青海省西宁市大通回族土族自治县2023届高三第二次模拟理科数学试题及参考答案

青海省大通县教学研究室2023届高三第二次模拟考试数学（理科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知是虚数单位，若，，则在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，满足，，，则与所成角为A. B. C. D.4.使“”成立的一个充分不必要条件是A.， B.，C.， D.，5.已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是A. B. C. D.6.已知实数，函数若，则的值为A. B. C. D.7.有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为A.12 B.14 C.36 D.728.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是A. B.C. D.9.在和中，若，，，则A.与均是锐角三角形B.与均是钝角三角形C.是钝角三角形，是锐角三角形D.是锐角三角形，是钝角三角形10.已知函数，则下列说法错误的是A.当时，函数不存在极值点B.当时，函数有三个零点C.点是曲线的对称中心D.若是函数的一条切线，则11.已知矩形ABCD的顶点都在球心为О的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球的表面积为A. B. C. D.12.设，分别是双曲线：的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数（且）的图象过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为__________.14.已知为锐角，且，则__________.15.关于正方体有如下说法：①直线与所成的角为60°；②直线与所成的角为60°；③直线与平面所成的角为45°；④直线与平面所成的角为45°.其中正确命题的序号是__________.16.设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量的数学期望为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义.某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差（单位：cm）与树干最大直径偏差（单位：mm）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差20151332-5-10-18直径偏差6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5（1）若与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若这种树苗的平均高度为120cm，树干最大直径平均为31.5mm，试由（l）的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米.参考数据：，.参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，.18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，设，求.19.（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，.（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：过点，直线：与C交于M，N两点，且线段MN的中点为H，O为坐标原点，直线OH的斜率为.（1）求C的标准方程；（2）已知直线与C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）当，，有两个不同的实数根，，证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线与C的交点为A，B，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意实数都成立，求的最大值.青海省大通县教学研究室2023届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案、提示及评分细则1.B，，则.故选B2.D由题意得，，所以，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.3.A解得，从而，故而.故选A.4.B，，故A不符合题意；，，则，反之不一定成立，故B符合题意；由，，无法得到a，b之间的大小关系，故C不符合题意；，，故D不符合题意.故选B5.D由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是.故选D.6.A当，即时，，.因为，所以，解得.满足题意.当，即时，，.因为，所以，方程无解.故选A.7.B按A工厂分类，第一类：A工厂仅接收1人有种分配方法；第二类：A工厂接收2人有.综上知不同的分配方法有12+2=14种.故选B8.A当时，，其图象在y轴左侧的部分与题图1相同；当时，，其图象在轴右侧的部分与题图1轴左侧的图象关于轴对称.故选A.9.D因为，所以，又，所以，同理可知，故是锐角三角形；因为，，，所以，或；同理可得：，或；，或.若，，三式同时成立.三式两边分别相加，得，由内角和定理得，显然不成立.所以三式中仅有两式成立，故为钝角三角形.故选D.10.B对于A.因为，当时，恒成立，所以此时不存在极值点，故A正确；对于B.因为，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，，所以函数有且只有一个零点，故B错误；对于C，令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动2个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对于D，设切点为，，故切线方程为，将代入得，所以，解得，故D正确.故选B.11.A由题可知矩形所在截面圆的半径即为矩形的对角线长度的一半，因为，，所以矩形所在截面圆的半径，由矩形的面积，设到平面的距离为，所以，解得，所以球的半径，所以球的表面积.故选A.12.C点到渐近线的距离，则，由余弦定理，得，可得，即.故选C.13.-1因为函数图象过定点，将它代入抛物线方程得，所以其准线方程为.14.因为为锐角，且，所以，所以.15.①④对于①，易得四边形为平行四边形，则就是与所成的角.连接可以得到为等边三角形，所以与所成的角为60°，故①正确；对于②，因为平面，则，而，所以平面，所以直线与所成的角为90°，故②错误；对于③，连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为1，则，，，所以直线与平面所成的角为30°，故③错误；对于④，因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故④正确.故选①④.16.的可能取值为0，1，.若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以；若两条棱平行，则它们的距离为1或，而距离为的共有6对，则；当两条棱异面时，两条棱上各取一点，其两点间距离的最小值为l，则，所以随机变量的分布列为01所以.17.解：（1）由题意，，，所以，故线性回归方程为.（2）由题意，设高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为，则直径偏差为，而高度偏差为128-120=8，所以，解得，所以可以预测这株树苗的树干最大直径为34mm.18.解：（1）由，得，两式相减，得，所以，即.又因为时，，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（2）由（1）得，当时，，当时，.综上，19.（1）证明：取BC的中点G，连接AG，DG，FG，因为，，所以，，所以四边形AGCD为平行四边形，所以，，同理.因为平面，平面，所以平面，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，且，所以平面平面，因为平面，故DF与平面ABE无公共点，所以平面ABE.（2）解：过D在平面CDEF内作直线，由题意得，平面ABCD，因为平面ABCD，所以.以D为原点，直线DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则即令，解得，，故；设平面的一个法向量，则即令，解得，，故，所以，设二面角的大小为，所以.20.解：设，，则，直线的斜率.因为M，N在椭圆C上，所以，，两式相减得，即，又，所以，即.又因为椭圆过点，所以，解得，，所以椭圆方程为.（2）联立消整理得.因为直线与椭圆交于A，B两点，故，解得.设，，则，.设AB中点，则，，故.假设存在和点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，所以，解得，故.又因为，所以，所以，即，整理得.所以.代入，整理得，即，所以或.即存在使得是以Р为顶点的等腰直角三角形.当时，点坐标为；当时，P点坐标为.此时，是以Р为直角顶点的等腰直角三角形.21.（1）解：，当，即时，恒成立，在上单调递增.当，即时，由得或.由得，所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）证明：有两个不同的根，