工程力学课件平面力系的简化与平衡

工程力学课件平面力系的简化与平衡第1页，共74页，2023年，2月20日，星期四第一讲：平面汇交力系、平面力偶系的简化与平衡

第二讲：平面任意力系的简化与平衡

第三讲：考虑摩擦时的平衡问题和重心

习题课第二章平面力系第2页，共74页，2023年，2月20日，星期四目的要求：掌握利用平面汇交力系、平面力偶系平衡方程 基本形式求解平衡问题。教学重点：平衡方程的正确运用。教学难点：对平衡方程的理解。第一讲：平面汇交力系、平面力偶系的简化与平衡

第3页，共74页，2023年，2月20日，星期四空间力系平面力系汇交力系力偶系平行力系任意力系第4页，共74页，2023年，2月20日，星期四一、平面力系的概念：平面力系:如果作用在物体上的所有力(包括力偶)均作用于同一平面内,这样的力系称为平面力系。

平面汇交力系:同一平面内，若所有力的作用线都汇交于一点，这类力系称为平面汇交力系。平面平行力系:同一平面内，若所有的力的作用线均相互平行，这类力系称为平面平行力系。平面力偶系：

平面力系仅由力偶组成。平面任意力系:同一平面内，若力系中的力既不一定平行，又不汇交于一点，这类力系称为平面任意力系。第5页，共74页，2023年，2月20日，星期四第6页，共74页，2023年，2月20日，星期四二、平面汇交力系的简化平面汇交力系的简化有两种方法：几何法与解析法1、几何法简化的理论依据是力的平行四边形法则或三角形法则，将各力逐一相加，可得到从第一个力到最后一个力首尾相接的多边形，多边形的封闭边即为该汇交力系的合力。注意：用力的多边形求汇交力系的合力时，合力的指向是从第一个力的起点（箭尾）指向最后一力的终点（箭头）第7页，共74页，2023年，2月20日，星期四结论：平行汇交力系的合力是将力系中各力矢量依次首尾相连所得的折线由起点向终点作有向线段，封闭边表示该力系合力的大小和方向，且合力的作用线通过汇交点。合力表达式第8页，共74页，2023年，2月20日，星期四2、解析法解析法是以力在坐标轴上的投影为基础，一个力在坐标轴上的投影合力公式为：多个力组成的力系在坐标轴上的投影合力公式为：第9页，共74页，2023年，2月20日，星期四看下书中P24例题1和2，来巩固下平面汇交力系求合力的几何法与解析法。第10页，共74页，2023年，2月20日，星期四三、平面汇交力系的平衡平衡的几何条件：力多边形的封闭边应不存在，力的多边形必自行封闭。力的多边形自行封闭式平面汇交力系平衡的几何条件。该方法一般不常用的，常利用解析法，用平衡方程来解未知力。第11页，共74页，2023年，2月20日，星期四平衡的解析条件：OF3F4yF4F1F2第12页，共74页，2023年，2月20日，星期四利用平衡方程解析法求解未知力的步骤：选取研究对象，画受力图建立直角坐标系列平衡方程并求解第13页，共74页，2023年，2月20日，星期四例1：如图，已知G＝100N，求斜面和绳子的约束力第14页，共74页，2023年，2月20日，星期四解：取小球为研究对象，画受力图并建立坐标系如图a）；列平衡方程：若坐标系如图b)建立，平衡方程如何写？第15页，共74页，2023年，2月20日，星期四解：1）取滑轮B轴销作为研究对象。2）画出受力图（b)。例2

利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B[图(a)]。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。第16页，共74页，2023年，2月20日，星期四3）列出平衡方程：4）联立求解，得

反力SBC为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆BC实际上受压力。

第17页，共74页，2023年，2月20日，星期四四、平面力偶系的合成与平衡平面力系中仅包含力偶，这样的平面力系为平面力偶系。在一个平面内有n个力偶作用时，有以下公式：平面力偶系平衡的必要充分条件是合力偶等于零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即：只有一个方程，因此只能求解一个未知量为什么？第18页，共74页，2023年，2月20日，星期四例3

