2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：指数函数与对数函数综合

2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编

指数函数与对数函数综合

一、单选题

1.（2018•北京401中学高一期末）若0<a<l,则函数f（x）=a*+6的图象一定经过

A.第一、二象限B.第二、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

2.（2018・北京・人大附中高一期末）如果幕函数/（力=%"的图象经过点（2,4）,则/（x）在定义域内

A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值

111

3.（2019•北京师大附中高一期末）设a=0.62力=07,c=lg—,则a,b,c之间的关系是

2

A.c<a<bB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c

4.（2019•北京♦中央民族大学附属中学高一期末）根据有关资料.，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观

测宇宙中普通物质的原子总数N约为IO'。.则下列各数中与勺最接近的是

N

（参考数据：lg3M.48）

A.1033B.1053

C.IO73D.1093

5.（2020•北京・清华附中高一期末）若函数/（x）的图象上存在一点满足玉,+为=。，且%%声0,则称函

数/（%）为“可相反函数"，在①y=sinx；②y=lnx；③y=d+4x+l；④丫=-"、中，为"可相反函数”的全部序号

是（）

A.①②B.②③C.①③©D.②③④

6.（2018•北京401中学高一期末）函数y=ln（-f+2x+3）的减区间是

A.（-1,1]B.[1,3）C.（-oo,l]D.[1,-HO）

7.（2019•北京・中央民族大学附属中学高一期末）已知函数〃x）=彳；+3八go,则/（-10）的值是（）

A.1B.-1C.0D.-2

8.（2020•北京・清华附中高一期末）在a=log3。/，b=ta吟，,.=2^,d=sin2中，最大的数为（）

A.aB.bC.cD.d

9.（2020・北京.清华附中高一期末）下列函数在定义域内单调递增的是（）

A.y=x2B.y=tanxC.y=0.5rD.y=lgx

10.（2020.北京•清华附中高一期末）函数、=京用的定义域为（）

A.(-1,+<»)B.(-1,0)<J(0,+OO)

C.（O,+8）D.[-l,+oo）

二、多选题

11.（2020•北京・首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在（F,0）上单调递减的是（）

w2

A.y=2B.y=C.y=^-xD.y=ln（x+l）

三、填空题

-x+4,x<3

12.（2018•北京JOI中学高一期末）己知函数f（x）=iogd，x>3，定义函数g（x）=f（x）-k,若函数g（x）无零

、3

点，则实数k的取值范围为.

13.（2020.北京.首都师范大学附属中学高一期末）已知y=log“（2-奴）在区间（0,1）上是x的减函数，则。的取值范

围为.

14.（2021•北京二中高一期末）已知函数y=/T（a>o,且“工1）的图象恒过定点A,若点A在一次函数>=痛+"的

图象上，其中则—I■—的最小值为.

mn

15.（2018•北京・101中学高一期末）计算:

16.（2020•北京・清华附中高一期末）已知幕函数/（》）=/经过点[2,；）,则/（0）=

17.（2019•北京师大附中高一期末）logJS-ZlogJO+logQ/ogJG的值是.

18.（2019•北京师大附中高一期末）计算：log?16+*'=

四、解答题

19.（2019•北京师大附中高一期末）已知奇函数/5）的定义域为当X€[-l,0）时，/（x）=-（1）\

（1）求函数f（x）在（0J上的值域；

（2）若xw（0,l]时，函数y=：r（x）-q/（x）+l的最小值为-2,求实数入的值.

20.（2020・北京•清华附中高一期末）已知函数/（x）=|log“X（a>0,a#l）.

（1）若〃2）=g,求实数a的值；

⑵若。且/&）=/（%）,求的值;

（3）若函数/（x）在g，3的最大值与最小值之和为2,求实数a的值.

21.（2019♦北京师大附中高一期末）计算：2log,3-log,^+^,7-7'^2

o

22.（2020•北京•清华附中高一期末）计算：

(l)log64+21og63

Q)丘义啦x歌

(3)cos120°+tan135°

参考答案

1.A

【分析】

根据函数丫=2*经过第一、第二象限，可得函数f(x)=ax+6的图象经过的象限.

