《微积分Ⅲ》期末考试试卷

《微积分出》课程期末考试试卷

一、填空题(每小题5分，将答案填在横线上)

(1)设/为椭圆的一周，其全长为Q,则平面第

一型(即对弧长的)曲线积分J(2x_=.

(2)已知(ye*-e7)dx+(xef+")分为某--兀函数”(x,y)的全

微分，且“(0,0)=1.则“(x,y)=.

(3)设〃=〃(x,y,z)具有二阶连续偏导数，且满足

d2ud2ud2u222

获+谈+宗=尸

S为球面/+>2+[2+/(。〉0)的外侧，则第二类曲面积分

fl^dydz+^dzdx+^dxdy=•

JJ

Soxdyoz----------

(4)设夕(y)具有连续的一阶导数，夕(1)=1」为自点(0,0)

沿曲线y=3/—2尤到点(1,1)的有向弧，则平面第二型曲线

积分j(2x/(y)-y)dx+(jc(p\y}-y)dy=.

/

二、选择题(每小题5分，每小题所给4个选项中只

有1个是符合要求的，请将所选代码填入【】中).

(5)设D={(x,y)\x2+y2>0},I是D内的任意一条逐段光滑

的封闭曲线，则必有

(x-y)dx+(x+y)dy(B)f(x-),)dx+(x+y)dy/0

rxy(xdy-ydx)

(6)设S为上半球面J+J+J+YZNO,3>o),下列第一型

曲面积分或第二型曲面积分不为0的是

(7)设P(x,y)与Q(x,y)在平面区域D上连续且有连续的一

阶偏导数,则“学当

dxdy

是“对于D内的任意一条逐段光滑的闭曲线I,

jp(x,y)dx+Q(x,y)dy=0''的

(A)充分条件而非必要条件.(B)必要条

件而非充分条件.

(C)充分必要条件.(D)既非充

分有非必要条件.

(8)设空间区域C={(x,y,z)lx2+y2+z249,xN0,yN0,zN0},函数

/⑺为正值的连续函数，则

V7o)+2V7(y)+377(7)

fJff"(x)++J：(z)=-------'

(A)汐(B)9n.(C)与.(D)

277r.【】

三、解答题(以下各小题每题10分，解题时应写出必

要的解题过程).

(9)设Q是由曲面与z=8所围成的生间有界闭

区域，求川'(f+y)..

(10)设S是锥面z=F7(owz《i)的上侧，求

jjxdydz+2ydzdx+3zdxdy.

s

(11)设L为空间曲线自z轴正向往负

向看，L是逆时针的，求投必+x@+z2dz.

(12)设/为自点A(T0)沿向周(1)2+y2=4的上半个到

点5(3,0)的有向弧段，求

/4x2+j2'

（13）设S为曲面z=¥（x2+y2）,（o«z41）,求第一型曲面积分

Jj（2z+l）dS.

5

（14）设/（“）具有连续的一阶导数，点A（U）,点8(3,3)，

/为以而为直径的左上半个圆弧，自A到B,求

f(—/(­)+),)dx-(—/(—)+x)dy.

ixyyy

参考解答：

4

xy,5.

一.(1)a；(2)ye-xe-+1；(3)一兀a

5

(4)L

2

二.CABB

三.

r8

（9）解1：原式=广的|%”J©dz1024

JoJo

23

解2：原式==『出『de1024

JoJo

(10)解1：高斯公式.

222222

St:Z=1,x+y<1,下侧，V：ylx+y<z<1,DAy-.x+y<\

原式=耳-jj=_JJJ6dV-JJ_3db=_61Jd6£rdr,dz+3万=乃

S+S|S\nD„,•■

解2：化第一类曲面积分.

22222

S:z-x-y=0,Dxy:x+y<1,万°=^^{一尤,一y,z}

原式=jj(xcosa+2ycos/3+3zcos/)d5

S

1(-x2-2y2+3?)dS=-LIJ1(2x2+y2)dS

2

=JJ+[do=4，d。*(1+cos0)dr=兀

(11)解1：Stokes公式

22

S：Z=J/+y2,(%,y)GDv>,:X+y<2x上侧

dydzdzdxdxdy

原式或£ddjj(2x-2y)dxdy=|j(2x-2y)dxdy

8ydz

sD-

y2x2z2

=2jjxdxdy=4jr2cosdr=ITT

OX.Y3.

解2：直接法zx=1+cosf,y=sinf,z=2cos看J:0->2»

原式二…二[(2cos2t+cos3t)dr=2^

Jo

(12)解:孚=若<=学—(o,o),积分与路径无

dx(4x+y)-dy

关.

2

设LAC:4x+/=4()，20),A(-l,0)TC(l,0)

x=cos/,y=2sinr,/:—>0

原式=j+j=(Jxdy-ydx+0=\j°(2cos2t+2sin2t)df=-5

%cCBLAC

222222

(13)解：dS=yjl+x+yda>S:z=(x+j),Dxy:x+y<2

jj(2z+1)dS=jj[2--(x2+/)+l]Jl+d+y2db

2

s