三角形五心性质

一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．重心是三角形的三条中线的交.（心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交.三形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内:1直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之.2、

为

ABC

所在平面上任意一点，点

是

内心的充要条件是：向量PO

(PC)a

.3、为角形的内心，、、C分为三角形的三个顶点，延长AO交边于

，则有

:AB:BNAC:AB

重:1重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶2、心和三形3个点组成3个角形面积相.即心到三条边的距与三条边的长成反比.3、心到三形3个点距离的平方和最.4、平面直坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为xyy(12,)33

.外:1当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重2、

是

ABC

的外心，则

BOC

（

为锐角或直角）或BOC0

（

为钝角）3、算外心坐标应先计算下列临时变量：d，，分是三角形三个顶点连3向另外两个顶点向量的点乘cd，cddc12332123

.重心坐标：

(

cc23312)2c2c2

.4、心到三点的距离相./

垂:1三角形三个顶点，三个垂足，垂心这个可以得到6个点圆.2、角形外

、重心

和垂心

H

三点共线，且

:GH2

.（此直线称为三角形的欧拉线（line））3、心到三形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、心分每高线的两部分乘积相.旁:1每个三角形都有三个旁.2、心到三的距离相.

OC注三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心外心，垂心，四心合一。三、三角形五心性质证明垂心：已知ΔABCADBE是条高AD、BE交点O连接CO并长交AB于点F，证CF⊥.证明：连接DE∵ADB=∠AEB=90A、B、、E四共圆∴∠ADE=∠∵∠EAO=∠∠AEO=ADC∴ΔAEOΔADC∴AE/AO=AD/AC∴∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=ABE又∵∠∠度∴∠ACF+∠BAC=90度∴⊥重心:三角形的重心到顶点的距是它到对边中点距离的两证明：如图：△ABC中D为BC中点，为AC中，AB中点G为△重心做BG中H，GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且2HI=BC同理：是△中线∴FE//BC,且2FE=BC∴FE//HI,且FE=HI∴四边形是行四边形∴HG=GE又H为BG的点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心/

三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名“心，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四共圆图中有，细心分析可找清内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆心“内心”如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是.3/6

五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于心到对边的距离的二下面是更为详细的性质：、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心角形垂心有下列有趣的性质：ABC的三条高为AD、、，其中D、、F垂足,心为H。性质垂H关三边的对称，均ABC的外接圆上。性质2中,有六组四点共，有三组AH·HD=BH·HE=CH·HF

(组四个)相似的直角三角形，且性质H、A、、四中一点是其余三点为顶点的三角形的垂(并称这样的四点为一垂心组。性质ABH,BCH,ACH的接圆是等圆。性质5在直角三角形过H的线交所在直线分别于AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。性质三形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的倍性质设H分别的心和垂心，则∠，∠OBC∠∠。性质8锐三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的倍性质锐三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角顶点在原三角形的边上中，以垂足三角形的周长最短。/

、内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心三形三个角平分线的交点心下列优美的性质：性质设I为的心则I为内心的充要条件是：三边的距离相等。性质设I为的心则∠A，类似地还有两式；反之亦然。性质设I为内点所直线ABC的外接圆于D心的充要条件是ID=DB=DC性质设I为的心，，AB=c，I、AC上射影分别为E；切圆半径为r，令p=(1/2)(a+b+c)，(ABC=pr(2)r=2S；；。性质5三形一内角平分线其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为的A平线AD(DABC的接圆上)上的点，且DI=DB，则IABC内心。性质设I为的心AB=c∠A的平分线交BC于K,交的外接圆于D则AI/KI=AD/DI=DI/DK(b+c)/a。、外心三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。心有如下一系列优美性质：性质三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。性质设为ABC外心，则A，或∠BOC=360°-2∠A(还两式。性质设角形的三条边长圆的半径积别为ac,R、eq\o\ac(△,S)性质ABC的心O任一直线与边、AC(或延分别相交于Q两，则AB/AP。性质锐三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。、重心性质设G的心内点Q在BC、CA上的射影分别为D、E、，则当Q与重时QD·QE·QF最；反之亦然。性质设G为