2021-2022学年湖南省永州市大桥中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省永州市大桥中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的虚部是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B2.复数z满足：（z－i）i=2+i，则z=

A．一l－i

B．1－i

C．—1+3i

D．1－2i参考答案：3.若函数的图象按向量

平移后，它的一条对称轴是=,则的一个可能值

A.

B.

C.

D.参考答案：答案:B4.已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣，]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，] C．[﹣1，] D．[，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）﹣2017x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[﹣，]单调递增，求导，则g'（x）≥0恒成立，则k≤sin（x+）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．【解答】解：若方程f'（x）=0无解，则f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，?x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017，则f（x）﹣2017x为定值，设t=f（x）﹣2017x，则f（x）=t+2017x，易知f（x）为R上的增函数，∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx，∴，又g（x）与f（x）的单调性相同，∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[﹣，]，g'（x）≥0恒成立，当时，，，，此时k≤﹣1，故选A．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．5.函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为()A．π，1

B．π，

C．2π，1

D．2π，参考答案：A6.函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）A． B． C． D．π参考答案：B【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．【解答】解：对于，T=∴两条相邻对称轴间的距离为=故选B．7.设定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程无解，则实数的取值范围是A．

B．

C． D．参考答案：【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案解析】D

解析：由f（x）﹣cosx﹣a=0得f（x）﹣cosx=a，设g（x）=f（x）﹣cosx，∵定义在R上的偶函数f（x），∴g（x）也是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，∴g（x）=x3﹣cosx，则此时函数g（x）单调递增，则g（0）≤g（x）≤g（1），即﹣1≤g（x）≤1，∵偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1），∴f（1﹣x）=f（x+1）=f（x﹣1），即f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，则函数g（x）在R上的值域为[﹣1，1]，若方程f（x）﹣cosx﹣a=0（a＜0）无解，即g（x）=f（x）﹣cosx=a无解，则a＜﹣1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论．8.函数的反函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知i是虚数单位，复数z满足，则（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：B由题意可得：，则：，结合复数模的运算法则可得：.本题选择B选项.

10.若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.理：直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是

.参考答案：或；12.如图，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，则三棱锥D﹣AEF体积的最大值为

．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：空间位置关系与距离．分析：由于S△ADE是定值．因此要求三棱锥D﹣AEF体积的最大值，只要求出点F到平面ABD的距离的最大值即可．由题意可得：取AB的中点O，连接CO，当CO⊥AB时，点F到平面PBD的距离最大，设为h．利用即可得出h．解答：解：∵DA⊥平面ABC，∴AD⊥AB．∵AD=AB=2，AE⊥DB，∴S△ADE==1．因此要求三棱锥D﹣AEF体积的最大值，只要求出点F到平面ABD的距离的最大值即可．由题意可得：取AB的中点O，连接CO，当CO⊥AB时，点F到平面PBD的距离最大，设为h．此时：OA=OC=OB=1，AC=，．=．FD=．∴=，∴．∴三棱锥D﹣AEF体积的最大值===．故答案为：．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形的面积计算公式、三角形相似的性质、圆的性质、射影定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

．

参考答案：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。

【解析】略14.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是_______.参考答案：略15.双曲线C：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为

．参考答案：由题意知，，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.

16.已知点和圆：，是圆的直径，和是的三等分点，（异于）是圆上的动点，于，，直线与交于，则当时，为定值．参考答案：设，则，…①…②

由①②得，将代入，得．由，得到．17.函数f(x)＝则y＝f(x＋1)的图象大致是________．参考答案：②

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn=tan+1(n∈N+,t∈R)．（1）求数列{Sn}的通项公式；2）求数列{nan}的前n项和为Tn.参考答案：(1)∵Sn=tan+1，∴S1=a1=ta2＝1，∴t≠0.∴Sn=t(Sn+1－Sn)，∴Sn+1=Sn，∴当t=－1时，Sn+1＝0，S1=a1＝1，当t≠－1时，{Sn}为等比数列，Sn=()n-1，综上Sn＝(2)∵Tn＝a1+

2a2+3a3+……+nan.(1)∴T1=1n≥2时，又由(1)知an+1＝an，a2＝∴Tn＝a1+

2a3+3a4+……+(n-1)an+nan+1(2)(1)-(2)得－Tn＝－+2a2+a3+……+an－nan+1＝－－a1+a2+(a1+a2+a3+……+an)－nan+1＝－1+Sn－n(Sn+1－Sn)=－1+Sn－Sn＝Sn－1＝()n-1－1∴Tn＝(n－t)()n-1+t

当t≠－1时，T1=1也适合上式，故Tn＝(n－t)()n-1+t(n∈N+).当t=－1时，T1=1，Tn+1＝－1.解毕.也可综合为：Tn＝另解：先求出an再求Sn

分t=－1和t≠－1情形，再综合an＝再回到Sn和Tn略19.已知函数.（1）若，求在点处的切线方程；（2）令，判断在上极值点的个数，并加以证明；(3)令，定义数列.当且时，求证:对于任意的，恒有.参考答案：解：（1），所以所求切线方程为

（2），令，则在上为减函数.

，，所以在上有唯一零点.所以在上有唯一零点.

所以在区间上有唯一极值点.

（3），，，，，

又

.

20.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。

（1）请规定的值，并说明其实际意义。

（2）写出满足的条件和具有的性质。

（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。参考答案：解析：（1）设，表示未清洗时水果上残留的农药量。

（2）满足：

，，

具有的性质：

在［０，）上单调递减，且

（3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次

因为，所以

所以用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为

方案2：把m个单位的水等分成2份来清洗

因为

又表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为

；

再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为

两种方案中残存的农药量之差为

于是可得下面的结论：

当时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少；

当时，两