八年级(上)期中数学试卷4

八年级（上）期中数学试卷4

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选选项，其中有且

只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑.

1.（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车己成为出行新方式.下列共享单车图标，是轴

A.3,4,8B.5,6,11C.6,6,6D.9,9,19

3.（3分）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

4.（3分）如图，ZVIBC之则NE的度数为（）

5.（3分）平面直角坐标系中点（-2,1）关于y轴对称的点的坐标为（）

A.（-2,-1）B.（2,1）C.（-1,2）D.（1,-2）

6.（3分）如图，已知则添加下列一个条件不能使△ABC丝的是（）

A.AC=ADB.BC=BDC.NC=NDD.NABC=NABD

7.（3分）如图，在△ABC中，QE垂直平分8c交AB于点E,若BQ=5,ZiABC的周长

8.（3分）如图，4。是△ABC的中线，E是AO上一点，BE交AC于凡EF=AF,BE

9.（3分）如图，8P是NABC的平分线，AP_LBP于P,连接PC,若△ABC的面积为la/,

则△PBC的面积为（）

10.（3分）如图，AD为等边AABC的高，E、尸分别为线段A。、AC上的动点，且AE=

CF,当8F+CE取得最小值时，ZAFB=（）

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这

样做的道理是.

12.1（3分）若一个多边形的每个外角都为36°,则这个多边形的内角和是_______

13.（3分）用一条长18c机的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cm,则所围成等腰

三角形的底边长为cm.

14.（3分）己知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB=AC.将纸片沿过点B的直线折

叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）.再将纸片沿过点E的直线折

叠，点A恰好与点。重合，折痕为EF（如图丙）.原三角形纸片A8C中，NABC的大

小为_______

15.（3分）如图,△4BC中，ZACB=90°,CQ是高，若NA=30°,30=1,则AD=

16.（3分）如图，在RtZiABC中，ZC=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得

它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多

为.

三、解答题(共8小题，共72分)

17.(8分)如图，ZB=40°,ZA+10°=/1,/ACZ)=65°.求证：AB//CD.

18.(8分)如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC,AF与。E交于点G,

求证：GE=GF.

19.(8分)如图.ZXABC中，CA=CH.。是4B的中点.NCED=NCFD=9Q°,CE=

CF,求证：ZADF=ZBDE.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△A8C的顶点坐标分别为4(2,3),B(1,1),

C(2,1).

(1)画出△ABC关于x轴对称的△4BiG，并写出点4的坐标为；

(2)将AABC向左平移4个单位长度得到282c2，直接写出点Q的坐标为:

(3)直接写出点B关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为-1)对称点B'的坐标

为；

_LAC于F,EF交BC于G.

(1)求证：BE=CF；

(2)若NE=40°，求NAG2的度数.

22.(10分)如图，在等边△ABC中，。是A8上一点，E是BC延长线上一点，AD=CE,

DE交AC于点F.

(1)求证：DF=EF；

(2)过点。作。HLAC于点〃，求明.

AC

23.(10分)如图，已知AC=BC,点。是3c上一点，ZADE^ZC.

EE

E

CDB

°图13°D图25

图3

(1)如图1,若NC=90°,NDBE=135°,求证：①NEDB=NCAD,②DA=DE；

(2)如图2,若NC=40°,DA=DE,求NOBE的度数；

(3)如图3,请直接写出NQBE与NC之间满足什么数量关系时，总有D4=Q£成立.

24.(12分)在平面直角坐标中，等腰RtZkABC中，AB=AC,NCAB=90°,A(0,a),

B(b,0).

(1)如图1,若V2a-b+(。-2)2=0,求△A3。的面积；

(2)如图2,AC与x轴交于。点，8c与y轴交于E点，连接£>E,AD^CD,求证：

NADB=NCDE；

(3)如图3,在(1)的条件下，若以P(0,-6)为直角顶点，PC为腰作等腰RtZXPQC,

连接8Q,求证：AP//BQ.

八年级（上）期中数学试卷4

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选选项，其中有且

只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑.

1.（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式.下列共享单车图标，是轴

对称图形的是（）

C.D.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形.故选项正确；

8、不是轴对称图形.故选项错误；

C、不是轴对称图形.故选项错误；

。、不是轴对称图形.故选项错误.

故选：A.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图

象折叠后可重合.