图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为

M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和M2间的关系。解：杆AB为二力杆。第19页，共74页，2023年，2月20日，星期四分别写出杆AO和BD的平衡方程：由得第20页，共74页，2023年，2月20日，星期四练习：(没有做）如图所示为一夹具中的连杆增力机构，主动力F作用于A点，夹紧工件时连杆AB与水平线的夹角ɑ＝15˚。试求夹紧力FN与主动力F的比值（摩擦不计）。第21页，共74页，2023年，2月20日，星期四作业：P582-40第22页，共74页，2023年，2月20日，星期四目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程 基本形式求解平衡问题。了解静定与静不定结构以及桁架结构的特点教学重点：平衡方程的正确运用。教学难点：对平衡方程的理解，对静定和静不定问题的理解。第二讲、平面任意力系的简化和平衡第23页，共74页，2023年，2月20日，星期四设平面任意力系如图（a）所示将图（b）所示平面汇交力系和平面力偶系合成，得：主矢：主矩：图（a）一、平面任意力系的简化第24页，共74页，2023年，2月20日，星期四如图（c）所示主矢FR’和主矩MoFR’≠0Mo=0FR’

=0Mo≠0FR’

≠0Mo≠0第25页，共74页，2023年，2月20日，星期四平衡条件主矢为零：FR’=0主矩为零：Mo=0 即：其他形式：二矩式：三矩式：A、B、C不共线二、平面任意力系的平衡第26页，共74页，2023年，2月20日，星期四平面汇交力系平衡方程平面力偶系平衡方程平面平行力系平衡方程各力不得与投影轴垂直两点连线不得与各力平行第27页，共74页，2023年，2月20日，星期四已知：尺寸如图；求：起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；解：取起重机，画受力图.为不安全状况解得P3min=75kN例1（1）满载时，第28页，共74页，2023年，2月20日，星期四空载时，为不安全状况解得P3max=350kN第29页，共74页，2023年，2月20日，星期四例2：已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力解：1）画受力图，并建立坐标系2）列方程第30页，共74页，2023年，2月20日，星期四三、静定与超静定问题静定与静不定概念：

1.静定问题——当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。2.静不定问题——当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。静定静不定静不定静不定第31页，共74页，2023年，2月20日，星期四四、平面桁架桁架：两端用铰链彼此相连受力后几何形状不变的杆系结构第32页，共74页，2023年，2月20日，星期四简化计算模型杆件节点节点杆件节点杆件节点杆件节点：杆件间的结合点。第33页，共74页，2023年，2月20日，星期四1．为简化桁架的计算，工程实际采用以下几个假设：1）桁架的杆件都是直杆；2）桁架的杆件用光滑铰链连接；3）桁架所受载荷都作用在节点上；4）不计杆件重量或重量平均分配在杆件的两端节点上。

即桁架中各杆均为二力杆。2．静力学所研究的桁架均为静定桁架，即各杆件内力可由静力平衡方程全部求出。桁架的内力计算（了解）第34页，共74页，2023年，2月20日，星期四1、节点法：桁架的每个节点受一个汇交力系作用，为求解每个杆件的内力，逐个取节点为研究对象，即可由已知力求得全部杆件内力桁架的求解方法静定桁架内力的求解方法有节点法和截面法。2、截面法:当求桁架构件上某个杆件内力时，可以根据要求选取一个截面，把桁架截开，被截杆件截口处作用将用内力代替，再考虑任意部分的平衡，这样求出所要求的内力第35页，共74页，2023年，2月20日，星期四解：①研究整体，求支座反力节点法已知：如图

P=10kN，求各杆内力？②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。第36页，共74页，2023年，2月20日，星期四节点D的另一个方程可用来校核计算结果恰与相等,计算准确无误。

