第十四章热力学基础习题解

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第十四章热力学基础

14-1一定量的气体，吸收了1.71×103J的热量，并保持在1.0×105Pa的压强下膨胀，体积从1.0×10-2m3增加到1.5×10-2m3，问气体对外界作了多少功？它的内能改变了多少？

解：气体等压膨胀过程中对外作功为：

W=P(V2-V1)=5.0?102J其内能的改变为：

?E=Q-W=1.21?103J

14-22.0mol的某种气体从热源吸收热量2.66×105J，其内能增加了4.18×105J，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功还是外界对它作功？

解：由热力学第一定律得气体所作的功为

W=Q-?E=-1.52?105J

负号表示外界对气体作功。

14-31mol范德瓦耳斯气体等温地由体积v1膨胀到v2的过程中对外作功多少？解：由范德瓦耳斯方程可知

P=

RTa?2

Vm?bVm?RT?1V2?ba?1????pdV???dV?RTIn?a?????V?bV2?V?bVV12??1v1??v2等温过程中气体对外做的功为

A=

?V2V1若式中a=b=0，则A=RTIn

V2，即理想气体等温过程对外做功的表示式。V1

14-4压强为1.0×105Pa，体积为1.0×10-3m3的氧气自0℃加热到100℃，问：（1）若为等压过程，则系统需要吸收多少热量？对外作功多少？（2）若为等体过程又如何？

解：查表知，氧气的定压摩尔热容Cp,m=29.44JmolK，定体摩尔热容Cv,m=21.12Jmol

-1-1

-1

K。根据所给初态条件，求得氧气的物质的量为

-1

?=

m?P1V1/RT1?4.41?10?2molM（1）等压过程

等压过程系统吸热

QP=?Cp,m(T2-T1)=129.8J

等压过程系统作功

V2T2WP=?dW=?pdV?V1mRdT?36.6J?MT1(2)等体过程

氧气吸热为

QV=?E=?Cv,m(T2-T1)=93.1J

而在等体过程中，因气体的体积不变，故作功为0。

14-5如下图，一定量的理想气体，开始在状态A，其压强为2.0×105Pa，体积为2.0×10-3m3，沿直线AB变化到状态B后，压强变为1.0×105Pa，体积变为3.0×10-3m3,求此过程中气体所作的功。

解：气体作功的表达式为W=?pdv。功的数值就等于p—v图中过程曲线下所对应的面积

W＝SABCD=

01P/(1.0×105Pa)A21DBC1BC?AD?CD=150J2??23V/(1.0×10-3m3)习题14-5图

14-6一气缸内贮有10.0mol的氦气，在将其压缩的过程中，外力作功209J，气体温度升高1K。计算气体内能的增量和所吸收的热量；若在压缩过程中系统的摩尔热容为常数，求其摩尔热容。

解：?E=vCv,m?T=10.0?

3?8.31?1?124.7J2Q=?E+W=124.7-209=-84.3JCm=

Q?84.3???84.3Jmol-1K-1v?T10?1负号表示物体温度升高，不仅不吸热，反而向外放热。

14-7除非温度很低，大量物质的定压摩尔热容都可以用下式表示：Cp,m=a+2bT-cT-2式中a、b和c是常量，T是热力学温度，求：（1）在恒定压强下，1mol物质的温度从T1升高到T2时需要的热量；(2)在温度T1和T2之间的平均摩尔热容；（3）对镁来说，若Cpm的单位为Jmol-1K-1,则a=25.7Jmol-1K-1,b=3.13×10-3Jmol-1K-2，c=3.27×105Jmol-1K-3，计算镁在300K时的摩尔热容量Cpm，以及在200K和400K之间Cpm的平均值。

解：（1）1mol物质从温度T1等压升温至T2时吸热为

·

·

·

T2Qp=?CpmdT=

T1T2T1??a?2bT?cT?dT?a?T?T??b?T?22122?T12?cT2?1?T1?1

???（2）在T1和T2间的平均摩尔热容为

Cp,m?Qp/?T2?T1??a?b?T2?T1??c/T1T2

（3）镁在T=300K时的定压摩尔热容为

Cp,m=a+2bT-cT-2=23.9Jmol-1k-1

镁在200和400K之间Cp,m的平均值为

?1?1Cp,m?a?b?T2?T1??c/T1T2?26.0JmolK

14-8将压强为1.01×105Pa、体积为1.0×10-4m3的氢气，经绝热压缩使体积变为2.0×10-5m3，求压缩过程中气体所作的功。（氢气的摩尔热容比?=1.41）

解：设p、v分别为绝热过程中任一状态的压强和体积，则由P1V1?=PV?得P=P1V1?V-?

氢气绝热压缩作功为

W=?pdv=

?v2v1??V?γ?pγ?γ11??V2?P1V1VdV??V1???23.0J??1?γ??V2????

