高中数学 人教A版 选修三《计数原理》分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）-教学设计

第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）一、教材分析本节课为本章节的第1课时，是学生接触组合数学的第1节课，两个计数原理又是本章节的基础，其重要性不言而喻。结合章头图，以现实生活中的计数问题作为背景，介绍本章的知识框架，使学生明确本章节所要学习的内容。本节课从实例入手，学生在探究中归纳出两个计数原理的概念，在具体情境中体会两个计数原理的区别与联系，为接下来的教学做好铺垫。二、学情分析两个计数原理近乎常识，学生理解起来难度不大，但如何让学生从具体问题的背景中抽象概括出两个计数原理，并正确理解“完成一件事情”的含义，是本节课的重、难点所在。三、教学目标1.认识现实生活中的计数问题是普遍存在，激发学生学习本章的兴趣，明确本章要学习的主要内容。2.归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并正确理解“完成一件事情”的含义。3.通过章引言与章头图的介绍，感悟数学来源于生活又服务于生活的课程理念，通过经历从具体问题中归纳出两个计数原理的过程，培养学生逻辑推理与数学抽象的核心素养。四、教学重、难点重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。难点：正确理解“完成一件事情”的含义。五、教学方法启发、引导、自主、探究六、教学过程设计1.章引言与章头图介绍师：今天我们开始学习选择性必修第三册第六章的内容：计数原理，那么什么是计数原理呢？在回答这个问题之前，我们先通过几张图片，一起了解一下新中国成立后车牌的演变历史：1949年9月，新中国推出了第一代汽车牌照，但这一代车牌只使用了1年就被召回了；1950年，交管部门发布第二代车牌，同学观察一下，两代车牌之间有什么变化吗？众生：增加了1位数。师：到了第三代车牌，在表示省份的位置又增加了1位数，到了1973年，交管部门发布了第四代车牌，和前三代比较，第四代车牌最显著的变化是什么？众生：车牌的颜色种类变多了。师：是的，到了1986年，交管部门发布第五代车牌的颜色组成就更加丰富了，而我们在路面常见到的是第六代车牌，和前面几代车牌相比较，第六代车牌的组成更加简洁了，并推出了“个性车牌”，允许在车牌的后5位序号中使用字母，如：FB888；近些年，随着新能源汽车的快速发展，交管部门为新能源汽车设计了独有的绿色牌照，其中序号比原来又增加了1位数。思考：推动车牌发展的关键因素是什么？众生：车牌的“容量”师：是的、随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量的迅速增长，汽车号牌序号就需要扩容，交通管理部门在确定序号的组成方法以前，就需要先明确这样的车牌组成方式能表示多少辆不同的汽车，以保证能满足民众的需求，而这个问题的本质就是一个计数问题。计数问题大量存在于我们的日常生活当中，如选科、体育……面对这些计数问题，我们当然可以采用一一列举的方式来完成计数，但当数量较大时，列举的方法效率就不高了，比如下面这个问题：这是一个国际象棋棋盘，棋盘中矩形的个数有多少个？这个问题的答案就很难通过一一列举的方式来进行计数了。思考：如何才能加快我们的计数过程呢？提示：国际象棋棋盘中有多少个单位正方形？是数出来的吗？我们采用的什么样的方法来加快我们的计数过程的？众生：运算师：很好，通过加法和乘法运算，我们可以将若干个“小”的数结合成“较大”的数，这两种方法经过推广就成了本章第一节6.1将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法；然后在第二节6.2中，我们将在两个计数原理的基础之上，学习两类特殊的计数模型及其计数公式——排列数公式和组合数公式；作为计数原理与计数公式的一个应用，在本章的第三节6.3中，我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理，带同学们领略一下组合数学的魅力。设计意图：使学生认识现实生活中的计数问题，概述研究计数问题的总体思路，并明确本章要学习的主要内容。2.分类加法计数原理思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?生：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共能编出26+10=36种师：很好，请坐，这个计数问题用到了加法运算，我们一起来分析一下这个问题的特征，首先，这里要完成的事情是什么？众生：“给一个座位编号”师：很好，那么我们是怎样完成这件事情的呢？众生：“选一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字”师：不错，同学们考虑到了这个关键的“或”字，就是说用一个英文字母或是一个阿拉伯数字都能完成给座位编号这件事情，而且英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以我们可以将所有号码按字母和数字分为两类，再将两类号码数相加就可以得到号码的总数了。思考：你能举一些生活中类似的例子吗？生：确定选科的方案，可以按物理和历史进行分类，物理类有6种方案，历史类有6种方案，所以一共有12种不同选择方案；生：确定卡塔尔世界杯的比赛场次，可以按小组赛和淘汰赛进行分类，对两类分别完成计数以后，相加就得到所有的比赛场次了……师：同学们列举的很好，你能总结一下上述计数过程的基本环节吗？