不定积分概念与性质

21)渐近线.A.

仅有铅垂渐近线；

B.

仅有水平渐近线；C

.

既有铅垂又有水平渐近线；D.

既有铅垂又有斜渐近线.x曲线y

=

xe

((1)铅垂渐近线D

1

lim

xe

x

2x

fi

0

x

1

=

ttt

2t

fi

¥lim

e

=

¥(2)斜渐近线xxe

x

2

1

a

=

limx

fi

¥

1

=

lim

e

x

2x

fi

¥=

1一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质Conceptions

and

properties

of

Indefinite

Integrals1.1、问题的提出已知路程s

=s(t

)求速度v(t

)实质：已知导数求函数。s

=s(t

)‹求导fi

v(t

)=s¢(t

)?已知总成本C(x)求边际成本C

(x)C(x)‹求导fi

C¢(x)?称f

(x)为f

¢(x)的？函数，称为2x的什么函数?例如函数：y

=x

2的导数y

=

2

x

那

么

x

2称f

¢(x)为f

(x)的导函数，例(sinx)=cos

x,故sin

x是cos

x的一个原函数.1,x

2

1

¢=

-

x

xx

21

是

-

1

的一个原函数1.2、原函数⑴定义：设f

(x)是定义在区间(a,b)内的已知函数，如果存在函数F(x)，使得对于区间(a,b)内的一切x，恒有

F

¢(

x)

=

f

(

x)

或

dF

(

x)

=

f

(

x)dx则称F(x)是f(x)在区间(a,b)内的一个原函数.(原函数)′=已知函数问题1：什么样的函数存在原函数？⑵原函数存在定理：如果f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)

,使对任一x∈I都有

F

(

x)

=

f

(

x).简言之：连续函数一定有原函数。问题2：原函数是否唯一？问题3：若不唯一它们之间有什么联系？因为(

x

2

)

=

(

x

2

+

1)

=

(

x

2

-

1)

=

...

=

2

x都是2x的原函数所以

x2

,

x2

+

1,

x2

-

1,

...故函数2x

有无穷多个原函数F

¢=

f

(

x)G

=

f

(

x)

G¢=

F

¢则由根据拉格朗日定理的推论可知G(x)

=

F(x)

+C由G(x)的任意性可知，原命题成立.⑶原函数的结构定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的所有原函数都可表示为：F(x)+C

的形式.（C为任意常数）证明：设G(x)为f

(x)的任意一个原函数积分常数积分号被积函数f

(

x)dx

=

F

(

x)

+

C被积表达式积分变量1.3、不定积分的定义如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的所有原函数F(x)+C

称为f(x)的不定积分，记为

f

(

x)dx即注：①搞清积分结果与被积函数的关系。例如：若

f

(x)dx

=xe

-x

+C，则f

(x)=e-

x

(1

-

x)②理解“F(x)是f(x)的一个原函数”的含义.三种表现形式:F

(

x)

=

f

(

x)

f

(

x)dx

=

F

(

x)

+

Cc).

dF

(

x)

=

f

(

x)dx例1求

x5dx.xa

+1+

C

.

(a

„

-1)a

+

1一般

xa

dx

=x例2

求

dx

.x\

1

dx

=

ln

|

x

|

+C

.2.1、积分曲线与积分曲线族⑴积分曲函线数f(x)的一个原函数F(x)的图形叫做f(x)的一条积分曲线.⑵积分曲函线数族

f(x)的不定积分F(x)+C

表示全体原函数,F(x)+C

的图形叫做f(x)的积分曲线族.注:对积分曲线族而言，在横坐标相同的点处，各曲线的切线有相同的斜率，故这些切线彼此平行，这族曲线可由其中一条沿y轴上下平移而得到。xyOy

=

F

(

x)

+

Cx0xOy

=

x2例3

设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.yy

=

x2

+

112如果只求积分曲线族F(x)+C中某一特定曲线，必须确定常数C的值.确定常数C的附加条件称为初始条件例4

生产某产品x单位时,边际成本C

(x)=2

x

-1且固定成本为80,则求总成本C

(x)生产某产品x单位时,边际收益r(x)=2

x

-1则求总收益R(x)(1)

[

f

(

x

)dx

]

=

f

(

x

)

或

d

f

(

x

)dx

=

f

(

x

)dx注意这里是对xx求导(2)

F

¢(

x)dx

=

F

(

x)

+

C

或

dF

(

x)

=

F

(

x)

+

C注意对：一个函数先积分后微分，则两者作用相互抵消；反之，若先微分后积分，则两者作用抵消后相差一个常数.此先后为“运算顺序”而非“书写顺序”.性质1.