【详解】

当0<a<l时，由于函数y=ax经过第一、第二象限，函数f(x)=ax+6的图象是把y=ax向上平移6个单位得到

的，

故函数f(x)的图象一定过第一、第二象限，

故选A.

【点睛】

本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题.

2.C

【分析】

由基函数/(x)=x”的图象经过点(2,4),得到由此能求出函数的单调性和最值.

【详解】

解：•••嘉函数/(x)=4的图象经过点(2,4),

.•"(2)=2"=4,解得a=2,

/(X)=X2,

/(X)在xe(-oo,0]递减，在xe[o,4<»)递增，有最小值，无最大值.

故选C.

【点睛】

本题考查暴函数的概念和应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

3.A

【详解】

试题分析：由函数y=lnx的图象可知c<0,又由函数丫=£的图象可得该函数在°)上单调增，因为

0.6<0.7,则063<075,a<h,综上所述选A.

考点：1.对数函数2塞函数的单调性

4.D

【详解】

361

M?36lQ36180

试题分析：设詈=》=需，两边取对数，lgX=1g=1g3-1g10=361X1g3-80=93.28,所以X=1()9328,即

二最接近IO",故选D.

N

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系,以及指数与

对数运算的关系，难点是令》=温并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含

log„M+log,,N=log„MNlog(,M-log„^=log—,log„M"=nlog„M.

5.D

【分析】

根据已知条件把问题转化为函数/*)与直线丁=-*有不在坐标原点的交点，结合图象即可得到结论.

【详解】

解：由定义可得函数，(x)为“可相反函数”，即函数/")与直线丁=-*有不在坐标原点的交点.

①y=sinx的图象与直线y=-X有交点，但是交点在坐标原点，所以不是“可相反函数”；

②y=lnx的图象与直线y=-X有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”；

③y=x2+4x+l与直线>=一工有交点在第二象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”；

@y=-e-'的图象与直线y=-x有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数

结合图象可得：只有②③④符合要求；

故选：D

6.B

【分析】

利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可.

【详解】

令t=-x?+2x+3>0,求得-l<x<3,

故函数的定义域为(-1,3),且y=lnt递增，

只需求函数t在定义域内的减区间.

由二次函数的性质求得t=-(x-»+4在定义域内的减区间为［1,3),

所以函数y=ln(-x?+2x+3)的减区间是［1,3),故选B.

【点睛】

本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的

单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是

同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义(增增I增，减减->增，增减f减，减增f减).

7.A

【分析】

根据自变量满足的范围代入对应表达式求解即可.

【详解】

/(-10)=/(-7)=/H)=/(-l)=/(2)=log22=l.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值.属于基础题型.

8.B

【分析】

逐一判断各数的范围，即找到最大的数.

【详解】

因为a=log3().l<logj,所以〃<0；/>=tan—=1；C=2^=—<1；t/=sin2<l.

42

故6=1最大.

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.

9.D

【分析】

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；

对于B,y=tanx,是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；

对于C,y=0.5\是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；

对于D,y=lgx,是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；

故选：D.

10.B

【分析】

解不等式/〃(X+1)H0,且X+1>0,即可求出函数的定义域.

【详解】

解：要使函数有意义,则加(x+l)r0,且x+l>0,

即x>-l且xwO,

故函数的定义域为且XHO},

故选：B

11.AD

【分析】

利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，对于函数/(x)=2凶的定义域为R,f(-x)=2问=2忖=f(x),该函数为偶函数,

当xe(-oo,0)时，/")=2-'=(£|

,则函数丁=2区在区间(3,0)上为减函数，合乎题意;

,21卜#0},g(r)=[夕=苏=8(可，该函数为偶函数,

对于B选项，函数g(x)=x3=苏^的定义域为{x

由于该函数在区间(0,+8)上单调递减，则该函数在区间(y,0)上为增函数，不合乎题意;

函数刀(x)=1-x的定义域为{x|x#0},〃(一X)=g+x=-(g-x)=-/?(x),该函数为奇函数，不合乎

对于C选项,

题意；

对于D选项，e(x)=ln(d+i)的定义域为R,e(-x)=ln[(-x)2+l]=ln(x2+l)=e(x),该函数为偶函数,

由于函数9(x)=ln(f+l)在区间(0,+s)上为增函数，在该函数在区间(F,0)上为减函数，合乎题意.