生：1、确定分类标准；2、分别计算各类号码的个数；3、各类号码的个数相加，得出所有号码的个数；师：很不错，将这个计数环节用连贯的语言总结起来就得到了这节课要学习的第一个计数原理：分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事情共有N种不同的方法.师：同学们，你们觉得加法原理中有什么是需要我们注意的呢？生：要注意“不同的方法”，如果方法有相同的话，相加会导致重复计算。师：很好，在分类时，要保证两类不同方案中的方法互不相同，接下来我们一起看一道例题；设计意图：通过一个简单具体问题，引导学生从具体问题中抽象得到分类加法计数原理。例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表．A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？师：要完成一件什么事情？众生：选一个专业师：根据分类加法计数原理，你是怎样进行计数的？生：可以根据专业从属学校的不同，将完成“选一个专业”这件事，分成两类方案，并且A大学中的5个专业与B大学中的4个专业互不相同，所以，根据分类加法计数原理，可以得到不同的选法种数为N＝5＋4＝9．思考：例1中，如果C大学也有一些自己感兴趣的强项专业，如下表：A大学B大学C大学生物学数学新闻学化学会计学工商管理学医学信息技术学金融学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？众生：5+4+3=12种师：由此你能将分类加法计数原理进行推广吗？生：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn设计意图：让学生经历利用分类加法计数原理的计数过程，并通过思考题，引导学生将分类加法计数原理归纳推广到一般情形。3.分步乘法计数原理思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以A1师：这里要完成一件什么事情？众生：给座位编号。师：同样是对座位进行编号，这与第一道思考题有什么不同的地方吗？众生：这一题是用一个字母和一个数字对座位进行编号。师：不错，同学们注意到了关键字“和”字的出现，所以得到一个号码需要经历先确定字母，再确定阿拉伯数字这样两个步骤，我们可以通过列“树状图”的方式列出所有可能的号码。如下图：如果要用树状图列出所有可能的号码，应该怎样操作？众生：更换字母师：不错，也就是说前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，所以一共有N=6×9=54从列举编号的过程可以看出，要得到一个座位的编号，需要经历两个步骤，第一步：选一个英文字母（6种选法）；第2步：选一个阿拉伯数字（9种选法）因此共有N=6×9=54思考：类比于分类加法计数原理，你能归纳出“×”的计数原理吗？生：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。设计意图：通过对具体问题的分析，类比于分类加法计数原理，引导学生归纳出分步乘法计数原理。例2：某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？师：这里要完成一件什么事情？众生：任选男生和女生各1名代表师：你是怎样进行计数的？生：根据分步乘法计数原理，要完成“任选男生和女生各1名”这件事情，可以分两个步骤：第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同的选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N＝30×24=720。思考：在例2中，除了选择男女同学各一名以外，若再要从3名老师中选出一名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同的选法？众生：30×24×3=2160师：你能类比于分类加法计数原理，将分步乘法计数原理做一推广吗?生：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧‧，做第n步有mn设计意图：让学生经历利用分步乘法计数原理计数的过程，并通过思考，让学生将分步乘法计数原理归纳推广到一般情形。4.例题教学例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？师：这两个问题分别要完成一件什么事情？生：第一问要完成“任取一本书”；第二问要完成“各取一本书”；师：好，请同学们利用今天所学的计数原理，解决这两个计数问题。生：在第一问中，完成“任取1本书”这件事，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取一本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法；根据分类加法计数原理可得，不同的选法种数为N＝4＋3＋2＝9．在第二问中，完成“各取1本书”这件事，可以分为三个步骤：第1步是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步是从第2层取一本文艺书，有3种方法；第3步是从第3层取1本体育书，有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为N＝4×3×2＝24思考：在面对计数问题时，采用哪种计数原理取决于什么？众生：完成一件什么事情设计意图：通过具体问题体悟两个计数原理的意义及其区别5.课堂小结(1)你有哪些收获？(2)你认为什么是计数问题？(3)你认为在解决计数问题时，首先要考虑什么问题？设计意图：梳理本节课所学习的内容。6.课后作业必做题：课本第5页练习：第1题、第3题、第4题选做题：课本第5页练习：第2题举一些生活中的计数问题，并尝试利用两个计数原理来解决；