【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念（1）4.2.1等差数列的概念（1）能说出等差数列、等差中项的概念。会用等差数列的通项公式解决简单问题。能用定义判断一个数列是否为等差数列。1.数列的定义：按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.2.数列的通项公式：如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式。如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.3.数列的递推公式：知识回顾情景引入

1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①情景引入

2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题1情景引入观察数列①②③你能发现他们的规律吗？？解：对于数列①发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…如果

用表示数列①，则有：问题1情景引入观察数列①②③你能发现他们的规律吗？？解：对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。学习新知问题2什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。学习新知问题2什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？对定义的理解：两个个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”条件从第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示学习新知等差数列的符号语言：

an－an-1

=

d

(d是常数,n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(d是常数,n∈N*)注意：1.判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an

是不是同一个常数.2.公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.

学习新知问题3你能判断下列数列是否为等差数列吗？公差是3(3)1,1,1,1,1；公差是0(2)6，4，2；公差是-2(1)4，7，10，13，16;(4)-3，-2，-1，1，2，3.d>0

增数列d<0

减数列d=0

常数列是是是不是问题4学习新知如果在数

与

中间插入一个数

，使

，

，

成等差数列，那么应满足什么条件？由等差数列定义，有

,所以

，即我们把

叫做

和

的等差中项。

和

的等差中项是它们的算术平均数。【诊断分析】

判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等差数列. (

)(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列.(

)课前预习×√[解析]该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.[解析]当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列.(3)任意两个实数都存在等差中项.(

)(4)若a,b,c是等差数列,则c,b,a也是等差数列.(

)(5)常数列是等差数列.()(6)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(){an}不一定是等差数列，忽略了第1项.课前预习√√

√×学习新知问题5你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？设数列

的首项为

，公差为

，则由定义可得：学习新知你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？追问1?学习新知你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？追问1?归纳可得：当

时，上式为首项为

，公差为

，的等差数列

的通项公式为：学习新知追问2?还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？......一共有n-1个等式，将它们进行累加，有即首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d等差数列的通项公式a1,an,n,d知三求一am=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dam=?an-am

=?思考学习新知你能写出以下数列的通项公式吗？追问3?（1）5，9，13，17，21；（2）9，7，5，3，1，-1；（3）6，6，6，6，6，6；

学习新知

追问4?

学习新知问题6观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？答：

学习新知 ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.(k＋b)k②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,f(2)＝2k＋b,…,f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为____.

等差数列与一次函数的关系125a1xf(x)O346a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)学习新知12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)结论：当d＞0时，数列{an}单调递增;当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列.探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？【诊断分析】

1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若数列{an}满足an=kn+b(k,b为常数),则{an}一定是等差数列.(

)(2)若数列{an}满足an=n2,则{an}是等差数列.

(

)课前预习√[解析]因为当n≥2时,an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=k,为常数,所以{an}一定是等差数列.×[解析]因为an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,所以由等差数列的定义可知{an}不是等差数列.(3)在等差数列{an}中,an=3n+2,则等差数列{an}的公差是3.(

)(4)各项都为正数的等差数列的公差一定大于0.(

)课前预习√[解析]因为a1=5,a2=8,所以公差d=a2-a1=8-5=3.×[解析]首项为正数的常数列是各项都为正数的等差数列,但公差等于0.例题练习，巩固知识

例1

例题练习，巩固知识还有其他方法求公差吗？追问1?

例题练习，巩固知识你能直接从通项公式看出公差的值吗？追问2?由于等差数列的通项公式是关于n的一次函数，一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值。所以数列的首项为3，公差为-2。例题练习，巩固知识求等差数列8，5，2，...的通项公式和第20项，并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？例2

优化设计大本【例2】(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2020项.(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2

020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.优化设计大本(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即优化设计大本角度2

等差数列的证明(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.分析先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.优化设计大本优化设计大本优化设计小本优化设计小本[探索]如何利用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列?探究点一用定义判断等差数列课中探究解:利用定义,只需验证an+1-an是否为同一个与n无关的常数,若是,则为等差数列,否则就不是等差数列.例1判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.课中探究解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,为常数,所以这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.

课中探究D[解析]设数列{an}的公差为d,选项A,B,C都不一定满足bn-bn-1为同一常数,所以这三个选项都是错误的.

(2)若数列{an}满足2nan=2n+1an+1-1,且a1=1,则an=

.

课中探究

例2已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为

,

,

.

探究点二等差中项及其应用课中探究

5-1-4

课中探究C

课中探究拓展

已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=

.

21[探索]具备哪些条件可以确定等差数列的通项公式?探究点三

等差数列的通项公式课中探究解:由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以确定通项公式.

课中探究

D变式1

已知等差数列{an}的公差为d,且a11=-26,a51=54,求a14的值,并判断该数列从第几项开始为正数.课中探究

课