2021年高考调研交流试题数学(文)试题

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2021年高考调研交流试题数学（文）试题

参考公式：1.锥体的体积公式，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

“1___

2.数据X,X,•••,X的方差S2=—[（X—X）2+（x-无）2++（尤—X）2]

11n〃12n

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合A=｛（x,y）|x,yWz,且|x|+|y|<1｝的元素个数为

A.3B.4C.5D.6

2.函数的定义域为

A.（e,+8）B.[e,+<»）C.（0,e]D.（-℃>,e]

3.已知复数z满足（l-i）z=l+3i（i是虚数单位）,则2=

A.-2+iB.2-iC.l-2iD.-l+2i

4.等差数列｛4｝的前n项和为s/n2+2n+a+2,则常数a=

A.-2B.2C.OD.不确定

5.已知平面向量，且，贝!）

A.-30B.20C.15D.0

6.已知直线1：x+y=m经过原点，则直线1被圆x2+yZ-2y=0截得的弦长是

A.1B.C.D.2

7.己知点F2分别是双曲线C：的两个焦点，过耳且垂直于x轴的直线与双曲线C交于

A、B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e=

A.2B.C.D.

8.已知xGR,"x=l”是的

A.充分不必要条件Bo必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S=

A.6B.C.D.

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10.,b,c,dSR,定义行列式运算。将函数的

图象向右平移（＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为

A.B.C.D.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（1—13题）

11.如图2是求12+22+32+...+1002值的程序框图，

则判断框中正整数，n=—回

12«现有三台自动包装机，包装每袋100克药品。1

为了解它们的质量，对它们包装出来的产品进行S=Q/=1

抽样调查，将得到的数据分别绘制成频率分布直

IO?

方图（如图3）,根据直方图可知，这三台药品包装机的质量从高到低的顺序是

_•是

频率缠S=S+?

频率相距驶率相距

0.150

01500.150

0125

01250.125

0.100

01000.100

0075

0.0750.075

0.050

0.0500.050

959799101103105959199101103105克959799101103105贡

丙机器

甲机器乙机和

图3

13.锐角AABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，

贝!|B=

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图4,四边形ABCD中,

NA=NB=90°,AD:AB:BC=3:4:6,E、F分

别是AB、CD上的点，AE：AB=DF：DC=1；3.

A

若四边形ABCD的周长为1,则四边形AEFD的周长为

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（p,9）（0＜。＜24『中，圆C的标方程

为

,则圆心的极坐标为一

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字谶、证明好和演算步骤.C

16.（三角函数14分）图4

如图5,某地一天6〜16时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（3x+）+b,

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其中A>0,3>0,0<w<Jt.

(1)求这一天6~16时的最大温差；

(2)根据图象确定这段曲线的函数解析式,

并估计16时的气温大概是多少。C?

(结果精确到0.1,参考数据：

(1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？

(2)据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁

的有多少人？

(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有

1人年龄在20至50岁的概率。

18.(本小题满分14分)

如图6,在四面体PABC中，PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分别是PA,AC、CB、BP的中

点.

(1)求证:D、E、F、G四点共面；

(2)求证：PC±AB；

(3)若和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2,,求四面体PABC的体积.

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19.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程：

(2)直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A,试探究在椭圆C上存在多少个点B,使

△OAB为等腰三角形.(简要说明理由，不必求出这些点的坐标)

20.(本小题满分14分)

数列｛品｝中，％=2,%+「％+%(c是不为零的常数，nGN*),且%,a2.23成等比数

列.

(1)求c的值；

(2)求｛4｝的通项公式；

(3)求数列的前n项之和

21(本小题满分14分)

设函数

(1)当a=2时,求f(x)的最大值；

(2)令，以其图象上任意一点P(x。，y。)为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围:

(3)当a=0时，方程mf(x)=x2有唯一实数解，求正数m的值.

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文科数学参考答案

一、选择题CBDAABDCCB

二、填空题11.10112.甲丙乙(只对一个，例如“甲乙丙”，给2分)

13.14.15.

三、解答题(以下解答与评分供参考，等价或有效解答都要相应给分)

16.解⑴最大温差为15-(-5)=20(℃)……3分(列式1分，结果数值1分，单位1分)

(2)依题意，A=10,b=5……5分

T=2X(14-6)=16......6分，

...7分，

由……8分，且0«n,解得……10分

……12分(函数解析式与定义域各1分)

x=16时，...13分，

*12.1(°C)14分

17.解⑴因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识

强，与相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄有关……3分

(2)年龄大于50岁的有(人)……6分(列式2分，结果1分)

(3)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的(人)……7分,

年龄大于50岁的4人……8分，记这5人分别为A,BpB2,B3,B4.

从这5人中任取2人，共有10种不同取法…9分，完全正确列举…10分，设A表示随

机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：完

全正确列举…11分，故所求概率为……12分

18.证明与求解(1)依题意DG〃AB……1分，EF〃AB…2分，

所以DG〃EF……3分，DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面……4分。

⑵取AB中点为0,连接P0、C0……5分

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因为PA=PB,CA=CB,所以PO_LAB,CO±AB...7分，

因为POCCO=D,所以ABJ_面POC...8分

PC面POC,所以AB_LPC……9分

(3)因为aABC和PAB是等腰直角三角形，所以…10分，

因为所以OP_LOC……11分，

又PO_LAB,且ABC0C=0,所以P0_L面ABC...12分

匕w=wXPOxS.“=wXlx2xlx不=万...14分(公式1分，其他1分)

P-ABC3MBC523

19.解(1)由于短轴一个端点到右焦点的距离为3,则a=3……1分，

因为...2分，所以…3分，b2=a2-c2=9-6=3....4分，

所以椭圆C的方程为：…5分

(2)解(x>0),得即……6分

以0为顶点的等腰三角形△OAB有两个…7分，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…

8分，以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个……9分，此时B为以A为圆心、A0为半径的

圆弧与椭圆C的交点…10分，以A0为底边的等腰三角形△OAB有两个……11分，此时B为

A0的垂直平分线与椭圆C的交点…12分。因为直线y=x倾斜角为所以以上等腰aOAB不可

能是等边三角形…13分，即以上6个三角形互不相同，存在6个点B,使AOAB为等腰三角

形…14分。

20,解(1)+。=2+仁。3=%+2C=2+3C2分，依题意

……3分，即，解得c=0(舍去)，c=2……4分

(2)n22时，…5分，

以上各式相加得……6分，…7分，

n=l时,,所以……8分

.123n—2〃一I,八

(3)....9分，T=—+-z-+，z—+-z---+—z•(">1)....10分

n2223242〃T2〃

……11分，以上两式相减得

……12分,……13分，

因为，所以……14分

21解⑴a=2时,……1分,

解f'(x)=0得x=l或(舍去)……2分，当xG(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调增加，

当xG(L+8)时,f>(x)<0,f(x)单调减少……3分,

所以f(x)的最大值为f(D=O……4分

(2)F(x)=