大一学习物理振动和波动

2023/3/9LectureNotesWY1ChapterXVII:Oscillation振动

notVibration17.1简谐运动harmonicoscillation的描述Description

简谐运动的动力学方程

dynamicequation17.2简谐运动与匀速圆周运动

uniformvelocitycircularmotionMaincontent:2023/3/9LectureNotesWY217.4简谐运动的能量

TheEnergyofHarmonicOscillation17.5单摆的微小振动

Minuteoscillationofasinglependulum17.8同一直线straightline上同频率

frequency的简谐运动的合成

synthesis2023/3/9LectureNotesWY3实例：

·双簧管(oboe)·钢琴(piano)

单簧管（clarinet）

调音师

振动的现象与我们常伴2023/3/9LectureNotesWY4小号发出的波足以把玻璃杯振碎2023/3/9LectureNotesWY51940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年7月的一场大风引起桥的共振,桥被摧毁。a.mpeg2023/3/9LectureNotesWY62.振动有各种不同的形式：

机械振动：位移x随时间t的往复变化

电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化

微观振动：如晶格点阵上原子的振动

广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。

Generalized1.振动:是一种重要的运动形式日本地震.flv2023/3/9LectureNotesWY7振动分类受迫振动自由振动阻尼自由振动阻尼弹簧减震器.jpg

无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动(简谐振动)(SimpleHarmonicOscillation)

2023/3/9LectureNotesWY81.振动：振动的基本形式—简谐振动2.机械振动的研究:运动学—位移,速度,加速度,周期,频率。动力学—力,能量。oscillationtx平衡位置equilibriumposition

附近作周期性来回往复的运动

periodicmotion振动的成因:回复力。平衡位置的回复力总为零。钟摆、活塞、波浪、琴弦、交流电、脑电波、生物钟2023/3/9LectureNotesWY917.1简谐振动的描述1.简谐振动—x随t按正弦或余弦变化-edu-dgkt-index.htm简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化xmox水平弹簧振子2023/3/9LectureNotesWY10表达式(运动学方程)2.振动方程Intrinsicfrequency2023/3/9LectureNotesWY11x—位移displacement

—质点particle对于平衡位置的位移。A—振幅amplitude

—质点到平衡位置的最大位移。—初相位initialphase—t=0时的位相w—圆频率angularfrequency

—2秒内的振动数。wt

+—相位phase—反映质点的运动状态(x,φ，v)。2023/3/9LectureNotesWY123.振动曲线：4.速度和加速度：由描述txav

v、x哪个超前？2023/3/9LectureNotesWY13t+

0/2

3/22

x(t)

A0-A0A

(t)0-A0

A0

a(t)-2A02A0-2A

2023/3/9LectureNotesWY14t=0时刻的振动状态(x0，0)

x0

=Acos，0

=-Asin要熟记典型

值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。

0

/2

3/22

x0A0-A0A

00-A0

A02023/3/9LectureNotesWY15oA-Atx=0T(a)Ax0=AxmooA-Atx=/2x0=0T(b)xmo2023/3/9LectureNotesWY16弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线

xoA-At

=xmo-Ax0=-ATc)oA-At=3/2(或-/2)

Txx0=0xmod)2023/3/9LectureNotesWY17

由x=Acos(t+)

已知表达式A、T、

已知A、T、

表达式简谐振动的描述方法1.解析法(由振动表达式来求参数)2023/3/9LectureNotesWY18

已知振动曲线

A、T、已知A、T、

振动曲线oA-Atx=/2T

用振动曲线描述简谐振动

2.曲线法(由振动曲线来给出)2023/3/9LectureNotesWY193.旋转矢量法(rotationalvector)(优先选用)AAt+oxxt=tt=0x=Acos(t+)·

旋转矢量图(1)·旋转矢量长度=A；

·以为角速度绕o点逆时针旋转；

·t=0时矢量与x轴的夹角为初相(2)矢量端点：在x轴上的投影做简谐振动2023/3/9LectureNotesWY20·相位差相位之差

=(t+2)-(t+1)·对两同频率的简谐振动，相位差等于

初相差（initialphasedifference)，

=2

-1相位差

PhaseDifference1.相位差和初相差2023/3/9LectureNotesWY21x2TxoA1-A1A2-

A2x1t反相xoA1-A1A2-

A2x1x2Tt同相

(a)两同相振动的振动曲线

(b)两反相振动的振动曲线

·当

=2k，

(k=0,1,2,…)，

两振动步调相同，称同相(in-phase)。·当

=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，

两振动步调相反，称反相(anti-phase)。2.同相和反相2023/3/9LectureNotesWY22若

=2-1>0,

则x2比x1较早达到正最大，称x2比x1领先

(或x1比x2落后)。·领先、落后以<的相位角(或以<T/2的时间间隔)来判断。

xx2ToA1-A1A2-

A2x1t振动的领先与落后

3.领先和落后2023/3/9LectureNotesWY23辅助曲线xT-AtAT/6待画曲线o振动曲线的画法

·欲画

x=Acos(t+)