故选：AD.

【点睛】

本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题.

12.[-1,1)

【分析】

由分段函数的解析式得函数在[3,+8)上f(x)=log、x递减，可得f(x)<—i；在(-8,3)上f(x)=-x+4递减，可得

f(x)>l,即f(x)的值域为(e，一1)31，+8),由y=f(x)的图象与y=k无交点，即可得结果.

【详解】

-x+4,x<3

函数f(x)=iog/,x>3,

可得x>3时，“x)=logix递减，

3

可得f(x)<-l；

当xV3时，f(x)=—x+4递减，可得f(x)21,

即有f(x)的值域为+8),

由函数g(x)=f(x)-k,若函数g(x)无零点，

y=f(x)的图象与y=k无交点，

则f(x)-k=O无解，即f(x)=k无解，

所以k的范围是卜1,1).

故答案为卜草).

【点睛】

函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇

偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点o函数

y=/(X)-g(x)在x轴的交点o方程/(X)-g(x)=0的根o函数y=/。)与y=g(x)的交点.

13.(1,2]

【解析】

先判断出。>0,由此确定出y=2-ax的单调性，再根据复合函数单调性的判断方法结合函数定义域求解出。的取

值范围.

【详解】

因为所以y=2-or在(0,1)上单调递减，

又因为y=log"(2-狈)在(0,1)上单调递减，所以j=log。％为增函数，

[a>1/1

所以C、八，所以即1,2，

[2-tz>0

故答案为：(1,2].

【点睛】

思路点睛：复合函数/(g(x))的单调性的判断方法：

(1)先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；

(2)当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；

(3)当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.

14.4

【详解】

由题意可知定点A(1,1)，所以m+n=l,因为肛〃>0,所以'+1=('+!)(加+〃)=2+'+2=2+2、乙2=4,当

tnnmnnm\nm

：时，J_+J■的最小值为北

2mn

15.5

【详解】

原式=212°万+1+2=5，故填5-

16.；##0.5

【分析】

将点代入函数解得加=-2,再计算得到答案.

【详解】

/(2)=2m=l,故〃?=一2,/(^)=(V2)"=1.

故答案为：J

17.1

【详解】

log』25-21og410+log451og,16=log425-log4l00+”♦生学

/g4lg5

25lg\61ii於[ci

=g4io6+-fe4=§44+g4-

答案为：1.

18.5

【详解】

log216+e'"'=4+1=5.

答案为：5.

19.(1)(1,2]；(2)2=4

【分析】

(1)利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f(x)在(0』上的值域.

(2)根据/(X)的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数九的值.

【详解】

(1)设xe(0,1],则-xW[-1,0)时，所以/(-x)=一(£)=-2x.

又因为/(x)为奇函数，所以有/(-x)=-f(x),

所以当XC(0,1]时，/(x)=-/(-x)=2x,所以“X)在(0』上的值域为(1,2],

(2)由(1)知当xG(0,1]时，f(x)e(1,2],

所以:/(x)e(1,1].

令,则(v区1,

gCt)(x)-y/(x)+1=»-Q+l=[一曰)4-1-A-,

夕11

①当万45,即左I时，g(f)>g(5),无最小值，

101j2

②当一V—Wl,即1<K2时，g(f)min=g(-)=1-----=-2,

2224

解得九=±28(舍去).

③当g>l,即>>2时，g(r)min=g(1)=-2,解得入=4,

综上所述，X—4.

【点睛】

本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档

题.

20.(1)a=4