高数上8八章1节

学习改变命运，勤奋赢得未来，细节影响成败，态度决定一切。=a11a22

-a12a2121a1222a

aa1、二阶行列式：D=

11a11

a12称为数表 所确定的二阶行列式.a21

a22数aij

(i,

j=1,2)称为行列式的元；元aij的下标i(j)称为行(列)标,表示该元 位于行列式的第i

行(第j列)；元aij

称为行列式的(i,j

)元.2、三阶行列式：a

a

a称为数表a21a31a11

a12

a1321

22

23a31

a32

a33a11

a12

a22a32=

a11a22a33

+a13a21a32

+a12a23a31-a13a22a31

-a11a23a32

-a12a21a33a13a23

所确定的三阶行列式.a33a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a21

a2331

331232a22

a233311

a31a21

a213213

a-aa=

aa

aa+a3、按第一行展开计算三阶行列式：第八章知识点1、空间直角坐标系.2、向量代数：1--2节.3、空间解析几何：3--6节.点是几何中最基本的元素，有了平面直角坐标系以后，可以用二元有序数对表示平面上每一个点．这样就可将几何问题与代数问题相互转化．笛卡尔对数学的最大贡献：建立了代数与几何之间的联系．如解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科；而数形结合作为一种数学基本思想方法，实际上是利用几何图形(方法)帮助解决代数问题.平面直角坐标系空间直角坐标系有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.oz上y

右前

x下左后x前y

右左下0常见画法：x,

y,z

轴满足右手系.上z后8.1

向量及其线性运算一、向量及其相关概念：既有大小,又有方向的量称为向量.与起点无关的向量称为自由向量.1、向量的大小(模)：AB|

|,|

a

||

a

|=0

(方向任意)2、零向量：

=a

o

a|

a

|

a注："

a

„

o有单位化向量e

=

.a

4、

=

b

a与b大小相等方向相同a,b

=

0

p

˛

[0,p

](2)a

^

ba,b

=2p5、q

=a,b(1)a

//

b

▲3、a为单位向量

|

a

|=1二、向量的线性运算：1、向量的加法：平行四边形法则：三角形法则：多边形法则：(2)a

-b

=

a

+(-b).

2、数与向量的乘法：

大小：|

l(l

>

0)a

反向

(l

<

0)la

方向与a

同向与| |

a

|(1)a

„

o,b

/

/a

$1l˛

R,

st：b

=

la；▲注3、线性运算律：

(1)a

+b

=

b

+a

(2)(a

+b)

+c

=

a

+(b

+c)(3)a

+o

=o

+a

=a(4)a-a

=a+(-a)

=o(5)l(m)

=

m(l)

=(lm)

a

a

aa

a

a(6)(l

+

m)

=

l

+

m(a

b)(7)l

+

=la

+lb(8)1

a

=

a；(-1)a

=

-a("l,m˛

R)

例、如图：AB

=a,AD

=b,用a、b表示MA、MB、MC、MDABCMDMC

=

(a

+

b),

MB

=

(a

-b)2

2

1

1

三、向量的坐标表示：(1)a

=xi

+yj

+zk

(坐标分解式)(坐标表示式)(2)a

=(x,

y,

z)

x,y,z轴上的基本单位向量i

,j,kM

(x,

y,

z),a

=

OM,四、利用坐标作线性运算：a

=(ax

,ay

,az

),b

=(bx

,by

,bz

)(1)a

–b

=(ax

–bx

,ay

–by

,az

–bz

)(2)"l˛

R,l

=(la

,la

,la

)a

x

y

zbybxbzax

ay

az=

=注：

//ba求u,l例：已知

=(2,-1,1)//b

=(4,u,l)，a4

u

l2

-1

1解：

/

/b

=

=a\

u

=-2,l

=22|

a

|=r

=

x2

+

y2

+z五、向量的模、方向角：M

(x,

y,

z),a

=

OM,▲1、向量的模：a

r

r r

x

y z

(1)"a

„o有：e

=,

,

.(2)A(x1,

y1,

z1),B(x2,

y2,

z2

)

AB=(x2

-x1,

y2

-

y1,

z2

-z1)▲由此即得两点间距离公式：d

=

(x

-x

)2

+(y

-y

)2

+(z

-z

)2AB

2

1

2

1

2

1▲(3)三角不等式：

"a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),有：

|

a

|

-

|

b

|

£|

a

–

b

|£|

a

|

+

|

b

|

其中等号在a与b同向或反向时成立.A1

(4,0,0)A2

(0,-3,0)A3

(0,0,5)dx

=|

AA1

|dy

=|

AA2

|dz

=|

AA3

|例、已知：A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)求证：DABC是正三角形例、求A(4,-3,5)到各坐标轴的距离例、已知A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)求M

˛

yoz面使：|

MA|=|

MB

|=|

MC

|M(0,1,-2)例、已知：A(1,1,1),B(2,3,1),求满足|

MA

|=|

MB

|的动点C的轨迹方程2x+4y

-11=0▲2、方向角和方向余弦：(1)的方向角：与x,y,z轴正方向a

a的夹角a

,b

,ga

=

,

b

=

,g

=

k

a,

i a,

j

a,\

a,b,g˛[0,p]a(2)"a„

o

e

=

(cosa,cos

b,cosg).

(2)a的方向余弦：cosa

=

x

,cosb

=

y

,cosg

=

zr

r

r注：(1)cos2

a

+cos2

b

+cos2

g

=1；例、已知：A(3,

2,

2),

B(2,

3,

0),求向量AB的模,方向余弦,方向角.解a

=AB

=(-1,1,-2)r

=|

|=2

a\

cosa

=-1,cosb

=

1,cosg=-

22

2

2a,b,g˛[0,p]

\a

=2p,b

=p,g=3p3

3

4▲例1、已知：A(2,

2,

0),

B(1,

3,

2),n求与

=AB同向的单位向量解：

=

AB

=

(-1,1,

2)n\

r

=|

n

|=

21

1n

2

\

e

=

-,

,

为所求2

2

2

n注：–e为与n平行的单位向量.2

=(u

-u1)e-u1e(1)AB=OB-OA=u2eeA

Bu1

u2u01

六、向量AB在u轴上的投影Pr

ju

AB：1、AB在u轴上：

(2)Pr

ju

AB：有向线段AB的值u2

-u1.2、AB在u轴外：(与u轴成角q)(1)q

=a,

eu

˛[0,p].(2)点A、B在u轴上的投影A'、B'：过点A、B作u轴的垂面与u轴的交点.u(3)Pr

j

AB：有向线段A'B'的值.1)Pr

ju

(a+b)

=Pr

jua+Pr

jub