第3章3 2 3 2 1基本不等式证明

3.2

基本不等式ab≤a＋b(a，b≥0)23.2.1

基本不等式的证明第3章 不等式的基本性质成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期点)能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．了解基本不等式的证明过程．(重1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养．01必备知识·情境导学探新知知识点1

知识点2知识点3知识点1

算术平均数、几何平均数与基本不等式(1)算术平均数与几何平均数a＋b对于正数a，b，我们把

2

称为a，b的算术平均数，

ab

称为a，b的几何平均数．(2)基本不等式立)，我们把不等式2(a，b≥0)称为基本不等式．ab≤a＋b2a＋b如果a，b是正数，那么

ab≤

(当且仅当

a＝b

时，等号成b

)2

－2

a

·

b＝(

a

－[提示]

因为

a＋b－2

ab＝(

a

)2

＋(b)2≥0，当且仅当

a＝b时，等号成立，所以

a＋b≥2

ab，所以ab≤a＋b2，当且仅当a＝b

时，等号成立．2xy≤402

，所以xy≤400，此时xa＋b400

20

20

[由

ab≤

知＝y＝20．]知识点

2

两个重要的不等式若a，b∈R，则(1)ab≤a2＋b22，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)；2a＋b2(2)ab≤

(当且仅当a＝b

时，等号成立)．[提示]当a＝b时，a2＋b2＝2ab，a、b∈R

时a2＋b2>2ab．a＝1

[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1

时“＝”成立．]知识点3

应用基本不等式求最值a＋b2求最值时，要把握好三个要点在运用基本不等式

ab

≤“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正数．二定：①和a＋b一定时，由ab≤a＋b22a＋b2变形得ab≤

，即积2a＋b2

ab

有最大值

；2最小值2

ab．三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．②积ab一定时，由

ab≤a＋b变形得a＋b≥2

ab，即和

a＋b

有[提示]

任意

a，b∈R，有

a2＋b2≥2ab

成立，当

a，b≥0

时，不等式

a＋b≥2

ab成立．(2)若

a>2，则

a＋1≥2

a·1＝2．a

a(

)1[提示]

根据基本不等式，才有不等式

a＋a≥21a·a＝2

成立，当且仅当a＝1

时取等号．

2a＋b2(3)若

a>0，b>0，则

ab≤

．(

)[提示]

因为

ab≤a＋b22a＋b2，所以

ab≤

．[答案]

(1)×

(2)×

(3)√02关键能力·合作探究释疑难类型1类型2类型3

类型4)其中正确的推导为(A．①②C．②③B．①③D．①②③B

[①因为a，bb

a为正实数，所以a，b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，

4

4所以a＋a≥2

a·a＝4

是错误的．③由

xy＜0

x，y均为负数，但在推导过程中将整体x＋y提出，得y

x

y

x

x

y

y

x负号后，－、－均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]21．基本不等式

ab≤a＋b

(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b

都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b

时，2ab≤a＋b的等号成立，即a＝b⇒a＋b

a＋b2

＝

ab；仅当

a＝b

时，

2

≥ab的等号成立，即a＋b2＝

ab⇒a＝b．[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是

．(填序号)11①若

x＞0，则

x＋x≥2

x·x＝2；4x

4

x②若x＜0，则x＋＝－(－x)＋－≤－2

4

x(－x)·－

＝－4；b

a③若a，b∈R，则a＋b≥2a·bb

a＝2．①②

[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]a－2[解]

m＝a＋

1

＝(a－2)＋1(a－2)＋2，∵a>2，∴a－2>0，1a－2>0，∴m＝a－2＋1a－2＋2≥2(a－2)·1(a－2)＋2＝4，当且仅当a－2＝1a－2时等号成立，此时a＝3．∴m≥4．

b

aa

bn＝－

＋

＋5≤－2b

aa

b·

＋5＝3，当且仅当a＝b

时等号成立．综上m>n．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2

ab

成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．[跟进训练]22．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，)Q，M

的大小顺序是(A．P＞Q＞MC．Q＞M＞PB．M＞P＞QD．M＞Q＞PB

[显然a＋b2>ab，又因为a＋b2＜

a＋b(由a＋b＞(a＋b)24，也就是由a＋b4＜1

可得)，所以a＋b＞a＋b2>ab．故M＞P＞Q．][思路点拨]