第37页，共74页，2023年，2月20日，星期四解：研究整体求支反力①截面法已知：如图，h，a，P

求：4，5，6杆的内力。②选截面I-I

，取左半部研究A'II第38页，共74页，2023年，2月20日，星期四作业：1、构件的支承及荷载如图所示，求支座A，B处的约束力。2、P562-32另外2-37（a）图自愿做连同上两节课的作业：P19：1-19题(a)、(i)；1-20题(e)、(h)；1-21题(d)P582-40周一上午交上来

第39页，共74页，2023年，2月20日，星期四

前面所考虑的问题是物体间接触表面看作是光滑的,但是实际生产和生活中，摩擦是客观存在的，有时摩擦是不能忽视的，必须考虑和分析。摩擦有它有利的一面，如摩擦制动器；皮带传动等正是应用这一点。摩擦也有它有害的一面，消耗能量，造成机器磨损等。一、摩擦分类1）根据物体相对运动类型分为滑动摩擦和滚动摩擦；2）根据物体表面是否存在相互运动分为动摩擦和静摩擦本节主要介绍静摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题第三讲：考虑摩擦时的平衡问题第40页，共74页，2023年，2月20日，星期四

两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静摩擦力和动滑动摩擦力。（1）静滑动摩擦力

在粗糙的水平上放置一重G

的物体，用水平绳绕过滑轮拉重物，绳的另一端加重为F的砝码。1.滑动摩擦分析第41页，共74页，2023年，2月20日，星期四可见，静摩擦力的大小随拉力F的增大而增大，重物受拉力F

作用，当F由零值逐渐增加但不是很大时，物体仍保持静止,支承面对物体除有法向约束反力FN

外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，以Fs

表示，方向向左。

可见，静摩擦力就是接触面对物体作用的切向约束反力，它的方向与物体相对滑动趋势相反，它的大小需用平衡条件确定。此时有：第42页，共74页，2023年，2月20日，星期四静摩擦力与一般约束反力不同，它并不是随力F的增加而无限度的增加。当力F的大小达到一定数值时物体处于将要滑动，但尚未开始滑动的临界状态。这时，力F

再增大一点，物体将开始滑动。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称为最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F

再继续增大。但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。（2）最大静滑动摩擦力

静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零和最大值之间，即0<Fs<

Fmax

称为静摩擦定律（库伦定律）fs静称为静摩擦系数，它是无量纲数实验证明：最大静摩擦力大小与两种物体间的正压力（即法向反力）成正比，即：

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当滑动摩擦力已达到最大值时，主动力再继续增加，接触面之间将出现相对滑动，此时接触物体之间仍有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd表示。实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即：（3）动滑动摩擦力

实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关，不同材料物体，动摩擦系数随相对滑动速度变化规律也不同，当滑动速度不大时，动摩擦系数可近似认为是个常数。f是动摩擦系数，它是无量纲数，与接触物体材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。通常动摩擦系数小于静摩擦系数第44页，共74页，2023年，2月20日，星期四当F=0时，Fs=0当0<F<

Fmax

时，物体平衡当F=

Fmax

时，物体处于临界平衡状态平衡当F>Fmax

时，物体滑动，第45页，共74页，2023年，2月20日，星期四二、摩擦角与自锁

(1)摩擦角

有摩擦时，支撑面对物体的作用力：有法向反力FN和摩擦力Fs，二力的合力FRFR称为全约束反力，简称为全反力；设FR与FN与夹角为α，满足：临界平衡时，Fs达到最大静摩擦力Fsmax，夹角α达到最大值ψ全约束反力和法线方向的夹角最大值称为摩擦角。它满足：第46页，共74页，2023年，2月20日，星期四

(2)摩擦锥当物体所受外力改变时，滑动趋势改变，全约束反力的方位也改变。最大全反力作用线相当于以作用点为顶点，半锥角为ψ的圆锥母线。这个圆锥称为摩擦锥。第47页，共74页，2023年，2月20日，星期四

当主动力合力的作用线在ψ角内，无论主动力Q多大，都能使物体保持平衡，这种现象称为自锁。如何判断自锁，首先计算主动力合力作用线与接触面法线的夹角θ，如果θ<ψ时，自锁；如果θ>ψ时，不自锁。自锁问题工程应用:如千斤顶，螺纹联结、自动卸货车都应用此原理。当主动力的合力作用线在摩擦锥之外，物体便不能平衡。

