2022年湖南省常德市官陵湖中学高三数学文月考试卷含解析

2022年湖南省常德市官陵湖中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A）24对

（B）30对

（C）48对

（D）60对参考答案：C2.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：C3.执行如图所示的程序框图，若输出的S=26，则判断框内为（）A．k＞3？ B．k＞4？ C．k＞5？ D．k＞6？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=26，k=4时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s=26，即可得解．【解答】解：执行程序框图，第一次循环，s=4，k=2；第二次循环，s=11，k=3；第三次循环，s=26，k=4，结束循环，故判断框内应填“k＞3？故选：A．4.已知单位向量的夹角是，那么=（

）

参考答案：B5.（5分）已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为（）A．24B．26C．27D．28参考答案：B【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：计算题．【分析】：由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22，再由前n项和为286==11n，求得n的值．解：由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于=22，再由前n项和为286==11n，n=26，故选B．【点评】：本题主要考查等差数列的定义和性质，前n项和公式的应用，求得首项与末项之和等于=22，是解题的关键，属于基础题．6.已知双曲线的离心率为，则椭圆=1的离心率是A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设函数，则（

）A．－1

B．

C．

D．参考答案：D8.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：C9.已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（

）A．2

B．

C.1

D．参考答案：B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.

10.已知偶函数时，，=（

）

参考答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，若第三次（不放回地摸）摸到红球的概率为，则袋中红球有

个.参考答案：812.双曲线的离心率为

.参考答案：【知识点】双曲线的几何性质解析：因为双曲线，所以，所以离心率，故答案为。【思路点拨】根据双曲线的标准方程，可得a，b，c，从而可求双曲线的离心率．

13.设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为

m3．参考答案：4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．解答： 解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4点评：本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．14.某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则这个几何体的表面积为

cm2.

参考答案：略15.已知实数x，y满足的最小值为___________．参考答案：5解析：由题意可得可行域为如图所示（含边界），，即，则在点处取得最小值.联立解得：.代入得最小值5.

16.A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有种．（用数学作答）参考答案：60【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42﹣A22种坐法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42﹣A22种坐法，则共有A33（A42﹣A22）=60种坐法．故答案为60．17.已知是两个单位向量，若向量，则向量与的夹角是________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈?．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．19.已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的标准参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|+|MB|．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为，可得参数方程．（2）把直线l代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，化简后利用韦达定理可求t1+t2，t1t2的值，由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|即可求值得解．【解答】解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，可得圆C的圆心为（2，0），半径为2，直线l过点M（1，0），倾斜角为，参数方程为（t为参数）；（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，化简得t2﹣﹣3=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣3，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．20.（本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。参考答案：（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关……3分（2）年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有人…………7分年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下…10分设表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则中的基本事件有共4种…11分故所求概率为……12分21.已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=3，b=，f（A）=1，求角C．参考答案：考点：正弦定理；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间；（2）由特殊角的三角函数值，求出A，再由正弦定理，求得B，再由三角形的内角和定理，可得C．解答： 解：（1）f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，则函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）f（A）=1，即为2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，由于A为三角形的内角，则2A+=，即A=，由正弦定理得sinB===，由于a＞b，则A＞B，则B=，则C=π﹣﹣=．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调区间，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．22.19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。（I）