【2年中考1年模拟备战2014】全国各地中考数学试题分类汇编动态问题

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编

动态问题

一、选择题

1.（2013安徽，10,4分）如图所示，P是菱形四"的对角线4。上一动点，过户垂直于

〃1的直线交菱形4%》的边于〃、"两点，设/小2,盼1,AP-x,Z\AMN的面积为六则

【答案】C

2.（2013山东威海，12,3分）如图，

在正方形山治9中，/庐3cm,动点"自/点出发沿四方向以每秒1cm的速度运动，同时动点

N自1点出发沿折线4>-小仪?以每秒3cm的速度运动，到达8点时运动同时停止，设

△4拗'的面积为/（cm?）,运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与*之间的

【答案】B

3.(2013甘肃兰州，14,4分)如图，正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上

的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致

是

【答案】B

三、解答题

(2013浙江省舟山，24,12分)已知直线y=fcr+3(Ar<0)分别交x轴、y轴于/、B

两点，线段》上有一动点尸由原点。向点4运动，速度为每秒1个单位长度，过点一

作x轴的垂线交直线加于点G设运动时间为秒.

(1)当％=-1时，线段以上另有一动点。由点4向点。运动，它与点。以相同速度同

时出发，当点尸到达点4时两点同忖停止运动(如图1).

①直接写出=1秒时G0两点的坐标；

②若以0、C,4为顶点的三角形与△加®相似，求的值.

⑵当％=-』时，设以C为顶点的抛物线)，=(x+m)2+〃与直线4?的另一交点为〃(如

4

图2),

①求切的长；

②设的3边上的高为人，当为何值时，/?的值最大？

【答案】(1)①C(l,2),Q(2,0).

②由题意得:P(t,0),c(t,—。+3),0(3—t,0),

分两种情形讨论：

情形一：当8一△力如时,NAQC=NAQBK0°，：.CQVOA,

'：CPLOA,...点产与点0重合，OQ=OP,即3一片.•"=1.5.

情形二：当龙时，NACQ=NAOBTQ°,；.△/施是等腰直角

三角形，.,.△/CO是等腰直角三角形，：攵，勿，."。二纪0,即t=2(-t+3),At-2.

满足条件的t的值是1.5秒或2秒.

3

(2)①由题意得：at,--Z+3),...以。为顶点的抛物线解析式是

4

,3

y=(x-t\--t+3,

333

由(x—f)~---，+3=x+3,解得xi=t,X2=t---；过点〃作〃£、_!_C73于点Et则

444

r'T^\

/DEC=/AOB=90°,DE〃OA,：・4EDC=4OAB,:、△DECs^AOB,：.——=——，

AOBA

3、3八DExBA415

・・・434,止5,D——-)：.CI>-----------=9—=—

44AO416

1159

153x4171

12一

XX一

一

②•.•今二，切边上的高===上2-16-5一8-；.S△网为定值；

16551

要使利边上的高方的值最大，只要冗最短.

12

因为当〃时QC最短，此时小的长为一，/比0=90°,加=90°,.../SP

5

=90°-Z.BOC=AOBA,又,：CP_LOA,：.Rt/\PCO^Rt/\OAB,

.OP_OCOCxBO_513636.•.当t为次秒时，力的值最大.

>・------------------，Ur---------------------------------------------------,IA|J尸------

BOBABA5252525

S17

2.(2013广东东莞，22,9分)如图，抛物线y=——/+—x+l与y轴交于点/,过点/

44

的直线与抛物线交于另一点6,过点6作6dx轴，垂足为点C(3,0).

(1)求直线的函数关系式；

(2)动点尸在线段0C匕从原点0出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点夕作_Lx轴，

交直线4?于点以抛物线于点儿设点尸移动的时间为£秒，.，邮的长为s个单位，求s与t

的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)设(2)的条件下(不考虑点一与点。，点G重合的情况)，连接Cl/,BN,当t为何值

时，四边形式激为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形加胧是否为菱形？说明

理由.

