空间几何体的结构及其表面积与体积-2022年高考数学（理）一轮复习解读（原卷版）

考点12空间几何体的结构及其表面积与体积

•考纲呈现

i.空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图

所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形

式.

（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.

2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

考点解读

空间几何体的体积是每年高考的热点之一，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算.命题形式以选择

题或填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间儿何体的结构特征、三视图等内容，

要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用-转化与化归思•想.

考向分析

1.三视图问题的常见类型及解题策略：

（1）由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合

空间想象将三视图还原为实物图.

（2）由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能

看到的部分用虚线表示.

（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，

然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视

图是否符合.

2.柱体、锥体、台体的表面积：已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的

形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积.多面体的表面积是各个面的面积之和，

组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分

别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.

3.空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易

题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解.

①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，

我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何

体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.

②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据

几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积

是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这

几个规则的儿何体的体积之和;如果是由一个规则的儿何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于

这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积.因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的

体积，就是求体积的“加、减''法.

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

4.球与几种特殊几何体的关系：（1）长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；（2）正四面体的外

接球与内切球的球心重合，且半径之比为3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接

球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；（4）球

与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（5）球与圆台的底面和

侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.

5.求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：

一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关

最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；

二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解

决.

・真题回眸

1.（2021.全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截

去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

2.（2021.浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正视图侧视图

俯视图

B.3C.D.3V2

3.（2021.北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

A.B.4C.3+6D.2

2

4.（202卜全国高考真题（理））已如4,81是半径为1的球0的球面上的三个点,且47_1/7,47=以7=1,

则三棱锥O—A3c的体积为（）

AV2R0,及D百

121244

5.（2021.全国高考真题）已知圆锥的底面半径为近,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.272C.4D.4c

6.（2021・北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（＜10mm）,

中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（50mm-100mm）,小明用一个圆锥形容器接了24小

时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

7.【2020年高考全国I卷】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该

四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底

面正方形的边长的比值为

5DV5—1QA/54-1

D.-----D.q1

24

8.【2020年高考全国II卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对

应的点为M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为

A.EB.D.H

9.【2020年高考全国n卷理数】已知IAABC是面积为外叵的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球

4

。的表面积为16兀，则。到平面ABC的距离为

A.也B

-1C.1DT

10.【2020年高考全国川卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A.6+4也B.4+4&

C.6+2有D.4+2石

11.【2020年高考全国I卷】已知为球。的球面上的三个点，。。|为"BC的外接圆，若。。的

面积为4兀，AB=BC=AC=OO1,贝ij球。的表面积为

A.64兀B.48兀

C.36KD.32兀

12.【2020年高考天津】若棱长为26的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A.12冗B.24兀

C.36兀D.144兀

13.【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

侧（左）视图

A.6+6B.6+2百

C.12+6D.12+26

14.【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cn?）是

止视图侧视图

俯视图

D.6

15.（2019年高考浙江卷）祖晒是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“辕势既同，则积不容异”称为祖

眠原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式/脩=S/7,其中S是柱体的底面积，八是柱体的高.若某柱

体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cm3）是

俯视图

A.158B.162

C.182D.324

16.（2019年高考全国I卷理科）已知三棱锥P-A8C的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是

边长为2的正三角形，E,尸分别是附，AB的中点，ZCEF=90°,则球。的体积为

A.8瓜RB.4几兀

C.2&nD.x/6n

17.（2021•全国高考真题（文））己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万则该圆锥的侧面积为.

18.（2021.全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成

某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

八I

H------2—HH--------2-H-H—2—H

图①图②图③

W

X------2------HH-2―H

图④图⑤

19.[2020年高考全国HI卷】已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

20.【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm?）为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆

锥的底面半径（单位：cm）是.

21.【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.己知螺帽的底面正

六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm.

（第9题）

22.（2019年高考全国川卷理科）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方

体ABCD-44aA挖去四棱锥。一后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H

分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,441=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm\不考虑打

印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.