的曲线·先画辅助曲线x辅=Acost的曲线例如，若

=-/3，则右移T/6在横轴上移动的距离为

振动曲线的画法：为非典型值时，可用领先、落后的概念画出振动曲线。2023/3/9LectureNotesWY2417.2简谐运动与匀速圆周运动1.旋转矢量投影到Y,描述Y方向的谐振投影到X轴,描述X方向的谐振动注意影子xAY投影到任意轴？2023/3/9LectureNotesWY25Rotationalvector

andphasexA对应量Awjwt+jx旋转矢量长度角速度初角夹角投影简谐振动振幅圆频率位移初位相位相2.旋转矢量与振动的对应量2023/3/9LectureNotesWY26思考:在旋转矢量图上怎样表现位相超前或落后、同相、反相？12xo12xo12xo2023/3/9LectureNotesWY27例1.按图写振动方程。x(m)t(s)10-5t(s)1021x(m)22023/3/9LectureNotesWY28已知:旋转矢量A=0.04m,=4(rad/s)例2.由旋转矢量画振动曲线，

写振动方程。/4xot(s)x(m)0.04-0.042023/3/9LectureNotesWY29方法一：用t=0时旋转矢量画x(m)0.02t(s)0.02x(m)例3.由方程画振动曲线。已知方程：2023/3/9LectureNotesWY30t(s)x(m)方法二：先参考标准式再根据初相平移2023/3/9LectureNotesWY31=-Asin(t+)(t)=Acos(t+)1.速度(1)表达式

=-Asin(t+)

=Acos(t+

+/2)Anotherform简谐振动的速度、加速度2023/3/9LectureNotesWY32(2)速度也是简谐振动

任何一个物理量，如果它随时间按余弦函数

(或正弦函数)的规律变化，就说这个物理量按简谐振动的规律随时间变化。·初相=

+(/2)，比x领先/2。速度作为简谐振动

·角频率angularfrequency为

·振幅amplitudeA

=A，2023/3/9LectureNotesWY33x、、aoTtx2A

>0<0<0>0a

<0

<0

>0>0减速加速减速加速AA-A-A-2Aa简谐振动的位移、速度和加速度曲线

2023/3/9LectureNotesWY34atanarbitrarytime

t=

(A2-x2)1/2att=0

0=

(A2-x02)1/2(3)速度velocity和位移

displacement的关系2023/3/9LectureNotesWY35d2xdt2a=a=-2Acos(t+)a(t)=Aacos(t+a)2.加速度acceleration(1)Expressionorformulaa=-2Acos(t+)=2Acos(t++)Itcanberewrittenas2023/3/9LectureNotesWY36(2)加速度也是简谐振动

·角频率

·振幅Aa=2A

·初相a=+，

a和x反相。(3)a和x的关系

a=-2x

简谐振动的加速度和位移正比而反向

2023/3/9LectureNotesWY37[Ex4]

一质点沿x轴作简谐振动，A=0.12mT=2s，x0=0.06m,此时刻质点向x正向运动。求:(1)运动方程;(2)t=T/4时x,v,a;(3)第一次通过平衡位置的时刻t解：(1)x=Acos(wt+j)=0.12cos(pt-p/3)m(2)

v=Awcos(wt-p/3+p/2)m/sa=-Aw2cos(wt-p/3+p)m/s2

把t=T/4

代入x,v,aA2023/3/9LectureNotesWY38Df=p/3+p/2=5p/6Dt=5/6（s）(3)第一次通过平衡位置的时刻tDft=0(s)t=5/6(s)2023/3/9LectureNotesWY39x=4cos(t+)cm3t=0t=1sxA时矢量位置

[Ex5]

已知简谐振动，A=4cm，

=0.5Hz，

t=1s时x=-2cm,且向x正向运动。写出此简谐振动的表达式。

解：由题意，T=2s

由图，

=/3，

2023/3/9LectureNotesWY4019.5单摆的微小振动

simple/singlependulum证明单摆的微小摆动是简谐振动；写振动方程；求振动周期。q合力f=-

mgsinq≈-mgq正方向负号表示指向平衡位置，得证。由转动定律：M=Jamg解：任意q处f2023/3/9LectureNotesWY41令w2=g

/l2023/3/9LectureNotesWY42xEx6.证明悬挂的弹簧m,k的振动是谐振。求出振动周期。任意x处O平衡位置O解：弹簧原长处为o’得证2023/3/9LectureNotesWY431.固有圆频率w取决于振子本身固有性质二、简谐方程的w、A和2.振幅A和初相

取决于初始条件x0,v0已知,x0,v0

，则A和j可求：2023/3/9LectureNotesWY44结论：一个谐振子(确定m,k)，只能有一个固定的频率，但可以有无数的A和j，即可做无数种振动。2023/3/9LectureNotesWY45Ex.19.2(p202):已知k、m、x0、v0.求振动方程。解：v0x0O2023/3/9LectureNotesWY46振动方程:或舍取2023/3/9LectureNotesWY47