2.（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,IIC.6,6,6D.9,9,19

【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三

角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长

度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

【解答】解：由3,4,8,可得3+4V8,故不能组成三角形；

由5,6,11,可得6+5=11,故不能组成三角形；

由6,6,6,可得6+6>6,故能组成三角形；

由9,9,19,可得9+9<19,故不能组成三角形；

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要

列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条

线段能构成一个三角形.

3.（3分）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【分析】根据从“边形的一个顶点可以作对角线的条数为（〃-3）,求出边数即可得解.

【解答】解：•••多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，

3=4,

解得n=l.

即这个多边形是七边形，

故选：C.

【点评】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键.

4.（3分）如图，△ABC会△£）£：「，则NE的度数为（）

【分析】根据全等三角形的性质得出/尸=/C=62°,/£>=NA=80°,根据三角形的

内角和定理求出NE的度数即可.

【解答】解：：△ABC也△£）£'£ZA=80°,NC=62°,

：.ZF=ZC=62°,Z£）=ZA=80°,

；./£•=180°-ZD-ZF=180°-80°-62°=38°,

故选：D.

【点评】本题考查了对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三

角形的对应边相等，对应角相等.

5.（3分）平面直角坐标系中点（-2,1）关于），轴对称的点的坐标为（）

A.(-2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,-2)

【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x,

y）关于y轴的对称点的坐标是（-x,y）.

【解答】解：点（-2,1）关于y轴的对称点的坐标是（2,1）,

故选：B.

【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规

律：

（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.

（2）关于），轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.

6.（3分）如图，已知/。48=/。48,则添加下列一个条件不能使448（7丝2\48。的是（）

A.AC=ADB.BC=BDC.NC=NDD.NABC=NABD

【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,已知有和隐

含条件AB=AB,看看再添加的条件和以上两个条件是否符合全等三角形的判定定理即

可.

【解答】解：A、：在△ABC和中

"AC=AD

-ZCAB=ZDAB

,AB=AB

...△ABCg/XABO（SAS）,正确，故本选项错误；

B、根据AB=AB和NCA8=NZMB不能推出两三角形全等，错误，故本选项

正确；

C、,在△4BC和△ABO中

rZC=ZD

<ZCAB=ZDAB

LAB=AB

.♦.△ABC丝△ABO（A4S）,正确，故本选项错误；

D、•.•在△A8C和△A3。中

，ZCAB=ZDAB

.AB=AB

,ZDBA=ZCBA

AAABC^AABD（ASA）,正确，故本选项错误；

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,

AAS,SSS.

7.（3分）如图，在△48C中，OE垂直平分BC交AB于点E,若B£）=5,△4BC的周长

为31,则△4CE的周长为（）

【分析】先根据DE是线段BC的垂直平分线得出BE=CE,即BE+AE=CE+AE=AB,

再由aACE的周长=A8+AC即可求出答案.

【解答】解：•••DE是线段8c的垂直平分线，

:.BE=CE,BC=2BD=IO,BPBE+AE=CE+AE=AB,

Z\A8C的周长为31,

ZVICE的周长=4B+AC=31-10=21.

故选:B.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等.

8.（3分）如图，AD是△A8C的中线，E是AO上一点，BE交AC于F,若EF=AF,BE

=7.5,CF=6,则EF的长度为（）

A.2.5B.2C.1.5D.1

【分析1延长AC,使OG=A。，连接BG,由“SAS”可证△ADC丝△GO8,可得AC=

OG=CF+AF=6+AF,/DAC=NG,由等腰三角形的性质可得BE=BG=75,即可求

EF的长.

【解答】解：如图，延长A。，使。G=4D,连接BG,

V

G

是△ABC的中线

：.BD=CD,KDG=AD,NADC=NBDG

.♦.△AOC丝ZXGOB（SAS）

：.AC=DG=CF+AF=6+AF,ND4C=NG

'：EF=AF,

ZDAC=ZAEF

:.NG=NAEF=NBEG

：.BE=BG=1.5

；.6+4尸=BG=7.5

：.AF=l.5=EF

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构

造全等三角形是本题的关键.

9.（3分）如图，8P是NABC的平分线，于P,连接PC,若△ABC的面积为la/,

则△P5C的面积为（)

A

C.0.6cm?D.不能确定

【分析】延长AP交3c于E,根据已知条件证得3P也△E3P,根据全等三角形的性

质得至|JAP=PE,得出SAABP=SAE"，SAACP=SAECP，推出SAPBC=^AABC，代入求出

即可.