23.（2019年高考北京卷理科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果

网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

24.（2019年高考天津卷理科）已知四棱锥的底面是边长为血的正方形，侧棱长均为石.若圆柱的一个

底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为

25.（2019年高考江苏卷）如图，长方体ABC。-的体积是120,E为CQ的中点，则三棱锥E-BC。

的体积是▲.

26.（2021•全国高考真题（文））如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD上底面ABCD,M为3C的

中点，且尸

（1）证明：平面力W_L平面P8D；

⑵若PD=DC=1,求四棱锥P—ABCD的体积.

27.(2021•全国高考真题(文))已知直三棱柱ABC—48cl中，侧面A&4B为正方形，AB=BC=2,

E,尸分别为AC和Cq的中点，BF

(1)求三棱锥产一EBC的体积;

(2)已知£＞为棱44上的点，证明：BF±DE.

28.【2020年高考全国I卷文数】如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△/WC是底面的内接正

三角形，P为£＞。上一点，NAPC=90°.

(1)证明：平面PAB，平面PAC；

(2)设。0=&,圆锥的侧面积为6兀，求三棱锥P/3C的体积.

29.【2020年高考全国II卷文数】如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形,

M,N分别为BC,SG的中点，P为AM上一点.过81cl和P的平面交48于E,交AC于尸.

(1)证明：AAi//MN,且平面AiAMALL平面EBiGF；

(2)设。为△4山©的中心，若A0=AB=6,A。//平面EBCF,且NMPN=三,求四棱锥8-EBQF

3

的体积.

30.(2021•全国高考真题)如图，在三棱锥A-BC£＞中，平面平面3CO,AB^AD，。为BO的

中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若△OCZ)是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA，且二面角E-3C-。的大小为

45°,求三棱锥4—BCD的体积.

%变式培优

1.已知四棱锥P-ABC。的侧棱均相等，其各个顶点都在球。的球面上，AB=BC,ZABC=90°,AD=20

CD=2,三棱锥尸-ABC的体积为7，则球。的表面积为()

An125兀64X/2TI

A.257cB.----C.32兀D.------

63

2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

C.x/3D.2石

3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是（)

4.一个正棱柱的正（主）视图和俯视图如图所示，则该三棱柱的侧（左）视图的面积为（）

正（主）视图

俯视图

A.8百B.16C.8&D.8

54r

5.如图，圆柱的底面半径为『，高为h,记圆柱的表面积为3,圆柱外接球的表面积为邑，若亍=£，则:

的值为（）

6.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（）

7.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：emD是（）

1IT

恻视图

8.在矩形A8CD中，BC=4,M为8C的中点，将AABM和AOCW分别沿AM,0M翻折，使点8与点C重

合于点P,若NAPO=150。，则三棱锥历一外。的外接球的表面积为（）

A.12兀B.347rC.687tD.126兀

9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体

的体积是（）

正视图左视图

俯视图

A.2cm3B.Gen?C.36cm3D.3cm3

10.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖膈，阳马居二，鳖膈

居一，不易之率也”.意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其

相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖膈，两者体积之比为定值2：1,这一结论今称刘徽原理.如图

是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）

主视图左视图

俯视图

A.4兀B.37rc.6万

11.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆锥的底面圆上

的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点尸处，则小虫爬行的最短路程为（）

A.12行B.16C.24D.24石

12.如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆.如果

圆柱的侧面积为16万，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（）

A.164B.16C.—D.—

713

13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的样卯结构，它的外观是如图所示的十字

立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90。樟卯起来.若正四棱柱的

高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（）

（容器壁的厚度忽略不计，结果保留乃）.

