初中数学专题07 用勾股定理构造图形解决问题(解析版)

专题07用勾股定理构造图形解决问题一、单选题1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．10cm B．4cm C．6cm D．2cm【答案】A【分析】利用平面展开图有三种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出MN的长，然后作比较即可．【解析】如图1中，MN＝（cm），如图2中，MN＝（cm），如图3中，MN＝（cm），∵10＜2∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，故选：A．【小结】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键.2．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线一盘旋前进的．如图，如果树的周长为5cm，从点A绕一圈到B点，葛藤升高12cm，则它爬行路程是（）A．5cm B．12cm C．17cm D．13cm【答案】D【分析】将立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可．【解析】如果树的周长为5cm，绕一圈升高12cm，则葛藤绕树爬行的最短路线为：＝13厘米．故选：D【小结】本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．【解析】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．【小结】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．4．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可．【解析】最短路径故答案为：B．【小结】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键．5．某科技公司在“首届中国国际进口博览会”场馆内搭建产品展示区，在搭建一处直角三角形区域时，共耗材，其中最短边耗材，则直角三角形区域中最长的边耗材（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设最长的边为xcm，根据勾股定理求解即可．【解析】设最长的边为xcm，根据题意得：解得：x=25故选：B【小结】本题考查的是勾股定理，设一个x，表示两个未知量，并根据勾股定理列出方程是关键．6．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点(且不与点O、A重合)，过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD=10，BC=8，则AB的长为()A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】如图，连接OC．在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．【解析】如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC=90°，BD=OC=OA=10，∴OB===6，∴AB=OA﹣OB=4．故选：C．【小结】本题考查的知识点利用勾股定理求解，根据题意利用矩形的性质得出BD=OC=OA=10是解此题的关键．7．△ABC中，AB=20，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A．54 B．44 C．54或44 D．54或33【答案】C【分析】根据题意画出示意图进行分析判断，然后根据勾股定理计算出底边BC的长，最后求和即可.【解析】（1）在直角三角形ACD中，有在直角三角形ADB中，有则CB=CD+DB=5+16=21所以三角形的面积为CB+AC+AB=21+13+20=54.（2）在直角三角形ACD中，有在直角三角形ADB中，有则CB=DB-CD=16-5=11所以三角形的面积为CB+AC+AB=11+13+20=44.故答案为D.【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于以高为突破点把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况.8．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔东南方向24m处有一建筑工地B，在A、B间建一直水管，则水管的长为（）A．40m B．45m C．50m D．56m【答案】A【分析】东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解析】∵在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝32m，OB＝24m，

∴AB＝＝40m．

故选：A．【小结】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．9．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．【解析】由勾股定理得：cm,∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；

故选：C．【小结】考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．10．如图，在△ABC中，∠A是钝角，若AB＝1，AC＝3，则BC的长度可能是（）A．π﹣1 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系，第三边小于AB+AC，且BC的长度大于当∠A是直角时BC的长度，根据勾股定理即可计算∠A为直角时BC的长度．【解析】根据三角形三边关系，第三边小于AB+AC＝4，当∠A为直角时，AB，AC分别是两直角边，则第三边即斜边的长度为BC＝，故＜BC＜4，只有C选项符合题意，故选C．【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形三边关系，本题中正确的根据勾股定理计算当∠A为直角时BC的长是解题的关键．11．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（）A．48 B．24 C．20 D．45【答案】C【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解析】∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC＝8，BD＝6，由菱形对角线互相垂直平分，∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，∴AB＝AO2+B故菱形的周长为20，故选：C．【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．12．如果梯子的底端离建筑物3米，5米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可.【解析】如图所示：∵梯子、地面、建筑物正好构成直角三角形，∴△ABC是直角三角形，∴BC=3米，AB=5米，∴AC=AB2故本题答案为：C.【小结】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．13．我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A．分类思想 B．方程思想 C．转化 D．数形结合【答案】D【解析】【分析】根据题意选出数学思想方法即可．【解析】就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是数形结合思想，