【解答】解：如图，延长AP交8C于E,

平分NA8C,

NABP=NEBP,

APIBP,

:.NAPB=NEPB=90°,

.♦.△ABP且AEBP(ASA),

：.AP=PE,

♦•S&ABP=SAEBP，S&ACP=SAECP，

，S^PBC=A/\ABC=LX1=0.5(cm2),

22

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高

的三角形的面积相等.

10.(3分)如图，A£＞为等边aABC的高，E、F分别为线段A。、AC上的动点，且AE=

CF,当BF+CE取得最小值时，NAFB=()

B

D

A.112.5°B.105°C.90°D.82.5°

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△4£C丝△CF”，得CE=FH,将CE

转化为F”，与5尸在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即尸

为AC与3”的交点时，BF+CE的值最小，求出此时NAF8=105°.

【解答】解：如图，作CH_LBC,且CH=8C,连接3H交A。于M,连接FH,

•「△ABC是等边三角形，AD1.BC,

：.AC=BC,ZDAC=30°,

：・AC=CH,

VZBCW=90°,ZACB=60°,

—”=90°-60°=30°,

：.ZDAC=ZACH=30°,

•；AE=CF,

：.△AEgXCFH、

:.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

・・・当月为AC与3〃的交点时，如图2,BF+CE的值最小，

此时NF8C=45°,ZFCB=60°,

AZAFB=105°,

故选：B.

图2

图1

【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键

是作出辅助线，当8尸+CE取得最小值时确定点尸的位置，有难度.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这

样做的道理是利用三角形的稳定性.

1【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边

形的形状就不会改变.

【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性.

【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的

应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助

线转化为三角形而获得.

12.（3分）若一个多边形的每个外角都为36°,则这个多边形的内角和是1440°.

【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°,可求出此正多

边形的边数为10.然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和.

【解答】解：；此正多边形每一个外角都为36°,

360°+36°=10,

此正多边形的边数为10.

则这个多边形的内角和为（10-2）X18O0=1440°.

故答案为：1440.

【点评】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°.

13.（3分）用一条长18c机的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cM则所围成等腰

三角形的底边长为2或8cm.

【分析】由用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为8CH,可以分别

从①若8cm为底边长，②若8c机为腰长时，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是

否能组成三角形，继而可求得答案.

【解答】解：①当8c/n为底边时，

设腰长为xcm,

则2x+8=18,

解得：x=5,

5,5,8能构成三角形，此时底边为8c〃7；

②当8cm为腰长时，

设底边长为ycm,

则y+8X2=18,

解得：y=2,

8,8,2能构成三角形，此时底边为2cvn

故答案为2或8.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系.此题比较简单，解题的关

键是注意分类讨论思想的应用.

14.（3分）已知一张三角形纸片A8C（如图甲），其中A8=AC.将纸片沿过点8的直线折

叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为8。（如图乙）.再将纸片沿过点E的直线折

叠，点A恰好与点。重合，折痕为EF（如图丙）.原三角形纸片ABC中，N4BC的大

【分析】设根据翻折不变性可知NA=NED4=x,ZC=ZBED=ZA+ZEDA

=2x,利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：设NA=x,根据翻折不变性可知/A=NED4=x,ZC—ZBED—ZA+Z

EDA.=2x,

•：AB=ACf

：.ZABC=ZC=2x,

VZA+ZA^C+ZC=180°,

/.5x=180°,

：.x=36°,

JZABC=12Q

故答案为72

【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思

想思考问题，属于中考常考题型.

15.（3分）如图，ZVIBC中，/ACB=90°,CZ）是高，若乙4=30°,8£）=1,则AO=3.

【分析】求出/BC〃=30°,根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2,求出AB

=4,即可得出答案.

【解答】解：:△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,

，/8=60°,

•••CD是高，

ZCDB=90°,

：.ZBCD=30Q,

,:BD=l,

：.BC=2BD=2,

•..在AACB中，ZACB=90°,NA=30°,

：.AB=2BC^4,

：.AD=AB-BD^4-1=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此

题的关键是得出BC=28。和AB=2BC,难度适中.