S17

【解】（1）把x=0代入y=--一+—X+1,得y=i

44

5175

把x=3代入y=+1元+1,得y=],

•'•A、B两点的坐标分别（0,1）、（3,—）

2

设直线AB的解析式为y=H+。，代入A、B的坐标，得

b=1b=l

解得I1

3k+b=-k=-

22

所以，y=—x+1

2

I517

(2)把x=t分别代入到y=5》+l和y=-^^+了》+1

1517

分别得到点M、N的纵坐标为上f+1和一乙2+Al/+1

244

517i5215

，MN=——t2+—f+1-(-r+l)=----1H-----1

44244

即s=_3/+以

44

•.•点P在线段0C上移动，

.♦.0WtW3.

⑶在四边形BCMN中，VBC/7MN

.•.当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形

由/+”「=2,得=1/2

442,2

即当7=1或2时，四边形BCMN为平行四边形

35

当£=1时,PC=2,PM=-,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=一,

22

此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形；

当/=2时.，PC=1,PM=2,山勾股定理求得

此时BC#CM,平行四边形BCMN不是菱形；

所以，当f=l时，平行四边形BCMN为菱形.

3.(2013江苏扬州，28,12分)如图,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB<AC,M是BC边的中

点，MNLBC交AC于点N,动点P从点B出发沿射线BA以每秒6厘米的速度运动。同时，

动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ±MP»设运动时间为t秒(t>0)

(1)△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；

(2)若NABC=60°,AB=46厘米。

①求动点Q的运动速度；

②设Rtz^APQ的面积为S(平方厘米)，求S与t的函数关系式；

(3)探求BP-PQ：CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

【答案】解：(1)2XPBM与△QNM相似；

VMN1BCMQ1MP；.ZNMB=ZPMQ=ZBAC=90°

AZPMB=ZQMN,ZQNM=ZB=90°-ZC

APBM^AQNM

(2)@VZABC=60°,ZBAC=90°,AB=4后BP=6t

，AB=BM=CM=4g,MN=4

,rAPBM^AQNM

.BPBManBP46c

NQMNNQ4

••.p点的运动速度是每秒百厘米，

，Q点运动速度是每秒1厘米。

②,/AC=12,CN=8

AQ=12-8+t=4+t,AP=46一V5t

/.S=9(4+7)*(4百—商=-孚/—16)

(3)BP2+CQ2=PQ2

证明如下：VBP=V3t,ABP2=3t2

•；CQ=8-tCQ2=(8-t)2=64-16t+t2

PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=412T6t+64

.,•BP2+CQ2=PQ2

4.(2013山东德州23,12分)在直角坐标系xoy中，已知点尸是反比例函数y=之叵(x>0)

x

图象上一个动点，以一为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为4

(1)如图1,。尸运动到与x轴相切，设切点为4试判断四边形版4的形状，并说明

理由.

(2)如图2,。。运动到与x轴相交，设交点为氏C.当四边形/附是菱形时：

①求出点4,B,C的坐标.

②在过4B,C三点的抛物线上是否存在点瓶使△，糜的面积是菱形4aP面积的若

2

存在，试求出所有满足条件的"点的坐标，若不存在，试说明理山.

图1

【答案】解：（1）:。。分别与两坐标轴相切，

PAVOA,PKLOK.

"PA0=N0KP=9G.

又4游90°,

NPAO=N0KP=NA0后9Q°.

二四边形加%是矩形.

又,：OA=OK,

四边形加%是正方形..........................2分

则其纵坐标为毡

（2）①连接典设点P的横坐标为X,

X

过点一作PG1BC千G.

•.•四边形/呼为菱形，

：.BOPA-PB-PC.

...△4%为等边三角形.

在Rt△阳G中，/%R60。，PB-P归x,

n〜273

X

2百

PG即立=」-

sinZPBG=-----,

PB2x

解之得：产士2（负值舍去）.

PG=y/3,PA=BC=2................4分

易知四边形。是矩形，好於2,BG=CG=\,

：.OB-OG-BG^\,OC-OG^GO'i.