看到1＋1＋1>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，a

b

c裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]因为a，b，c

是正数，且a＋b＋c＝1，1

1

1所以a＋b＋c＝a

b＋

＋a＋b＋c

a＋b＋c

a＋b＋cc＝3＋b＋c＋a＋c＋a＋b

a

a

b

b

c

c＝3＋

＋b

aa

b

＋＋c

aa

c

＋＋c

bb

cb

a≥3＋2

a·b＋2c

a＋2

c

ba·c

b·c＝3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a＝b＝c

时取等号，1

1又因为a，b，c互不相等，所以a＋b＋c1>9．[母题探究]本例条件不变，求证：1a1－1

－1

1b

c

－1

>8．[证明]

因为

a，b，c

是正数，且

a＋b＋c＝1，1所以a－1＝>0，b－1＝b＋c

a＋ca

b1

1>0，c－1＝a＋bc>0，1

1

1

a

b

c

所以

－1

－1

－1＝·

b

·b＋c

a＋c

a＋ba

c≥2

bc·2ac·2

ababc＝8，当且仅当a＝b＝c

时取等号，因为a，b，c

互不相等，所以a－1

－11

1

1

b

c－1>8．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知a，b，c

为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c> ab＋

bc＋

ca．ca>0．[证明]

∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2

ab>0，b＋c≥2

bc>0，c＋a≥2∴2(a＋b＋c)≥2(

ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．由于a，b，c

为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c> ab＋

bc＋

ca．[解]

∵x>0，∴12

0,4x>0．x

>∴1212x

＋4x≥2

x

·4x＝8

3．12当且仅当

x

＝4x，即

x＝

3时取最小值

8

3，12∴当

x>0时，

x

＋4x

的最小值为

8

3．(2)当

x<0时，求12

4x的最大值；x

＋[解]

∵x<0，∴－x>0．则

12

＋(－4x)≥2

12

·(－4x)＝8

3，－x

－x－x当且仅当12

＝－4x

时，即x＝－3时取等号．∴12x

＋4x≤－8

3．x12∴当

x<0

时， ＋4x

的最大值为－8

3．(3)当x>1时，求2x＋8x－1的最小值；[解]

2x＋8x－1＝2(x－1)＋4x－12

＋

，∵x>1，∴x－1>0，∴2x＋

8

≥2×2

4＋2＝10，x－1当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3

时，取等号．x－1∴当

x>1

时，2x＋

x

的最小值为

10．x(4)已知4x＋a(x>0，a>0)在x＝3

时取得最小值，求a

的值．a[解]

4x＋x≥2a4x·x＝4

a，a当且仅当4x＝x，即a＝4x2＝36

时取等号，∴a＝36．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[跟进训练]44x－54．(1)已知

x<5，求

y＝4x－2＋

1

的最大值；5[解]

∵x<4，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋

1

4x－5

＝－5－4x＋

1

5－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当

5－4x＝

1

，即

x＝1

时，上式等号成立，5－4x故当x＝1

时，ymax＝1．(2)已知0<x<1，求y＝1x(1－2x)的最大值；2

22[解]

∵0<x<1，∴1－2x>0，14

42∴y＝

×2x(1－2x)≤

×

＝

×

＝1

2x＋1－2x2

1

1

14

4

16．1214∴当且仅当

2x＝1－2x0<x<

，即

x＝

时，ymax＝

1

16．(3)已知x>0，求函数y＝x2＋5x＋4x的最小值．[解]

∵y＝x2＋5x＋4x4＝x＋x＋5≥24＋5＝9，4当且仅当x＝x即x＝2

时等号成立．故y＝x2＋5x＋4x(x>0)的最小值为9．学习效果·课堂评估夯基础0391．已知

x>0，则x＋x

的最小值为(

)A．6

B．5

C．4D．399A

[∵x>0，∴x＋x≥2

x·x＝6．x当且仅当x＝9即x＝3

时取得最小值6．]2．设a，b

为正数，且a＋b≤4则()1

1A．a＋b≤1C．ab≤4B．1＋1≥2a

bD．ab≥82a＋b2C

[设

a，b

为正数，且

a＋b≥