16.（3分）如图，在RtZ\ABC中，/C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得

它的第三个顶点在△A8C的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为」

个.

CB

【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交A8于点。，就是等腰三角形;

②以A为圆心，AC长为半径画弧，交A8于点E,aACE就是等腰三角形；

③以C为圆心，8c长为半径画弧，交AC于点F,△BCF就是等腰三角形；

④以C为圆心，8c长为半径画弧，交A3于点K,△BCK就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分线交AC于G,则AAGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分线交AB于I,则△BC/和△AC/是等腰三角形.

【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形；

故答案为7.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能

力.

三、解答题（共8小题，共72分）

17.（8分）如图，ZB=40°,ZA+10°=ZLZACD=65°.求证：AB//CD.

【分析】根据三角形内角和定理求出N4,进而求出/ACD=/A,根据平行线的判定得

出即可.

【解答】证明：VZB+Z1+ZA=18O°,NB=40°,ZA+1O0=Z1,

.\40°+ZA+100+ZA=180°,

：.ZA=65°,

・248=65°,

：.ZACD=ZA,

：.AB//CD.

【点评】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用定理进行

推理是解此题的关键.

18.(8分)如图，点E、尸在8c上，BE=CF,A8=DC,NB=NC,AF与DE交于点、G,

【分析】求出BF=CE,根据SAS推出△4斯丝得对应角相等，由等腰三角形的

判定可得结论.

【解答】证明：

：.BE+EF=CF+EF,

：.BF=CE,

在△A8F和△OCE中

'AB=DC

•NB=NC

,BB=CE

A/XABF^ADCE(SAS),

NGEF=ZGFE,

：.EG=FG.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全

等的判定方法是解题的关键.

19.(8分)如图.△ABC中，CA=CB.。是AB的中点.NCED=NCFD=90°,CE=

CF,求证：ZADF=ZBDE.

【分析】连接C£),证得丝△k£>,得出NCQF=N8E,利用等腰三角形的''三

线合一”得出/CZM=/C£>8=90°,进一步求得结论即可.

【解答】证明：如图，

连接CD,

在RtAECD和RtAFCD中，

<fCF=CE>

ICD=CD'

.•.RtAECD^RtAFCD,

:.NCDF=NCDE,

'：CA=CB,。是AB的中点，

J.CDLAB,

：.ZCDA=ZCDB=W°,

NADF=NBDE.

【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的判定方

法是解决问题的关键.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),

C（2,1）.

（1）画出△A8C关于x轴对称的△A8iC”并写出点4的坐标为（2,-3）；

（2）将△ABC向左平移4个单位长度得到282c2，直接写出点C2的坐标为（-2,

1）;

（3）直接写出点8关于直线"（直线〃上各点的纵坐标都为-1）对称点8,的坐标为（1,

~3）；

（4）在〉，轴上找一点P,使以+尸8的值最小，标出尸点的位置.（保留画图痕迹）

【分析】（1）根据轴对称的定义作出点A,B,C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得;

（2）根据平移变换的定义作出点A,B,C向左平移4个单位得到的对应点，再顺次连

接可得；

（3）先得出直线〃的解析式，再作出点8关于直线〃：y=-l的对称点，据此可得;

（4）连接A28与），轴交点就是尸点.

【解答】解：（1）如图所示，△4B1G即为所求，点Ai的坐标为（2,-3）,

VA

故答案为：（2,-3）.

（2）如图所示，Z\A282c2即为所求，点C2的坐标为（-2,1）,

故答案为：（-2,1）.

（3）由题意知直线〃的解析式为y=-1,

则点8关于直线"的对称点夕的坐标为（1,-3）,

故答案为：（1,-3）.

（4）如图所示，点尸即为所求.

【点评】此题主要作图-轴对称变换与平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点的

对称点位置及轴对称变换的性质.

21.（8分）如图，在RtZ\ABC中，/ABC=90°,延长A8至E,使AE=AC,过E作EF

_L4c于凡EF交BC于G.

（1）求证：BE=CF；

（2）若NE=40°,求/AG8的度数.

【分析】(1)首先证明△ABC丝ZVIFE,推出AB=AF,即可解决问题.

(2)在RtZ\BEG中，NBGE=90°-ZE=50°,推出NBGF=130°,由RtZ^AGF也

RlAAGB,推出/AG8=NAGF=L/BGF即可解决问题.

