2—2入)=0,解得入=2.法二：假设a,b不共线，则由(a+2b)//(2a—2b)可得a+2b=科(2a—2b),从而=2,5 方程组显然无解，即a+2b与2a—2b不共线，这与(a+2b)//(2a—2b)矛盾,R=一2-从而假设不成立，故应有a,b共线，所以4=2,即入=1.人1 2［答案］A(2)［解］AB=(0,4)-(2,1)=(—2,3),CD=(5,—3)—(1,3)=(4,—6),.(—2)X(—6)—3X4=0,..AB,CD共线.又CD=—2AB,aB,CD方向相反.综上，aB与cD共线且方向相反.向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a=入b(bw0)推出a//b.(2)利用向量共线的坐标表达式 X1y2—X2y1=0直接求解.［活学活用］已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a—3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka+b=k(1,2)+(—3,2)=(k—3,2k+2),a-3b=(1,2)—3(—3,2)=(10,-4),若ka+b与a—3b平行，则一4(k-3)-10(2k+2)=0,1 ,,, 1 1 ,, , 一，解得k=— 此时ka+b=—-a+b=—以a-3b),故ka+b与a—3b反向.3 3 31•.k=—W时，ka+b与a—3b平行且方向相反.3

题型二三点共线问题题型二［典例］(1)已知OA=(3,4),OB=(7,12),OC=(9,16),求证：A,B,C三点共线；(2)设向量oA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),当k为何值时，AB,C三占八、、共线？［解］(1)证明：•••AB=OB—OA=(4,8),AC=OC-OA=(6,12),3— ■AC=2AB,即AB与AC共线.又AB与AC有公共点A,，A,B,C三点共线.(2)若A,B,C三点共线，则AB,AC共线，AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),(4—k)(k-12)+7(10—k)=0.解得k=—2或k=11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A,B,C三点是否共线，一般是看AB与"BC,或aB与KC,或AC与BC是否共线，若共线，则 A,B,C三点共线；(2)使用A,B,C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用aC=入bC,或aB=入bC,或aB=入aC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式.［活学活用］设点A(x,1),日2x,2),Q1,2x),D(5,3x),当x为何值时，aB与CD共线且方向相同，此时，A,B,C，D能否在同一条直线上？解：AB=(2x,2)-(x,1)=(x,1),BC=(1,2x)—(2x,2)=(1—2x,2x-2),CD=(5,3x)—(1,2x)=(4,x).由AB与CD共线，所以x2=1X4,所以x=±2.又AB与CD方向相同，所以x=2.此时，AB=(2,1),BC=(-3,2),

而2X2W—3X1,所以AB与BC不共线,所以AB,C三点不在同一条直线上.所以A,B,C,D不在同一条直线上.不需向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCDADLABAB=2AD=2CD过点C作门「cnAB于E,用向量的方法证明：DE//BCTOC\o"1-5"\h\z证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立4E白直角坐标系， .设|aD|=1,则|DC|=1,|aB|=2. ——k\o"CurrentDocument"•••CELAB而AD=DC \\ \••・四边形AEC时正方形，，可求得各点坐标分别为 E(0,0),B(1,0),(W)，D(-1,1)•ED=(-1,1)-(0,0)=(—1,1),BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1),ED=BC,ED//BC,即DE//BC题点二：几何形状的判断.已知直角坐标平面上四点 A(1,0) , B(4,3) , Q2,4) , D(0,2),求证：四边形ABCD是等腰梯形.证明：由已知得， AB=(4,3)-(1,0)=(3,3),CD=(0,2)-(2,4)=(-2,-2).•,3X(-2)-3X(-2)=0,AB与CD共线.AD=(—1,2),BC=(2,4)-(4,3)=(-2,1),••(—1)X1—2X(—2)W0,AD与bC不共线.•・四边形ABCD1梯形.••bC=(—2,1),AD=(-1,2),|BC|=-\[5=|AD|,即BC=AD故四边形ABCD1等腰梯形.题点三：求交点坐标.如图所示，已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和O皎 . 点