844C.424D.16兀

14.在三棱锥P—A5c中，己知24,平面ABC,PA=AB=BC=2乙48c=.若该三棱锥的顶点都在

同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.4万B.10万C.12%D.48%

15.在三棱锥P-ABC中，已知始，平面ABC,PA=AB=BC=2,AC=2近,若该三棱锥的顶点都在

同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.4万B.10%C.124D.487r

16.在三棱锥A-BC£＞中，AB=AD=BC=3,CD=5,30=4,AC=3近，则三棱锥外接球的表面积为

（）

63兀八64兀-128兀、126兀

A.——B.——C.------D.------

10555

17.在四面体S-A8C中，SA_L平面ABC,ZBAC=~,SB=SC=2应，SA=2,则该四面体的外接球的

表面积是（）

18.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积为（）

俯视图

A.2屈+而+3⑺B.5^0+710+275

C.V30+V10+375D.回+2麻+3通

19.如图，在△43c中，AB=AC=百，cosZ54c=-g,。是棱8c的中点，以4。为折痕把“8折叠，

使点C到达点C的位置，则当三棱锥C'-45。体积最大时，其外接球的表面积为（）

Dc

A

A9兀

A.—BC>D

4-TV-5兀

20.香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同

气味的香水洗澡了.近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品.已知“香奈儿’’的一款饱受热评的男士香

水的包装瓶如图（1）所示，其三视图如图（2）所示，其中图（2）中方格小正方形的边长为1,则该香水

瓶的体积为（）

A.万+120B.2"+120C.乃+110D.2万+110

21.如图，在四棱锥尸-ABC。中，。是正方形ABC0的中心，尸。，底面A8C。,PAf,AB=2则

四棱锥P-43CD内切球的体积为（）

p

.信D4舟c1I&c125岳

54272754

22.已知某几何体的三视图如图所示，点A,8在正视图中的位置如图所示（A,B分别为正视图中等腰梯形

的两个顶点），则在此几何体的侧面上，从4到B的最短距离为（）

A.巫B.36C.迎D.3币

22

a_

23.已知球。的半径R=三棱锥P-ABC内接于球。，PA_L平面ABC,且PA=AC=BC=3,则三

4

棱锥P-ABC的体积为（）

A.26B.6非C.GD.36

24.如图所示，在正方体48CD-ABCIA中，S是棱4区上任意一点，四棱锥S-ABCD的体积与正方体

ABCD-ABG。的体积之比为（）

A.：B.—C.—D.不确定

234

25.《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍要者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草

也.薨，屋盖也翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍矍字面意思为茅草屋顶现有

一个刍薨如图所示，四边形48co是边长为4的正方形，AADE与"CF是等边三角形,EF//AB,AB=2EF,

则该刍薨的外接球的半径为（）

2>/253V101425/254VwT8

L&♦JLJ•aJL/•

111111II

26.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的

直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现,

圆柱的表面积与球的表面积之比为（）

27.阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、

牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆

柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二.那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表

面积的比为（）

28.如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为

()

C.小D.76

29.攒尖是古代中国建筑中屋项的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角

攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.某四角攒尖，它的主要部分轮

廓可以近似看作一个正四棱锥，其三视图如图所示，则这个四棱锥外接球的表面积为（）

30.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF,其中A8/ADC//EF,“羡除，形似“楔体”.“广”

是指“羡除”的三条平行侧棱之长江c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离机、“袤”是指这

两条侧棱所在平行直线之间的距离〃（如图）.已知。=3,b=2,c=l,相=2,n=\,则此“羡除”的体积

为（）

上

*

X

命

4后

D.

72

C.3

B.3

A.2

腰

的等

高为g

。是

A3C

,底面

BCD

平面A

叫，

上，

球面

。的

在球

点都

个顶

的五

C。

-AB

棱锥P

知四

.已

31

）

积为（

表面

。的

则球

=2,

BC

=1,

1R4

AD=

C,

//B

，AD

梯形

67r

D.

57r

C.

"

B.4

0万

A.1

且

直，

CD垂

面A6

与底