故选D．【小结】本题考查数学思想方法的运用，熟练掌握各种数学思想方法是解题的关键．14．如图，等边三角形ABC的边长为4，则点C的坐标是()A．(4，-2) B．(4，2) C．(-2，) D．(2，-2)【答案】D【分析】作CD⊥AB，根据等边三角形三线合一可求出OD=2，AC=4，再根据勾股定理求出CD，观察图像所在的象限即可得出答案.【解析】作CD⊥AB，∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，∴OD=BD，∵△ABC边长为4，∴OD=2，AC=4，∴CD2=AC2-OD2=42-22=，又∵通过观察图像可知C点在第四象限，∴C的坐标是（，-2），故选D．【小结】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，注意点C在第四象限．15．在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶米、米，则秒后两车相距（）米.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分析题意,画出简单示意图，利用公式“路程=速度×时间”分别求出OA和OB的长,在Rt△AOB中,利用勾股定理即可求出AB的长.【解析】画出简单示意图,如图所示,假设10秒后自行车和摩托车分别到达点A、点B,∵自行车的速度是2.5米/秒∴10秒后自行车走了2.5×10=25米,即OA=25，∵摩托车的速度是6米/秒∴10秒后摩托车走了6×10=60米,即OB=60，∵两条道路垂直OA=25，OB=60，∴

AB=，即10秒后,两车相距65米.故选：B.【小结】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是分析题意,画出简单示意图再利用勾股定理求解.16．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？()A．4米 B．3米C．5米 D．7米【答案】A【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解析】由题意可知，BE＝CD＝1.5m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理，得CE＝＝4m，故离门4米远的地方，灯刚好发光，故选A.【小结】本题考查勾股定理的应用.17．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）

A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】先将立体图形展开转化为平面图形，再根据“两点之间，线段最短”、勾股定理即可求得结论．【解析】沿将圆柱体的侧面展开，如图：∵底面半径是∴∴在中，，∴．故选：B【小结】本题考查了立体图形转化为平面图形、线段公理的应用以及勾股定理等知识点，能将立体几何问题转化为平面几何问题是解决问题的关键．18．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）

A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．【解析】展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：，根据勾股定理有：故选D．

【小结】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．19．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据坡比为1：2.5求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．【解析】如图，

∵坡比为i=1:2.5，∴AC:BC=1:2.5，即AC:5=1:2.5，解得:AC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=（m），故选：C．【小结】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理的运用，属于基础题．20．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【答案】B【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6∴BD=DE+BE=8连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．故选：B．【小结】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．21．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．最大正三角形的面积C．较小两个正三角形重叠部分的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积和【答案】C【分析】根据勾股定理得，再由题意得，由次计算即可解题【解析】设三个正三角形面积分别为（不妨设），两个小正三角形的重叠部分的面积为，由勾股定理得，，，故选：C．【小结】本题考查勾股定理与几何图形面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．如图，有一长方体容器，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点爬到点的最短爬行距离是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出展开图，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，根据勾股定理即可求解．【解析】如图，当从正面和右侧面爬行时，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，，在中，，，∴；如图，当从上面和右侧面爬行时，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，，在中，，，∴；如图，当从后面和上面爬行时，从点爬到点的最短爬行距离为的长度，，在中，，，∴；∵，故选：B．【小结】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．23．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2【答案】C【分析】根据题意设绳索长为x尺，列出方程即可；【解析】设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，故选：C．【小结】本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键．24．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【答案】B【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【解析】展开图为：

