陕西省西安市西北国棉四厂子弟中学2021年高三数学理模拟试题含解析

陕西省西安市西北国棉四厂子弟中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B．2 C．3 D．6参考答案：A【考点】双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．2.函数y=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)的图象的一条对称轴方程是A．x=

B．x= C．x=π D．x=参考答案：Cy=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)=sin(2x+)?cos(﹣x)+cos(2x+)?sin(﹣x)，所以x=π是其一条对称轴方程，选C.

3.榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是()A.36B.45C.54D.63参考答案：C【分析】根据三视图还原该几何体，得到该几何体为两个相同的四棱柱拼接而成，再由题中数据，即可求出结果.【详解】由三视图还原该几何体如下:可得，该几何体可看作两个相同的四棱柱拼接而成，且四棱柱底面为直角梯形，由题中数据可得，底面的上底为3，下底为6，高为3，四棱柱的高为3.因此，该几何体的体积为.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积问题，熟记棱柱的体积公式即可，属于常考题型.4.若圆的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点，点是圆上的动点，则的最大值为

.参考答案：略5.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（

）

A．尺

B．尺

C．尺

D．尺参考答案：试题分析：此题等价于在等差数列中，，，求由等差数列的前项和公式得解得故答案选考点：等差数列.6.不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2

p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3

p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3错误；

p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．7.在这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（

）

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：B8.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是

（

）参考答案：B略9.运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为 A．n≤5

B．n≤6

C．n≤7 D．n≤8参考答案：C略10.函数在上为减函数，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B因为函数在上为减函数，则有且，解得，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足约束条件，则的最大值是

．参考答案：12.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为

．参考答案：+=1【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=?，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦点，以及点关于直线对称，由点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为．参考答案：﹣13【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，z=2x+y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由解得B（﹣11，﹣2）设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z最小值=F（﹣11，﹣2）=﹣13．故答案为：﹣13【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱BC，CC1，CD的中点，平面α过点B1且与平面EFG平行，则平面α被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为为．参考答案：【考点】球的体积和表面积；棱柱的结构特征．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，外接球的半径为，球心到截面的距离﹣=，可得截面圆的半径，即可得出结论．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，外接球的半径为，球心到截面的距离﹣=，∴截面圆的半径为=，∴平面α被该正方体外接球所截得的截面圆的面积为．故答案为．15.三名学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为

。

参考答案：【知识点】古典概型及其概率计算公式三名学生两位老师站成一排，有种方法，老师站在一起，共有种方法，∴老师站在一起的概率为．故答案为：．【思路点拨】求出三名学生两位老师站成一排，有种方法，老师站在一起的方法，即可求出概率．

16.设向量、满足：||=1，||=2，?（）=0，则与的夹角是

．参考答案：60°【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．【解答】解：由||=1，||=2，?（）=0，∴﹣?=0，即12﹣1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．17.已知一个关于的二元线性方程组的增广矩阵是，则=__________.参考答案：6略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；（2）求|PA|?|PB|的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由椭圆参数方程可得，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化为极坐标方程．（II）写出直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|?|PB|=﹣t1t2，进而得出．【解答】解：（I）由椭圆参数方程可得，解得a=，b=1．∴曲线C的参数方程为，其直角坐标方程为：，可得ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2．（II）点P的极坐标是（，）化为直角坐标为（0，），直线l的参数方程为，代入曲线C的方程可得：（1+sin2θ）t2+4sinθt+2=0，∴|PA|?|PB|=﹣t1t2=∈[1，2]19.某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n份，统计结果如图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率1[20，30）28b2[30，40）270.93[40，50）50.54[50，60]a0.4（1）分别求出a，b，c，n的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X为第3组被授予“环保之星”的人数，求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求出c，求出第3组人数，然后求解b，a．（2）求出X的取值为0，1，2，以及相应的概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得（0.010+0.025+c+0.035）×10=1，解得c=0.03．…第3组人数为5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100．…第1组人数为100×0.35=35，所以b=28÷35=0.8．…第4组人数为100×0.35=25，所以a=25×0.4=10．…（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5：10=1：2，所以第3，4组应依次抽取2人，4人．…依题意X的取值为0，1，2．…P（X=0）=，…P（X=1）=…P（X=2）=，…所以X的分布列为：X012P所以EX=0×=．…【点评】本题考查频率分布直方图，离散型分布列以及期望，考查计算能力．20.（本小题满分13分）从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。（1）若抽取后又放回，抽3次，①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；②求抽到红球次数的数学期望。（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望。

参考答案：（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为 …………2分

抽全三种颜色的概率

…………4分②～B(3,),

…………6分

（2）的可能取值为2，3，4，5

,,…………8分

，

……