待物体静止后,再向下拉y0=0.1m后放手,测得T=2sOY(2)首次过平衡位置时物体的速度;(3)第二次经过平衡位置上方0.05m处

的加速度;(4)物体从平衡位置下方0.05m处向上运动到平衡位置上方0.05m处所需

的最短时间。Ex8.求：(1)振动方程;2023/3/9LectureNotesWY48解：(1)求振动方程;振动方程：舍OY2023/3/9LectureNotesWY49首次过平衡位置的时刻：t=T/4=1/2(2)首次过平衡位置时物体的速度;OY2023/3/9LectureNotesWY50(3)第二次经过平衡位置上方0.05m

处的加速度;OY2023/3/9LectureNotesWY51(4)物体从平衡位置下方0.05m处向上运动到平衡位置上方0.05m处所需的最短时间。OY=2023/3/9LectureNotesWY5217.4简谐振动的能量(1)KineticEnergy

EkchangewithtimetEkmin=0平均值2023/3/9LectureNotesWY53(2)PotentialEnergy

Ep(t)，Epmax、Epmin、Ep情况同动能

2023/3/9LectureNotesWY54Et简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，也无损耗，各时刻的机械能均等于起始能量E0(t=0时输入系统的能量)2023/3/9LectureNotesWY55(2)谐振子在何位置其动能等于势能?(1)A=?17.7(3)x=A/2,Ep=?2023/3/9LectureNotesWY56·同一直线上同频率的简谐振动的合成

·同一直线上不同频率的简谐振动的合成

·相互垂直的同频率的简谐振动的合成

·相互垂直的不同频率的简谐振动的合成

简谐振动的合成同一直线上同频率的简谐振动的合成1.分振动：一物体同时参与两个在同一直线上的同频率的简谐振动，其表达式为x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)2023/3/9LectureNotesWY5717.6同方向同频率的谐振合成1.运动学方程法合成后仍然是谐振。式中A和j为：2023/3/9LectureNotesWY582023/3/9LectureNotesWY592.旋转矢量法：tg

=AyAxAA1A2yx

o12AxAy两个沿x

轴的同频简谐振动合成的旋转矢量图A、

可由旋转矢量法导出，这比用解析法方便。由图，Ax=A1cos1+A2cos2Ay=A1sin1+A2sin2再由A2=A12+A22

可得以上

A、

的表示式2023/3/9LectureNotesWY603、振动曲线法：x2x1tx2023/3/9LectureNotesWY61两种特殊情况(1)若两分振动同相，2

1=2k，则

A=A1+A2，两分振动相互加强(2)若两分振动反相，2

1=(2k+1),则A=|A1-A2|，两分振动相互减弱。

(以上k=0,1,2,……)

IfwehaveA1=A2，thusA=0。“振动加振动等于不振动”。2023/3/9LectureNotesWY6217.7同一直线上不同频率的简谐振动的合成1.分振动：设为x1=Acos1tx2=Acos2t2.合振动：

x=x1+x2

合振动不是简谐振动!!！2023/3/9LectureNotesWY632-12A(t)=2Acos()t2+12cost=cos()t当21时，2-12+1，

x可写作

其中x=A(t)cost随t缓变随t快变；合振动可看作振幅缓变的简谐振动。

2023/3/9LectureNotesWY642023/3/9LectureNotesWY653.拍(beat)合振动的周期性的时强时弱的现象:拍

拍频(beatfrequency)：单位时间内合振动加强或减弱的次数。

b=|2-1|或b=|2-1|

b：即A2(t)或|A(t)|的变化频率。2023/3/9LectureNotesWY6617.9、相互垂直的同频率简谐振动的合成1.分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动

x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)2.合运动·位移：是两个分振动位移的矢量和。·轨迹方程：

合运动一般不是简谐振动。

2023/3/9LectureNotesWY67(1)合运动一般是在2A1(x向)、

2A2(y向)范围内的一个椭圆。(2)椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A1、A2

确定之后，主要决定于phasedifference

=2

-12023/3/9LectureNotesWY68=0=/4=/2=3/4==5/4=3/2=7/4P··Q两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹

2023/3/9LectureNotesWY69Example:x=A1cos(t+/4)y=A2cos(t+/2)求合运动的轨迹.可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把方框中的小红点按顺序用曲线连起来，即可得所求合运动轨迹。

2023/3/9LectureNotesWY701yxxyt=012345678/22345678/4t=0········12345678A1-A1A2-A2····A2A1

用旋转矢量法画两垂直振动的合运动的轨迹2023/3/9LectureNotesWY71(1)若两分振动频率相差很小

相位差

=(2

-1)t+(2

-1)，可近似看作两同频率的振动的合成，而2

-1随t缓慢变化。于是合运动轨迹将按上图给出的形状依次缓慢变化。(2)若两振动的频率成简单整数比