则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，

在Rt△ABC中，AC=100cm，∴AB==125cm．

所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．

故选：B．【小结】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为5的格点共有（）个．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】设格点到坐标原点的距离为，根据勾股定理或坐标系中两点间的距离公式可得方程，利用、都是整数可求得满足条件的、的值，然后写出满足条件的格点坐标即可．【解析】设格点到坐标原点的距离为，根据题意得：∵横坐标和纵坐标都是整数，即、都是整数∴当时，；当时，；当时，；当时，．∴据此可画出图形，如图：∴满足条件的格点的坐标为：、、、、、、、、、、、，共个．故选：D【小结】本题考查了勾股定理或平面直角坐标系中两点之间的距离公式、坐标与图形的性质等，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意不要漏解．26．一个棱长为2的正方体置于地面之上，为一条棱的中点，若一只蚂蚁从点出发，沿正方体表面爬行到点（下底面不能通过），则它爬行的最短路程为（）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】利用两面展开，两点之间相等最短，利用勾股定理求出即可．【解析】将点A与点B两面展开，点B为侧棱中点，则BC=1，AC=2×2=4，AB=，则它爬行的最短路程为B．故选择：B．【小结】本题考查两点之间相等最短问题，掌握几何体侧面展开图中，用勾股定理解决问题是关键．27．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）A． B． C． D．【答案】B【分析】沿着上面的棱将A点翻折至处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．【解析】沿着上面的棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高依次为，，，若蚂蚁的行走路线为后壁和下壁，则最短路径为：，若蚂蚁的行走路线为左壁和下壁，则最短路径为：，若蚂蚁的行走路线为左壁和前壁，则最短路径为：，∵，∴最短路径为：．故选：B．【小结】本题考查勾股定理的应用，求算术平方根．能分类讨论是解题关键．28．如图，一圆柱高，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】将圆柱体的侧面展开，利用两点之间线段最短，则AB是要爬行的最短路程，过B作底面圆周的垂线BC，BC为圆柱体的高，AC为底面半周长，根据勾股定理得：【解析】底面周长为，半圆弧长为，展开得：连结AB，利用两点之间线段最短，则AB是要爬行的最短路程，过B作底面圆周的垂线BC如图，BC为圆柱体的高，AC为底面半周长，根据勾股定理得：．故选择：A．【小结】本题考查一只蚂蚁从点爬到点爬行的最短路程问题，会把生活中的问题归结数学问题解决，会将圆柱侧面展开，了解展开图的形状，利用两点之间线段最短解决爬行路径，利用勾股定理解决问题．29．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程取是（）A．12cm B．10cmC．20cm D．无法确定【答案】B【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解析】如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，底面半径为2cm，，在中，，，．故答案为：B．【小结】本题考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题．30．如图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2，∴AC=CD+AD=6+10=16，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=；∵，∴蚂蚁爬行的最短距离是，故选：A．【小结】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．31．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）

A． B．2 C． D．【答案】C【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB对角线，先走折线AD-DB，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可【解析】方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线在三角形ABC中，由勾股定理AB=；