二4(0,g),6(1,0)C(3,0).6分

设二次函数解析式为：y=ax^bx^c.

〃+0+c=0

据题意得：［9Q+3〃+C=0

C=G

翩^俎_V3473A

解之得：斫，------fc=i\J3.

33

二二次函数关系式为：y=^x2--X+V3..............9分

33

②解法一：设直线分的解析式为：y-ux^v,据题意得：

W4-V=0

2M+v=V3

解之得：u=6，%-3A/3.

二直线以的解析式为：y=J5x-3j5.

过点力作直线4s阳，则可得直线4"的解析式为：y=柩x+

y=y/3x+V3

解方程组：V3,4V3r-

y=——x-----x+V3

I33

/卜］=0x2=7

得：/=6；1=83

过点。作直线以/〃做则可设直线CV的解析式为：y=瓜”

••0=31^+1.

/.t=-3A/3.

・・・直线CV的解析式为：y=6x-3B

y=>/3x-3G

解方程组：百，/-

y=——x-----X+V3

I33

"3.卜=4

住卜=。，［%=5

综上可知，满足条件的"的坐标有四个，

分别为：(0,6)，(3,0),(4,石)，(7,873).12分

解法二：SAPAB=S"BC=QSPABC

：.A（0,百），C（3,0）显然满足条件.

延长力产交抛物线于点机山抛物线与圆的轴对称性可知，PM-PA.

又•.”!/〃6G

".S"BM=S"BA=2SPABC•

.•.点〃的纵坐标为百.

又点材的横坐标为4沪为+^^2+2=4.

二点材（4,V3）符合要求.

点（7,873）的求法同解法一.

综上可知，满足条件的"的坐标有四个，

分别为:（0,百），（3,0）,（4,百）,（7,873）..............12分

解法三：延长4尸交抛物线于点必山抛物线与圆的轴对称性可知，P拒PA.

又.：AMHBC,

''SAPB,M=S*BA=2SPABC•

...点"的纵坐标为Ji.

即。-竽X+百3

解得：x,=0（舍），x2=4.

.•.点"的坐标为（4,6）.

点（7,8百）的求法同解法一.

综上可知，满足条件的〃的坐标有四个，

分别为：（0,V3）,（3,0）,（4,百），（7,873）..............12分

5.（2013山东蒲泽，21,9分）如图，抛物线尸If+区-2与x轴交于48两点，与

2

y轴交于C点，且4（一1,0）.

（1）求抛物线的解析式及顶点〃的坐标；

（2）判断△/87的形状，证明你的结论；

（3）点加z»,0）是x轴上的一个动点，当心匕初的值最小时，求勿的值.

解：（1）把点加一1,0）的坐标代入抛物线的解析式2,

2

整理后解得〃=-3,

2

所以抛物线的解析式为y=-x2--x-2.

22

顶点《（用

（2）'：AB=5,-=而+处=5,初=宏+组=20,

...〃*+初=4吐是直角三角形.

（3）作出点，关于x轴的对称点,贝UC'（0,2）,OC=2.

连接C'〃交入轴于点M

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，，讹加的值最小.

设抛物线的对称轴交x轴于点E.

△C，OM^lXDEM.

.OM_OC.m_2.24

EMED3_^2541

28

6.（2013山东济宁，23,10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）的抛物

线交y轴于A点，交x轴于5,C两点（点B在点。的左侧）.已知A点坐标为（0,

3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点8作线段的垂线交抛物线于点。，如果以点C为圆心的圆与直线8。相

切，请判断抛物线的对称轴与。。有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：当点P运动到

什么位置时，AP4C的面积最大？并求出此时尸点的坐标和APAC的最大面积.

(第23题)

【答案】(1)解：设抛物线为y=o(x—4)2—1.

:抛物线经过点A(0,3)3=“(0—4)2-1..

4

，力也物线为》=!(工一4)2—1='X2_2X+3.....................3分

44

(2)答：与。C相交.....................................................4分

证明：当;(x—4)2-1=0时，玉=2,x2=6.

