正余弦定理知识点总结题型归纳讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

解三角形专题一、知识点总结：1．正弦定理:eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(R为△ABC外接圆半径)适用范围：两角及一边变形形式：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（边化角）(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)（角化边）2．余弦定理:aeq\s\up7(2)＝beq\s\up7(2)＋ceq\s\up7(2)－2bc·cosA；cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；beq\s\up7(2)＝ceq\s\up7(2)＋aeq\s\up7(2)－2ca·cosB；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；ceq\s\up7(2)＝aeq\s\up7(2)＋beq\s\up7(2)－2ab·cosC；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)适用范围：两边及一角、三边3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA．(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)4.常用公式sineq\s\up7(2)α＋coseq\s\up7(2)α＝1（连接正弦、余弦的桥梁）；tanα＝eq\f(sinα,cosα).（整理化简变形、三角变两角）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝coseq\s\up7(2)α－sineq\s\up7(2)α＝2coseq\s\up7(2)α－1＝1－2sineq\s\up7(2)α；5.基本不等式：6、射影定理：、、7、中线长公式：在中，若D为线段BC的中点，则．（两边平方求中线AD长）8、辅助角公式（同角求最值，合一变形），其中，，其中，二、经典练习：小题专练：1、在锐角中，若，，，则（）A． B． C． D．2、在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则角为（）A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135°3．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（）A． B． C． D．4、在中，，，，则______．5.在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.6、已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________.7．的内角的对边分别为，若，则的形状一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形三、大题题型分类：【题型1】在单个三角形背景下,已知某些边角简单或复杂的等量关系,求该确定三角形的未知边角、面积、周长等三角形有关问题的值1．在中，内角所对的边分别为且满足.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的值.2、的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求.3、【2019年高考全国1理数】的内角的对边分别为.设.求；（2）若，求.4．在中，角所对的边分别为,且.（1）求角；（2）若，求．【题型2】在单个三角形背景下,已知某个边角的等量关系,求该不确定三角形的未知边角、面积、周长等三角形有关问题的最值.①常联系基本不等式、余弦定理、面积公式等进行解题②常把一些要求的量转化成关于某个角的三角函数，利用辅助角公式合一变形求最值，但要注意角的取值范围！1、在中，角所对的边分别为,且.(1)求角的值；(2)若△ABC的面积为eq\r(3)，求b,c的值．(3)若求△ABC的面积的最大值．(4)若△ABC的面积为eq\r(3)，求a的最小值．3．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值4、已知，，是锐角的内角，，所对的边，，且满足求B；（2）求的取值范围.5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积的取值范围【题型3】多个三角形综合问题：利用好中线、高、角平分线等性质，有时可以适当的设未知数X例1、【2022年汕头一模】在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．例2、如图，在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．3、如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1