(3)自锁

物体平衡时，静摩擦力0<Fs<

Fsmax，全反力方向在摩擦锥内。第48页，共74页，2023年，2月20日，星期四考虑摩擦时平衡问题分析的步骤：1）取研究对象，受力分析（增加了摩擦力）2）建立坐标系3）分析力系，达到临界状态时补充方程4）解析法求解（平衡存在一定范围）三、考虑摩擦时物体的平衡问题第49页，共74页，2023年，2月20日，星期四用绳以P=100N拉力拉一个重W=500N的物体，物体与地面摩擦系数为f=0.2,绳与地面夹角为α=300绳求：（1）物体平衡时，摩擦力F的大小；（2）物体滑动时的最小拉力Pmin.解：

(1)1）取重物为研究对象、受力分析

2）建立坐标系3）分析力系有摩擦的平面汇交力系例第50页，共74页，2023年，2月20日，星期四4）解析法求解第51页，共74页，2023年，2月20日，星期四（2）4）分析力系，本力系为有摩擦的平面汇交力系，处于临界状态5)解析法求解第52页，共74页，2023年，2月20日，星期四

1．平面任意力系的简化

主矢F'R=∑F'=∑F，与简化中心的位置无关。

主矩MO=∑MO（F），与简化中心的位置有关。

力系平衡为F'R=0，MO=0。

小结

第53页，共74页，2023年，2月20日，星期四2．平面力系的平衡方程式2、平面力系平衡程平面任意力系平面汇交力系平面平行力系∑Fx＝0∑Fy＝0∑MO(F)＝0∑Fx＝0∑Fy＝0∑Fx＝0∑MO(F)＝0

3．求解物体系统平衡问题的步骤

1）适当选取研究对象，画出各研究对象的受力图

2）建立恰当的坐标系2）分析各受力图，利用平衡方程求解第54页，共74页，2023年，2月20日，星期四

4、考虑摩擦时的平衡问题对静摩擦力、最大静摩擦力、滑动摩擦力的概念的理解。摩擦角和自锁现象平衡方程的应用（注意加上摩擦力）第55页，共74页，2023年，2月20日，星期四

在地球附近的物体都受到地球对其的吸引力。重力作用于物体的每个微小部分。一个物体可以看成是许多微小部分构成。如图，每个微小物体的重力视为空间平行力系。整个物体的重力是这个空间力系的合力。物体无论如何放置，其合力作用线都通过物体上一个确定点。这一点称为物体的重心。平行力系合力为：平行力系合力位置由合力矩定理确定四、重心一）、重心概念和重心坐标公式第56页，共74页，2023年，2月20日，星期四由合力矩定理第57页，共74页，2023年，2月20日，星期四重心在物体中一个固定位置。可以将物体连同坐标系绕旋转900第58页，共74页，2023年，2月20日，星期四重心公式当物体的单位体积重量为常数γ体积重心第59页，共74页，2023年，2月20日，星期四若物体是均质等厚平板：则消去厚度得到：掌握的重点其中称为平面图形对y轴的静矩（截面一次矩）称为平面图形对x轴的静矩（截面一次矩）第60页，共74页，2023年，2月20日，星期四二）、确定重心的方法1）查表法

对于均质物体，或有对称轴，对称中心的物体的重心在相应对称轴，对称中心上。如圆锥，圆柱重心在其轴线上，球体重心在其几何中心上。简单形体的重心可以由工程手册查出。也可以进行计算.第61页，共74页，2023年，2月20日，星期四2）组合法(1)分割法例1

图示平面图形，求其形心。第62页，共74页，2023年，2月20日，星期四解:根据图形的组合情况，可将该截面分割成两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，Ⅱ的面积和形心坐标分别为

A1=120mm×12mm＝1440mm2

x1＝6mm

y1＝60mmA2＝（8