二3为(2,0),C为(6,0).二AB=MS=岳.

设。。与3。相切于点E,连接CE,则NBEC=90°=NAO8.

NABD=90°,NCBE=90°-ZABO.

又,?ZBAO=90°-ZAB0,?.NBAO=ZCBE.如OBsABEC.

------.=―y=-.•*.CE-—>2...................6分

OBAB2---V13V13

•.•抛物线的对称轴为x=4,C点到的距离为2.

.••抛物线的对称轴与。。相交...................................7分

(3)解：如图，过点尸作平行于y轴的直线交4C于点。.

可求出AC的解析式为y=—，x+3...............................8

2

分

设P点的坐标为(加，-/»2-2m+3),则。点的坐标为(加，--m+3).

11,1,3

**•PQ=一万机+3—(―—2m+3)=——/7?~+—ni.

]]+3/?2X3227

S"AC-S^PAQ+S^PCQ-)6=--(/M-3)+—,

27

.•.当m=3时，APAC的面积最大为二.

4

3

此时，P点的坐标为(3,--)..................................10分

(第23题)

7.(2013山东威海,25,12分)如图，抛物线丁=奴2+法+。交》轴于点4—3,0),点8(1,0),

交y轴于点E(O,-3).点。是点4关于点8的对称点，点户是线段死的中点，直线过点下

且与y轴平行.直线>=一元+加过点C交y轴于点〃

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点/为线段上一动点，过点｛作x轴的垂线与直线必交于点M与抛物线交于点

G,求线段/伤长度的最大值；

(3)在直线上取点也在抛物线上取点儿使以点4,C,M,"为顶点的四边是平行四边形，

求点N的坐标.

【答案】解：(1)设抛物线的函数表达式y=a(x-l)(x+3)

V抛物线与y轴交于点E(O,-3),将该点坐标代入上式，得。=1.

.•.所求函数表达式y=(x—l)(x+3),即y=x2+2x—3.

(2)♦.•点。是点4关于点6的对称点，点4(一3,0),点8(1,0),

点C的坐标是C(5,O).

将点，的坐标是C(5,0)代入y=-x+m,得加=5.

直线切的函数表达式为y=-8+5.

设人点的坐标为a,0),则〃点的坐标为亿。+5),G点的坐标为(f,/+2f—3).

♦••点｛为线段四上一动点，

-3<z<1.

、、341

〃G=(T+5)—(/+2.-3)=—产—3，+8=—«+二产+一.

24

3

2

当，=一士3时，线段//G长度有最大值4”1■.

24

(3)•.•点户是线段比的中点，点8(1,0),点C(5,0),

点尸的坐标为"(3,0).

•••直线过点尸且与y轴平行，

•••直线的函数表达式为x=3.

♦••点材在直线上，点"在抛物线上，

...设点材的坐标为M(3,m)，点N的坐标为NS,/+2〃-3).

•.•点4(—3,0),点C(5,0),AC=8.

分情况讨论：

①若线段4c是以点4C,M,"为顶点的四边是平行四边形的边，则须JW4G且网』

AC=8.

当点/V在点"的左侧时，MN=3-n.

3—M—8,解得〃=-5.

.../V点的坐标为N(—5,12).

当点N在点"的右侧时，MN=n-3.

-3=8,解得n=11.

•••也点的坐标为"(11,40).

②若线段4c是以点4GM,川为顶点的平行四边形的对角线，山“点。与点4关于点8

中心对称"知：点"与点N关于点6中心对称.取点厂关于点6对称点只则点尸的坐标为

P(—l,0).过点〃作八力_x轴，交抛物线于点、

将x=-l代入y=/+2x-3,得y=-4.

过点儿8作直线A3交直线于点城

在△阳V和△跖〃中，

ZNPB=NMBF

'：［BF=BP

NBPN=NBFM=90°

△阮归△毋亚

:.NB=MB.

，四边形点4讹＞为平行四边形.