求导与积分运算互为“逆”运算。例5x31

1

dx故

f

(x

)dx

=解4

x若

f

(x

)dx

=1

x

4

+C

,求

f

(1

)dx

.4对

f(x

)dx

=1

x

4

+C

两边关于x求导,得f

(

x

)

=

x

3x3从而有f

(1)=1

,12x2x=

-

+

C.练习：

f

(

x)dx

=

sin

x

+

C解:将已给等式两边对x

求导得f(x)

=

cosx于是f

(

x

)

=

cos

x求

f

(

x

)

=

_____\

f

¢(j(x))dx

„

f

(j(x))注意：[

f

(j(x))]'dx

=

f

(j(x))练习：xxf

(

x

)

=

_____5.

f

¢(

x

)dx

=

_______1.若

f

(1

)dx

=sec(1

)+c

,则f

(x

)=_____2.若

f

(x

)

dx

=lnxx

+c

,则f

¢(x

)=_____x3.若

f

(

x

)dx

=

x

2

+

c

,

则

f

(

x

)dx

=

____4.若

f

¢(

x

2

)

=

1

(

x

>

0),

则x

+C2

x

+C

(5)(4)23(1)

-

x

secx

tanx

(2)

0

(3)f

¢(x)+C32性质2.

两个函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即

[

f

(

x)

–

g(

x)]dx

=

f

(

x)dx

–

g(

x)dx性质3.

非零常数因子k可以提到积分号前面来，即

kf

(x)dx

=

k

f

(x)dx(k为非零常数).性质2可推广到有限多个函数之和,与性质3合在一起可以推广为：

(k1

f1(x)–

k2

f2(x)–...–

kn

fn(x))dx=

k1

f1(x)dx–

k2

f2(x)dx–...–

kn

fn(x)dx一、基本积分公式二、直接积分法(Brief

Table

of Indefinite

Integral

)启示:能否根据求导公式得出积分公式？结论:既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.11

-

x21.1、积分法

(arcsin

x)¢=dx

=

arcsin

x

+

C

.1\1-

x2(-1,1)

0dx

=

C1.2、基本积分公式⑴常量(k

„

0)

kdx

=kx

+

C⑵幂函数

xmdx=

1

xm

+1

+

C(m

„

-1)1

x

dx

=m

+

1ln

x

+

Cxx

+

C1

dx

=

22x

x1

dx

=

-

1

+

C(m

=

-1)练习：⑶指数函数x

axdx

=

aln

a+

C

(a

>

0,

a

„

1)

exdx

=

e

x

+

C⑷对数函数(无)

sin

xdx

=

-

cos

x

+

C⑸三角函数cos

x

1

2

sin2

x1dx

=

sec2

xdx

=

tan

x

+

Cdx

=

csc2

xdx

=

-

cot

x

+

C

sec

x

tan

xdx

=

sec

x

+

C

csc

x

cot

xdx

=

-

csc

x

+

C

cos

xdx

=

sin

x

+

C⑹反三角函数(无)⑺1

-

x2

1

dx

=arcsin

x

+

C21

+

x

1

dx

=arctan

x

+

C如果表达式还含有积分项,则前式计算积分时不要加积分常数利用基本积分公式、不定积分的基本性质，并结合被积函数的恒等变形可求积分的方法称为直接积分法。将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.⑴利用乘除法分项x

)

xdx例1.求

(

2

-解：原积分=

(2

x

-x

3/2

)dx=

2

xdx

-

x

3

/

2dx+

C+

3

/

2=

x

-

1x1+3

/

22x5

/

2

+

C=

x

2

-25例2.求dtt+

3

t

-

1t

3t解：原积分

=

(

t

2

+

3

-

1

)dt12=

t dt

+

3dt

-

tdt

=

3

+

3t-

ln

t

+

Ct

3判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。3t

31t验证：（

+

3t

-

ln

t

+

C）¢=

t

2

+

3

-说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系tt

3

+

3t

-

1=⑵分子、分母加减同一个代