P的坐标.解：法一：设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则AP=OP—OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=OC-OA=(2,6)—(4,0)=(-2,6).由AP,AC共线的条件知(4t—4)X6—4tX(—2)=0,3解得t=4」0P=(3,3)・•.P点坐标为(3,3)法二：设P(x,y),则OP=则OP=(x,y),OB=(4,4)OP,OB共线，.■，4x-4y=0.①又CP=(X—2,y—6),CA=(2,—6),且向量cP,cAOP,OB共线，.■，4x-4y=0.①又CP=(X—2,y—6),CA=(2,—6),且向量cP,cA共线，6(x-2)+2(6—y)=0.②解①②组成的方程组，得 x=3,y=3,•••点P的坐标为(3,3).应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向盟化结合题目所给的条件，利用平面向量关系的坐标公式列出有关变量的方程(组)通过解方程(&)求出有关变量转化到原来的几何问题中课后层级训统，步步提升能力层级一学业水平达标.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( )ei=(0,0),e2=(1,—2)ei=(—1,2),e2=(5,7)ei=(3,5),e2=(6,10)D.eD.e1=(2,—3),e2=g，-4)1解析：选BA中向量e为零向量，，e"/e2；C中e1=5e,e//&；D中e1=4金,ei//e2,故选B.2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,入)，若a//AB,则实数入的值为( )2A—32C.3解析：选Ca//AB,根据A,B两点的坐标，可得AB=(3,1),・••2X1—3入=0,解得入=£,解析：选Ca//AB,33.已知A(2—1),B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量 2是( )A.(2,1)B-(一6,-3)C.(-1,2)D.(-4,-8)3.已知A(2—1),B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量 2是( )A.(2,1)B-(一6,-3)C.(-1,2)D.(-4,-8)解析：选DAB=(1,2),向量(2,1)、(一6,—3)、(—1,2)与(1,2)不平彳亍;(—4,—8)与(1,2)平行且方向相反.4.已知向量a=(x,2),b=(3,—1),若(a+b)//(a-2b),则实数x的值为( )-32C.4D.—6解析：选D因为(a+b) //(a-2b)a+b=(x+3,1),a—2b=(x—6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=—6.35.设a=2131,且a//b,则锐角a为( )30°60°45°75°30°60°45°75°解析：选A解析：选A•••a//b,cCOSa=0,cCOSa=0,236.已知向量a=(3x—1,4)与b=(1,2)共线，则实数x的值为解析：•.・向量a=(3x—1,4)与b=(1,2)共线,•.2(3x—1)—4X1=0,解得x=1.答案：17.已知A(—1,4),Rx,—2),若C(3,3)在直线AB上，则x=.解析：AB=(x+1,—6),AC=(4,—1),•••AB//AC-,. (x+1)+24=0,x=23.答案：23.已知向量a=(1,2),b=(―2,3),若入a+科b与a+b共线，则入与科的关系是解析：=a=(1,2),b=(—2,3),•-a+b=(1,2)+(-2,3)=(—1,5),入a+科b=入(1,2)十科(—2,3)=(入一2W，2入+3科)，又(Xa+ b)//(a+b),—1X(2X+3^)-5(X-2^)=0,[1.答案：入=.已知AB,C三点的坐标为(一1,0),(3,—1),(1,2),并且AE=、AC,BF=3■ ■ —"[BC,求证：EF//AB.3证明：设E,F的坐标分别为(玄，y。、(x2,y2),依题意有AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1).AE=1AC，.二(x1+1,y1)=1(2,2).

3 3，点E的坐标为j3,3.同理点F的坐标为l7,0i；EF=l8,-2.333又3X(—1)—4X1—3；=0,EF」AB.10.已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m^入b+c(入为常数).(1)求a+b；(2)若a与m平行，求实数入的值.解：(1)因为a=(2,1),b=(1,1),所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).(2)因为b=(1,1),c=(5,2),所以m=入b+c=入(1,1)+(5,2)=(入+5,入+2).又因为a=(2,1),且a与m平行，

所以2(入+2)=入+5,解得入=1.层级二应试能力达标1.已知平面向量a=(x,1),b=(—x,x2),则向量a+b( )A.平彳T于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平彳T于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线解析：选C因为a+b=(0,1+x2),所以a+b平行于y轴.2.若A(3,—6),B(—5,2),C(6,y)三点共线，则y=(A.13C.9—A.13C.9D.-9解析：选DA,B,C三点共线,AB//AC,AB//AC,而AB=(-8,8),AC=(3,y+6),8(y+6)—8X3=0,即y=-9..已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(keR),d=a—b,如果c//d,那么( )k=1且c与d同向k=1且c与d反向k=—1且c与d同向k=—1且c与d反向解析：选D.2=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,—1),显然，c与d不平行，排除A、8.若卜=-1,则c=—a+b=(—1,1),d=a—b=—(—1,1),即c//d且c与d反向..已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 (一1,0),(3,0),(1,—5),则第四个顶点的坐标是( )(1,5)或(5,5)(1,5)或(—3,-5)(5,—5)或(—3,—5)(1,5)或(5,—5)或(—3,-5)解析：选D设丹一1,0),B(3,0),C(1,—5),第四个顶点为D,①若这个平行四边形为？ABCD则AB=DC, D[-3,—5);②若这个平行四边形为？ACDB则AC=bD, D(5,-5);③若这个平行四边形为？ACBD则AC=则AC=DB•••中,5)综上所述，D点坐标为(1,5)或(5,—5)或(—3,—5)..已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,—3),BC//DA,则x+2y的值为.解析：••・AD=AB+BC+CD=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),DA=—AD=—(x+4,y—2)=(—x-4,—y+2).BC//DA,1-x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案：06.已知向量OA=