，坐标为(-1,-4)的点M符合条件.

.•.当点川的坐标为(—5,12),(11,40),时，以点4C,M,N为顶点的四边是平行

四边形.

8.(2013山东烟台，26,14分)如图，在直角坐标系中，梯形/颔的底边48在x轴

上，底边切的端点〃在y轴上.直线CS的表达式为y=--^-，点/、〃的坐标分别为(一

33

4,0),(0,4).动点〃自力点出发，在45上匀速运行.动点。自点8出发，在折线时

上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点

。运动t(秒)时，△〃图的面积为s(不能构成△CW的动点除外).

(1)求出点6、C的坐标；

(2)求s随f变化的函数关系式；

(3)当C为何值时s有最大值？并求出最大值.

(备用图2)

【答案】解：(1)把y=4代入尸=—得x=1.

33

...C点的坐标为(1,4).

当尸o时，-31+3=0,

33

••.X=4..•.点6坐标为(4,0).

(2)作CKL48于机则。/=4,BM=3.

：.BC=ylcM2+BM2-V32+42=5.

CM4

：.sinZABC=—

BC5

①当0<t<4时，作QVJ_/于M

…4

贝I」QN=BQ*sinZABC=-t.

5

2

:.S=>OP-(4—t)X-t=--t+t(0<Z<4).

2255

②当4<£W5时，(如备用图1),

连接QP,作QVL必于儿

4

同理可得QN=-t.

5

1148

：.S=-OP^QN=-X(f-4)X-f.=f29--t(4V1W5).

5

③当5VW6时,(如备用图2),

连接0"QP.

S=LxofXOD=-(r-4)X4=2L8(5<tW6).

(3)①在0VtV4时,

8

当t=—J-=2时,

2x(-；)

_8

②在4<tW5时，对于抛物线S=2^一§人当t=一^^=2时，

552x-

5

5且小=2X22--X2=--.

555

抛物线S=2^—的顶点为盘，一§).

555

...在4<tW5时，S随，的增大而增大.

OQ

,当t=5时，5"大=-X52--X5=2.

55

③在5<t<6时，

在S=2L8中，2〉。，；.S随力的增大而增大.

.•.当t=6时，S&大=2X6-8=4.

.•.综合三种情况，当t=6时，S取得最大值，最大值是4.

(说明：(3)中的②也可以省略，但需要说明：在(2)中的②与③的△勿铝，③中的底边

和高W都大于②中的底边。和高.所以③中的△〃图面积一定大于②中的的面积.)

9.(2013四川南充市,22,8分)抛物线产ax?+6x+c与x轴的交点为A(勿一4,0)和B(R,0),

与直线片一户P相交于点A和点C(2//?—4,01~6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积

为12,求点P,Q的坐标；

(3)在(2)条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当/PQM的面积最大时，请

求出ZPQM的最大面积及点M的坐标。

【答案】解:⑴,••点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线片-广。上

=解得：『=3

[m-6=~(2m-4)4-p[p=-1

AA(-1,O)B(3,0),C(2,-3)

设抛物线尸a/+bx+La(x-3)(x+1),

VC(2,-3)：.a=l

抛物线解析式为：尸32x-3

(2)AC=3板，AC所在直线的解析式为：尸-『1,/BAC=45°

•••平行四边形ACQP的面积为12.

.♦•平行四边形ACQP中AC边上的高为上=2

3V2

过点D作DK±AC与PQ所在直线相交于点K,DK=272,.,.l)N=4

VACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一-条，

APQ的解析式或为片-户3或片-『5

•七二I解得:I2或葭

['Ki,此方程组无解

[y=-x-5

即R(3,0),P2(-2,5)

•••ACPQ是平行四边形，A(-1,0)C(2,-3)

.,.当P(3,0)时,Q(6,-3)

当P(-2,5)时,Q(l,2)

满足条件的P,Q点是P(3,。,Q.(6,-3)或Pz(-2,5),Q2(L2)

