利用求函数极值

利用求函数极值第一页，共十二页，编辑于2023年，星期日边学边做：(一)用命令FindMinimum求极小值：FindMinimum[f[x],{x,x0}]FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]（1）先作图，观察之后求函数在[-3，3]内的极值（2）作图之后求函数的极值(二）用求驻点的方法求函数极值(1)求函数的极值(2)求函数的最值第二页，共十二页，编辑于2023年，星期日（三）Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值（1）求函数的极值、拐点，描绘该函数图像（2）设函数在两点处都取得极值，试确定的值，并问这时在处是取得极大值还是极小值？第三页，共十二页，编辑于2023年，星期日学生实验：一、基础部分1．求函数在[5，20]上的极值2．求函数的单调区间。3.求函数的极值点与极值.第四页，共十二页，编辑于2023年，星期日二、应用部分(1)当a为何值时,在处有极值,求此极值,并说明是极大值还是极小值.(2)若函数在x=-1处有极大值为8,在x=2处有极小值为-19,求a,b,c,d.(3)把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面高h与宽b如何选择时,才能使梁的抗弯截面系数达到最大?(4)求表面积为a2且体积最大的长方体体积.第五页，共十二页，编辑于2023年，星期日实验六内容详解：一、利用命令FindMinimum求极小值1、命令格式一元函数：FindMinimum[f[x],{x,x0}]功能：以为初始条件，求函数的极小值。多元函数：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]功能：以，为初始条件，求函数的极小值。

第六页，共十二页，编辑于2023年，星期日2、边学边做（1）求函数在[-3，3]内的极值解自定义函数f[x_]:=x^4-2*x^2;作函数图像Plot[f[x],{x,-3,3},AxesLabel->{x,y}]因而可确定函数在[-3，3]内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间内的极小值。FindMinimum[f[x],{x,-2}]\输出结果为-1，x->-1FindMinimum[f[x],{x,0.5}]\输出结果为1，x->1本题还有一极大值，Mathematics中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化FindMinimum[-f[x],{x,-0.5}]

\输出结果为0，x->0第七页，共十二页，编辑于2023年，星期日（2）求函数的极值解作函数图形（作法见第二节）FindMinimum[x^2+y^2-x*y-3x-2y+3,{x,0.5},{y,0.5}]

\输出结果为{-3.33333,{x->2.66667,y->2.33333}}第八页，共十二页，编辑于2023年，星期日二、用求驻点的方法求函数极值边学边做(1)求函数的极值解自定义函数f[x_]:=4*(x+1)/(x^2+1);Df=f’[x];Df2[x_]:=f’’[x];

解方程求驻点NSolve[Df==0,x]输出结果为x1=-2.41421，x2=0.414214

用二阶导数判别极值f’’[-2.41421]=0.242643>0，函数有极小值f[-2.41421]\输出结果-0.828427f’’[0.414214]=-8.24263<0，函数有极大值f[0.414214]\输出结果4.82843可作图验证第九页，共十二页，编辑于2023年，星期日(2)求函数的最值解自定义函数f[x_,y_]:=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;求驻点Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0}]\输出结果为{{x->-3,y->0},{x->-3,y->2},{x->1,y->0},{x->1,y->2}}比较各点函数值f[x,y]/.%\输出结果为{27，31，-5，-1}可求得最值为31第十页，共十二页，编辑于2023年，星期日三．Solve，Which，Print，Plot综合应用求极值边学边做1．求函数的极值、拐点，描绘该函数图像解自定义函数f[x_]:=x^3-3*x^2-9*x+5;画图可观察函数的主要性态Plot[f[x],{x,-5,5}]解方程求驻点并赋值m=Solve[f’[x]==0,x];\找驻点结果为{x->-1},{x->3}取得m中的数值x1=x/.m[[1]];x2=x/.m[[2]];计算二阶导数值以判别能否取得极值p1=f’’[x1];p2=f’’[x2];判别并输出结果Which[p1==0,Print[失效]，p1>0，Print[“f[-1]”极小值]，p1<0，Print[“f[-1]”极大值]]第十一页，共十二页，编辑于2023年，星期日找二阶导数为零的点并赋值n=Solve[f’’[x]==0,x];\

{x->1}取得n中的数值y1=x/.n[1]计算x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点q=f’’[y1-0.1]*f’’[y1+0.1];判别并输出结果Which[q>0，Print[无拐点]，p<0，Print[“(“1”,”f[1]”)”,拐点]]注：（1）Which命令格式：Which[条件1，表达式1，条件2，表达式2，…，条件n，