14-9如下图，使1mol氧气（1）由A等温的变到B；（2）由A等体的变到C，再由C等压地变到B，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。（3）若一热机按路径ABCA进行循环，计算热机的效率。P/(1.0×105Pa)分析：从P—V图上可以看出，氧气在A?B及A?C?B的两个过

A程中所作的功是不同的，但内能是状态的函数，其变化值与过程无关，仅取2决于始末两态，所以这两个不同过程的内能变化是一致的，而因初、末状态

1BC温度一致TA=TB，故?E=0，利用热力学第一定律Q=W+?E，可求出每一过程所吸收的热量02V/(2.0×10-2m3)1习题14-9图解：（1）沿AB作等温膨胀的过程中，系统作功

WAB=

mRTln?VB/VA??PAVAln?VB/VA??2.77?103JM而在等温过程中，氧气吸收的热量为

QAB=WAB=2.77?103J

（2）沿A到C再到B的过程中系统作功和吸热分别为WACB=WAC+WCB=WCB=PC(VB-VC)＝2.0?103JQACB=WACB=2.0?103J（3）热机的效率??WAB?WBCWWAB?WBC???10%Q1QAB?QCAQAB?Cvm(TA-TC)

14-10一卡诺热机的低温热源温度为27℃，效率为30％。（1）若要将其效率提高到50％，高温热源的温度需提高多少开？（2）若保持高温热源的温度不变，将其效率也提高到50％，低温热源的温度应为多少开？分析一下哪种状况更易实现。

(1)已知?=30?，T2=273+27=300K

根据公式?=1-

T2，可得：T1T2?429K

1?0.3T1=

当?＝50?时，设高温热源温度提高为?T1，则有

0.5=1-

300

429?ΔT1得：?T1=171K，即高温热源的温度需提高171开。

（2）设此时高温热源温度为T2’，则

T2'0.5=1-429易得T2’=214K

由于升高高温热源T1的温度较降低低温热源的温度T2更便利，更省功，则前一种状况更易实现。

14-11一定量的理想气体经图示循环，试完成下表：

过程内能增量ΔE/J作功W/J吸收热量Q/JPABBCCDDAABCDA-1005050-1500A等温B绝热DC习题14-11图V循环效率η=解：本循环由四个特别过程组成，等温过程?E=0，绝热过程Q=0，等体过程W=0，整个循环内能变化?E=0，再根据热力学第一定律，完成后的表格为：

过程内能增量ΔE/J作功W/J吸收热量Q/JABBCCDDAABCDA0-50-1001505050-500500-150150循环效率η=25％

14-12以理想气体为工质的热机，经历由两个等压过程和两个绝热过程构成的图示循环。已知B点温度TB＝T1,C点温度Tc＝T2，（1）证明该热机的效率为η＝1-T2/T1，(2)整个循环中最低温度是T2吗？

分析：首先分析判断循环中各过程的吸热、放热心况。BC和DA是绝热过程，故QBC、QDA均为零；而AB为等压膨胀过程，系统吸热，CD为等压压缩过程，系统放热，这两个过程所吸收和放出的热量均可表达为相关的温度的函数。再利用绝热和等压的过程方程，建立四点温度之间的联系，最终可得到求证的形式。

证（1）根据分析可知

PABDCV0习题14-12图?=1-

QCDQABmCp,m?TD?TC?T?TDT?TDM?1??1?C=1-C?1??mTB?TATB?TCCp,m?TB?TA?M?????TA??1?TB?????（1）

对AB、CD、BC、DA分别列出过程方程如下

VA/TA=VB/TB（2）

VC/TC=VD/TD(3)

VB?-1/TB=VC?-1TC（4）

VD?-1TD=VA?-1TA（5）

联立求解上述各式，可证得?=1-TC/TB=1-T2/T1

（2）虽然该循环效率的表达式与卡诺循环相像，但并不是卡诺循环，其原因是：卡诺循环是由两条绝热线和两条等温线构成，而这个循环则与卡诺循环不同；另外式中T1、T2的含意不同，此题中T1、T2只是温度变化中两特定点的温度，不是两等温热源的恒定温度。

14-13一台利用地热发电的热机工作于温度为227℃的地下热源和温度为27℃的地表之间。（1）假设该热机每小时能从地下热源吸收1.8×1011J的热量，热机效率按可逆机计，其最大功率可达到多少？（2）若一个热机循环真正为可逆循环，其功率会是多少？

解：（1）热机工作在最高的循环效率时，热功转换的效率最高；在此状况下在一定的时间内转化为功的热量越多，功率越大。根据卡诺定理可知，热机获得的最大功率为P=?Q/t=(1-T2/T1)Q/t=2.0?107J?s-1

（2）可逆卡诺循环是无限缓慢的循环，其效率虽高，但功热转化的速度却是无限缓慢，单位时间内作功为0，功率亦为0。

14-14夏季室外温度为37.0℃，启动空调使室内温度始终保持在17.0℃，假使每天有2.51×108J的热量通过热传导等方式自室外传入室内，空调器的致冷系数为同温度下卡诺致冷机的60%。（1）空调一天耗电多少？（2）若将室内温度设置为27.0℃，每天可节电多少？

解：（1）卡诺致冷机的致冷系数为?C=T2/(T1-T2)，依题意空调的致冷系数应为

?=?C?60?=0.6T2/(T1-T2)=8.7

另一方面，由致冷系数的定义，