(1)设M(t,*2/3),(T<t<3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T,则

T(t,-t+3)

MT=(-t+3)-(t-21-3)=-

过点M作MS±PQ所在直线于点S,

c及V2/2、V2,1、225V2

MS=---MT-...(-r+t与)=-—(t--)+——

22228

...当t=4时，M（-,--）,/PQM中PQ边上高的最大值为空也

2248

10.（2013浙江杭州，24,12）图形既关于点。中心对称，又关于直线/C,初对称，AC

=10,BD=6,已知点£,材是线段48上的动点（不与端点重合），点。到跖，.m'的距离

分别为九，h2.△庞F与△曲〃组成的图形称为蝶形.

（1）求蝶形面积S的最大值；

（2）当以以为直径的圆与以.园为直径的圆重合时，求々与色满足的关系式，并求"的

【答案】（1）如图，设EF与AC交于点K,由△OEFs^ABD,得AK"=口FF，25—%h=竺FF.,

AOBD56

EF=g（5一%）,S=2x〈OK.EF=2x；九・1（5-九），整理得S=—1（九一:了+日，当

九=3时，蝶形面积S的最大，最大值为”.

22

⑵如图，设MN与AC交于点L,由⑴得EF=g(5-%),则EK=[(5-4),ML=|(5-%)

33一

222

由0K2+EK2=0E2,OL+ML=OM,得0K2+EK2=0L2+MI?,#+g(5—/0=v+-(5-/I2),

45

整理得(4-馋[17(4+〃2)-45]=0,当点E,M不重合时，九一九”0,%+&=古.当0E

LAB时，4=或45，所以0<4<曾45

2)当点瓦M重合时，则％=%,此时"的取值范围为0<%<5.

解法二：（1）由题意，得四边形A8CO是菱形.

EF_5-h

得AA8。]

lilEF〃BD,AAEF,~6~~5即EF

S=2S.OFF=EFxh.l=—5(\5~hI./}xhI,=

所以当a时，Smax=y.

（2）根据题意，得OE=OM.

如图，作OR_LAB于R,。8关于OR对称线段为OS,

1）当点瓦M不重合时，则。E,0M在。R的两侧，易知RE=RM.

vAB=y/52+32=734,.-.OR=-^

V34

：.BR

CKRFOLBM

由tML”EK//OB,得"=生

OAABOA-AB

_O__K__O__L__B__E_I__B_M____2_B__R_

OAOA~ABAB~AB吟+**

h.+h,=—45,此时h.的取值范围为0<%<也45且/?尸上45

1■171।17’34

2）当点重合时，则4=%2，此时"的取值范围为0<%<5.

11.（2013浙江湖州，24,14）如图1.已知正方形的欧的边长为2,顶点4C分别在X、

y轴的正半轴上,."是比1的中点.P（0,m）是线段3上一动点（，点除外），直线9交四

的延长线于点D.

（1）求点〃的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△加力是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、6三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点0作直线，舱的垂线，垂足为

〃（如图2）.当点尸从点。向点C运动时，点〃也随之运动.请直接写出点〃所经过的

路径长.（不必写解答过程）

【答案】解：（1）由题意得CM=BM,<4PMC=NDMB,:.RtlXPMC^RtXDMB,:.DB=PC,

：.DB=2-m,49=4-m,二点〃的坐标为（2,4-m）.

（2）分三种情况：①若AP=AD,则4+机2=（4_m尸，解得加=今

②若PD=PA,过产作门口儿？于点尸（如图），则=也4尸=/£）=,4。=」（4-巾），

22

14

又OP=AF,m=—（4-w）,解得机=—,

23

③若DP=DA,•：APMC^ADMB,：.PM=^P£）=1（4-/n）,VPC2+CM2=PM2,：.

i2

（2—w）2+1=—（4一机）2,解得"7=—,）%=2（舍去）.

43~

342

综上所述，当△力勿是等腰三角形时，过m的值为士或上或3

233

（3）点〃经过的路径长为且万.