方法二：走一面折线AD-BD，由勾股定理BD=AD+DB=；方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；在正方体外部表面走有这三类走法，∵5<9，∴，∵2>1，∴，∴，∴，∴，∴，蚂蚁爬行的最短距离是．故选择：C．【小结】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．32．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．10πcm B．20πcm C．10cm D．5cm【答案】C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，∵AB=5cm，BC=×10=5cm，∴装饰带的长度=2AC=cm，故选：C．【小结】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．33．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，尺，尺，求AC的长．则AC的长为（）A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺【答案】A【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，利用勾股定理解答．【解析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，中，，，∴，解得：x=4.2，故选：A．【小结】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键．34．已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）A．cm B．5cm C．cm D．4.5cm【答案】B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿，，，剪开，得图；（2）沿，，，，，剪开，得图；（3）沿，，，，，剪开，得图；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即．故选：B．【小结】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．35．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．10【答案】A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB；把右侧面展开到正面上，连结AB，；把向上的面展开到正面上，连结AB；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【解析】把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3∵∴∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A．【小结】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．36．如图，在四边形中，,，则等于（）A．13 B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理，求得AC的长，利用AC2＋CD2＝AD2判定△ACD是直角三角形，再由“三垂直模型”得到Rt△ABC∽Rt△CED，求得DE、CE，最后在Rt△BDE中应用勾股定理求解.【解析】连接，过点作⊥与点，，，，是直角三角形，，，即：在中，，故选Ｂ.【小结】本题综合考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，计算量较大.37．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知=21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。【解析】由于大正方形的边长为，又大正方形的面积为13，即，而小正方形的面积表达式为，而小正方形的面积表达式为故本题正确答案为C．【小结】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．38．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是()A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程．【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n°，则：＝6π，其中r＝6∴n＝180，如图所示：由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，∴BP＝＝＝(米)，故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是米，故选：B．【小结】本题考查了两点之间线段最短的应用，弧长计算公式，勾股定理的应用，熟记弧长计算公式是解题的关键．39．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】C【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．【解析】如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离，根据题意：，，．所以底面圆的周长为9×2=18cm.故选：C．【小结】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．40．如图所示，等腰与等腰中，，，，则（）A．9 B．11 C．10 D．12【答案】C【分析】连接CD，BE，证明△CAD≌△BAE从而得到CD⊥BE，根据勾股定理可得结论；【解析】如图：连接CD，BE∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＝∠BAE，在△CAD和△BAE中，∵∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE；∴∠ADC＝∠AEB，∴∠EOD＝∠EAD＝90°，∴∠EOD＝∠EOC＝∠BOC＝∠BOD＝90°，∴，，∵AB＝2，AD＝1，∴，，∴；故选：C【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．二、填空题41．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_________．【答案】25【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．【解析】将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，由上图可知：，，∴为最短路径．则蚂蚁爬的最短路线长约为25．故答案为：25．【小结】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．42．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米，只为少走______米的路．【答案】20【分析】先用勾股定理求出AC的长，然后再求出少走的路即可．【解析】在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，则：AC==50m所以少走的路为40+30-50=20m．故答案为20．【小结】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意灵活运用勾股定理是解答本题的关键．43．形如的方程可用如图所示的图解法研究：画，使，，再在斜边上截取．则可以发现该方程的一个正根是线段______的长．【答案】AD【分析】根据勾股定理得出方程，整理后得出即可．【解析】由勾股定理得．，，整理得．，该方程的一个正根是线段的长．故答案为：AD．【小结】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能根据勾股定理得出方程是解此题的关键．44．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，中，求的长．在这个问题中，可求得的长为_________．【答案】4.55【分析】设AC=x，可知AB=10-x，再根据勾股定理即可得出结论．【解析】设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2解得：x=4.55，即AC=4.55．故答案为：4.55．【小结】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．45．如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10m，高为13m，一只壁虎在距底面1m的A处，C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为_____m．【答案】13【分析】根据题意画出圆柱的侧面展开图的平面图形，进而利用勾股定理得出答案．【解析】如图所示：由题意可得：AD=5m，CD=12m，则AC=(m)，故答案为：13．【小结】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，正确画出平面图形是解题的关键．46．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是_____．【答案】25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解析】如图所示：台阶平面展开图为长方形，根据题意得：，，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：，即，∴，故答案为：25．【小结】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．47．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解析】分三种情况：如图1，,如图2，，如图3，，，它爬行的最短路程为5，故答案为：5．【小结】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键．48．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．【答案】5【分析】把这个长方体表面分别沿CB、ND、DC展开，将点A和点M放在同一平面内，在同一平面内A、M两点间线段最短，根据勾股定理计算，找出最短距离即可．【解析】如图1，将长方体沿CB展开，当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M点，则，如图2，将长方体沿ND展开，当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M点，则，如图3，将长方体沿DC展开，当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M点，则，比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5．故答案为：5．【小结】本题考查最短路径问题，用勾股定理构造图形解决问题，学会分析从不同方向展开长方体表面，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键．49．《