山西省忻州市西雷中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

山西省忻州市西雷中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是(

)A．16 B．21 C．24 D．90参考答案：B考点：计数原理的应用．专题：计算题；应用题．分析：本题是一个分类计数问题，要确保5号与14号入选并被分配到同一组，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类计数原理得到结果．解：由题意知本题是一个分类计数问题，要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类计数原理，得选取种数是C42+C62=6+15=21，故选B点评：本题考查分类计数原理，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，相加得到结果．2.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B设圆锥底面圆的半径为，高为，则，所以.故选B3.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.若上是增函数，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：答案：C解析：由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以，故Ｃ为正确答案．5.等比数列{an}各项均为正数，a3a8+a4a7=18，则A.20

B.36 C.9

D.参考答案：A6.已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（

）

A．当时，有4个零点；当时，有1个零点

B．当时，有3个零点；当时，有2个零点

C．无论为何值，均有2个零点

D．无论为何值，均有4个零点参考答案：A7.已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则（）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.函数的图象大致是（

）参考答案：A9.已知满足不等式，则函数取得最小值是（A）6（B）9（C）14（D）15参考答案：A10.集合，，则A∩B等于（

）A．{1,2}

B．{0,1,2}

C．{1,2,3}

D．{0,1,2,3}参考答案：A由题设知，，所以，故选：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是椭圆的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则的最大值为___________.参考答案：略12.已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是

．参考答案：【答案】②【解析】函数为偶函数，则

在区间上,函数为增函数，【高考考点】函数的奇偶性单调性的判定及应用13.如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则

．参考答案：试题分析：设方格边长为单位长.在直角坐标系内，，由得，所以，解得，所以，.考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理.14.若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15.已知实数满足约束条件，则的最小值等于

.参考答案：16.已知：，则的取值范围是_______参考答案：由得，，易得，故，.17.函数的最大值为______________________。参考答案：.【分析】化简已知得，再求函数的最大值.【详解】，则的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．参考答案：【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求得P和Q点坐标，求得丨QF丨，由题意可知，+=×即可求得p的值，求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入抛物线方程，由韦达定理x1x2=﹣4，求导，根据导数的几何意义，求得切线方程，联立求得M点坐标，根据点到直线距离公式，求得M到l的距离，利用三角形的面积公式，即可求得△ABM与△CDM的面积之积的最小值．【解答】解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，由，则+=×，解得：p=2，∴抛物线x2=4y；（2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，由y=x2，求导y′=，直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，则M（2k，﹣1），∴M到l的距离d==2，∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM?S△CDM=丨AB丨丨CD丨?d2，=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）?d2，=y1y2d2=?×d2，=1+k2≥1，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1．19.已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|．参考答案：【考点】函数恒成立问题；导数的运算．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）用分离参数法转化为求最值；（2）通过平方去掉绝对值：（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．求解．【解答】解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x）．又因为﹣2≤x≤﹣1，所以a≥在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立．因为≤，所以a≥．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．【点评】本题考查了用分离参数法处理恒成立问题、解绝对值不等式，属于中档题．20.已知函数的周期为，其中．（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，，f(A)=，求b的值．参考答案：略21.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）是直线l上位于圆内的动点（含端点），求x+y的最大值和最小值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），展开可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（II）圆C的标准方程为：=4．设z=x+y．把直线l的参数方程（t为参数）代入z=x+y，可得：z=2﹣t，由于直线l经过圆心，kd点P对应的参数满足﹣2≤t≤2即可得出．【解答】解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），展开可得：ρ2=4，可得直角坐标方程：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（II）圆C的标准方程为：=4，圆心C，半径r=2．设z=x+y．把直线l的参数方程（t为参数）代入z=x+y，可得：z=2﹣t，由于直线l经过圆心，∴点P对应的参数满足﹣2≤t≤2．∴﹣2≤﹣t≤2+2．即x+y的最大值和最小值分别为+2；2﹣2．22.已知在上是增函数，在