4

12.（2013宁波市，26,10分）如图.平面直角坐标系x郎中，点8的坐标为（-2,2）,

点8的坐标为（6,6）,抛物线经过从0、B三点,线段交y轴与点£.

（1）求点£的坐标；

（2）求抛物线的函数解析式；

（3）点厂为线段加上的一个动点（不与0、8重合），直线EF与抛物线交与M、/V两点（点

工在y轴右侧），连结。惧BN,当点尸在线段加上运动时，求△况川的面积的最大值，并

求出此时点"的坐标；

(4)连结4Y当A的面积的最大时，在坐标平面内使得△如与A0LV相似(点从0、

4对应)的点尸的坐标.

【答案】26.解：(1)设直线的函数解析式为y=/zzx+〃

将点1(~2,2),B(6,6)代入得：

{—2m~\~n=2

16/H-〃=6

得必=；,/?=3

.一1,

..尸尸+3Q

当x=0时尸3AMO,3)

设抛物线的函数解析式为y=ax-\-bx

将4(-2,2)8(6,6)代入得慝；06解得a=1b=~\

抛物线的解析式为尸%一%

过点N做x轴的垂线A&,垂足为G,交加于点。，过6作掰_Lx轴于，，设Mx，；王)

则0(x,x)

则s△利=s&B.+SABOS

=|xQVXOG+^XQMHG

=^XQVX(%+的=^XQVX加=：(x—今/一；才))X6=—+^=—1(%—3)2+^-(0

VxV6)

.•.当x=3时，面积最大，最大值为彳

3

此时点川的坐标为(3,

(4)过点/作4SL4于S

3

：/(一2,2),8(6,6),/V(3,-)

:.NA0E=N0AS=NB0445。,0G=3,祐=',超=弓，4s=5

44

在RtA%/V和RtAA。；中

1

tanZSAN=tanZNOG=~

4

：.^SAN=ANOG

：.ZOAS-AASN=/BOG—4N0G

：・/OASN=/BON

：.OV的延长线上存在一点P,使△BOP〜AOAN

,：A(~2,2),7V(3,1)

在RtAASV中

4仁人奔为=乎

“OBOP.岖__QP_.815vH

当AWP〜时u—=—

2V25V174

4

过点P作PTlx轴于点T

PTNG1

：.\OPT-\ONGA—=—

设2(4&t)在在RtAA07中，有(4t)?+/=(粤亘/

，力=¥，寸2=一牛(舍)

1R

・••点P的坐标为(15,V)

将△愉沿直线0B返折，可得出另一个满足条件的点P'df,15),由以上推理可知，当点

P的坐标为(15,y)或(号15)时公呼与AMAf相似.

13.(2013浙江衢州，24,12分)已知两直线卜4分别经过点A(1,0)，点8(—3,0),并

且当两条直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有4,4,经过点A、B、C的抛物线

的对称轴于直线/1交于点K,如图所示.

求点。的坐标，并求出抛物线的函数解析式.

抛物线的对称轴被直线小抛物线，直线4和X轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数

量关系？请说明理由.

当直线，2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M.请找出使MCK为等腰三角形的点

M.简述理由，并写出点M的坐标.

（第24题）

【答案】(1)解法1：由题意易知

BOCzCOA

COAOgnCO1

BOCO3CO

：.CO=y/3.

.•.点c的坐标是倒,6)

由题意，可设抛物线的函数解析式为y=+

把4(1,0),5(-3,0)的坐标分别代入y=ax2+bx+y/3,得

厂「内

a+b+j3=0Ia=—

9a-3h+j3^0.解这个方程组，得［028

、-3.

/.抛物线的函数解析式为y=-yx2-^x+V3.

解法2：由勾股定理，(OC2+OB2)+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2.

又•.•OB=3,OA=\,AB=4

OC=V3.

.,.点c的坐标是(0,6).

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-l)(x+3).把C(O，G)代入函数解析式得

a=-----

3

所以抛物线的函数解析式为y=-1(x-l)(x+3).

(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF.

理由如