2

【解答】证明：(1)；/ABC=90°,EFLAC,

：./A8C=NAFE=90°

在△AEF与AACB中

'/EAF=/CAB

<NABC=NAFE=90°，

AE=AC

AAAEF^AACB(A45)

：.AF=AB,

：.BE=CF-,

(2)VAABC^AAFE,

：.AB=AF,

在RtAAGF和RtAAGB中，

[AG=AG

IAF=AB

.•.RtAAFG^RtAABG(HL)

在RtZXBEG中，NBGE=90°-/E=50°,

AZBGF=130°,

VRtAAGF^RtAAGB,

/AGB=NAGF=L/BGF=65°.

2

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是

熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型.

22.(10分)如图，在等边△ABC中，。是4B上一点，E是BC延长线上一点，AD=CE,

DE交4c于点F.

(1)求证：DF=EF；

(2)过点。作。H_LAC于点H,求明.

AC

【分析】(1)过点。作。G〃8c交AC于点G,根据全等三角形的判定和性质解答即可;

(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可.

.4

/\H

【解答】证明：(1)过点。作。G〃BC交AC于点G,5CE

AZADG=ZB,ZAGD=ZACB,ZFDG=ZE,

△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,/B=/ACB=/A=60°,

.•.N4=NAOG=NAG£>=60°,

△ADG是等边三角形，

：.DG=AD,

'：AD=CE,

：.DG=CE,

在△QFG与中

'NDFG=NEFC

<ZFDG=ZE

DGXE

:.△DFG运/\EFC(A4S),

:.DF=EF；

(2):△AOG是等边三角形，AD=DGDHLAC,

:.AH=HG=1AG,

2

又,：△DFGQAEFC,

:.GF=FC=LGC

2

“尸="G+GF=LG+LGC=LC,

222

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压

轴题

23.(10分)如图，已知AC=BC,点。是BC上一点，ZADE^ZC.

(1)如图1,若NC=90°,ZDBE=\35°,求证：®ZEDB=ACAD,@DA=DE,

(2)如图2,若NC=40°,DA=DE,求/OBE的度数；

(3)如图3,请直接写出NQBE与/C之间满足什么数量关系时，总有OA=Z)E成立.

【分析】(1)①根据三角形的内角和及平角的定义可得结论；

②如图1,作辅助线，构建等腰直角三角形，利用ASA证明△AFD会(ASA),可

得结论；

(2)方法一：如图2,同理作辅助线，证明△AG。丝△QBE(SAS),得NAGD=NDBE

=110°；

方法二：如图2,延长。B到点“使OH=AC,连接E”，证明△ACD丝(SAS),

得NC=NH=40°,CD=EH,再根据已知证明CQ=B”=EH,可得结论；

(3)同理作辅助线，证明△AFD丝△OBE(SAS),根据三角形的外角和三角形内角和定

理可得结论.

【解答】(1)证明：@VZADE=ZC,

AZCAD=180°-AC-ZADC,

NEDB=180°-AADE-AADC,

：.ZCAD^ZEDB-,

②在4c上截取CF=CO,连接尸。，(或在4c上截取AF=BD,连接尸£))

VZC=90°,

：.ZCFD=ZCDF=45°,

；.24尸。=135°=NDBE,

'：AC=BC,

：.AC-CF=^BC-CD,即：AF=BD,

由①知：ZCAD=ZBDE,

:AAFD学4DBE(ASA),

:.DA=DE；

(2)方法一：如图2,在AC上截取4G=DB,连接GO(在AC上截取CG=CD,连接

GD),

A

GE

・.,AC=8C,

：.AC-AG=BC-BDg|J：CG=CD,

：./CG£>=ZCDG=1^__z-C-=70°，

2

；DA=DE,NCAD=NEDB(己证)，AG=DB,

:.△AGD/ADBE(SAS),

：.ZAGD=ZDBE=\\00；

方法二：如图3,延长OB到点H使OH=AC,连接E”,

'：ZCAD^ZBDE,AD=DE,

：.^\ACD^/\DHE(SAS),

.*.NC=N"=4()°,CD=EH,

"：AC=BC=DH,

：.CD=BH=EH,

:.NHBE=NHEB=70°,

：.ZDBE=\\Q°；

(3)当/O8E=90°+L/C时，总有D4=£>E成立；

2

理由