高三数学-6-3第三讲不等式的证明教师讲义手册课件(全国版)-文-新人教A版

●基础知识一、比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分为

、

．1．作差法①理论依据：a>b⇔

；a<b⇔

；a＝b⇔

.②证明步骤：

―→

―→

．作差法作商法a－b>0a－b<0a－b＝0作差变形判断符号2．作商法①要证A>B(B>0)，只要证

；要证A<B(A>0)，只要证

.

②证明步骤：

―→

―→

．常用变形方法：一是配方法，二是分解因式．作商变形判断与1的关系二、分析法 从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．分析法的思想是“”：即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式．采用分析法证明不等式时，常用“

”的符号，有时，若为充要条件时，也常用“

”的符号．证明过程常表示为“要证……只要证……”．充分条件执果索因⇐⇔三、综合法所谓综合法，就是从

和已经证明过的基本不等式和不等式的

推导出所要证明的不等式成立，可简称为

．在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用．题设条件由因导果性质常用的基本不等式有：(1)若a，b∈R，则a2

0，|a|

0，(a±b)2

0，a2±2ab＋b2

0.(2)若a，b∈R，则a2＋b2

2ab(当且仅当

时取等号)，

≥ab(当且仅当

时取等号)；若a＋b＞0，且ab≠0，则

(当且仅当a＝b时取等号)；

a2＋b2＋c2≥

(当且仅当

时取等号)等．

≥≥≥≥≥a＝ba＝b≥ab＋bc＋aca＝b＝c(3)若a，b∈R＋，则

≤

(4)若ab＞0，则

2.

(5)||a|－|b||≤

≤

.应用上述基本不等式时，一要注意条件

；二要注意不等式

的条件．常用不等式：若a，b，m＞0，且a＜b，≥|a±b||a|＋|b|a，b的符号等号成立●易错知识不等式的性质用错．1．a、b是正数，求证：

解题思路：注：错解：∵a2＋b2≥2ab，a＋b≥2

●回归教材1．若a＞b，m＞0，则下列不等式恒成立的是 ()A．(a＋m)2＞(b＋m)2C．(a－m)3＞(b－m)3D．|am|＞|bm|解析：a＞b，m＞0⇒a－m＞b－m⇒(a－m)3＞(b－m)3.答案：C2．下列三个不等式：①a2＋2＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③(a2＋b2)(c2＋d2)＞(ac＋bd)2.其中，恒成立的有 ()A．3个B．2个C．1个D．0个解析：对①a2＋2－2a＝(a－1)2＋1≥1＞0，①恒成立．对②a2＋b2－2(a－b－1)＝a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，当且仅当a＝1，b＝－1时取“＝”，②不恒成立．对③(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时取“＝”，③不恒成立．故选C.答案：C3．(教材P145题改编)已知a，b，c，d∈{正实数}且

则 ()解析：法一：∵a、b、c、d为正实数，只要比较a(b＋d)与b(a＋c)，即：ab＋ad与ab＋bc，即：ad与bc.又∵

∴ad＜bc，法二：可取特殊值，验证．如：a＝1，b＝2，c＝3，d＝4.显然B、C、D不对，只有A符合要求．答案：A4．(2009·宜昌调研)若a，x，y是正数，且

恒成立，则a的最小值为 ()当且仅当x＝y时取等号．答案：BA．P≥Q B．P≤QC．P＞Q D．P＜Q答案：B【例1】已知a＞0，b＞0，求证：

[分析]

(1)将不等式左边通分后，可以看到分子化为的形式，结合右边的形式，可考虑用作差法．(2)作差后局部通分．(3)不等式两边都是正值，且左式通分后与右式有公因式，可考虑用作商法．[证明]

方法一：(作差比较法)方法二：(作商比较法)[总结评述]

用作差法证明不等式的三个步骤中关键的步骤是“变形”，一般变形的手段是把不等式因式分解、配方等．变形结果往往是：(1)变形为常数；(2)变形为非负实数(如完全平方数、绝对值等)；(3)变形为n个因式的乘积(或商)的形式．总之，变形的目的是有利于下一步判断符号．在判断符号时，要有详细的叙述过程，有时还要局部地用基本不等式进行证明或者分类讨论．在使用作商法比较时，要注意说明分母的符号．一般来说，证明指数不等式时常用作商法，而证整式不等式、分式不等式、对数不等式时常用作差法，其原则是看是否有利于变形．(2009·福州)设a＞b＞0，求证：

分析：本题主要考查证明不等式的基本方法——比较法，可用作差法或作商法来证．证明：方法一：∵a＞b＞0，总结评述：用作商法时，不能不讨论除式的符号而盲目得结论.例2】(2009·烟台)设a＞0，b＞0，a＋b＝1.

[证明]

(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

[总结评述]

本题多次利用均值不等式，但取等号的条件却是相同的．要把握不等号方向的一致性，除了已知基本不等式的直接使用，还应掌握由已知不等式简单变形而得到的一些结论：如等．利用综合法由因导果证明不等式，要揭示条件与结论之间的因果关系及不等式两端的差异与联系．a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：

解析：证法一：由左式⇒右式∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数证法二：右式⇒左式∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1.【例3】是否存在常数C，使得不等式

对任意正数x，y恒成立？试证明你的结论．[分析]

本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题、解决问题的能力．可先令x，y为具体的值，确定出常数C，再给出一般证明．下面给出证明：只需证3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)，即x2＋y2≥2xy，这显然成立，只需证：3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)，即2xy≤x2＋y2，这显然成立，[总结评述]

当要证的不等式较复杂，两端差异难以消除或者已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法，分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程，能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法．已知a＞b＞0，

证明：欲证原不等式成立，因a＞b＞0，故上式显然成立，∴原不等式成立．总结评述：通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出特征的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法与综合法，两面夹击，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的.【例4】对于任意x∈N＋，求证：

[探究]

①利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度，否则放的过大或缩的过小，如解析一中若从第二项

开始放大，结果为这样显然放的过大．②本题是通过改变n2中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的，对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的．③均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式，另外自己应该总结一些常见的放缩公式，如：

n！＞2n－1(n≥3)、2n－1＞n＋1(n≥4)．解法二：∵x∈N*，n≥2时，n2＞n2－1＝(n＋1)(n－1)证明不等式：思路点拨：考虑不等式自身的特点，可用放缩法、构造函数法或数学归纳法．解析：方法一：(放缩法)方法二：(构造函数法)∴f(k＋1)＞f(k)，即f(n)是n∈N*上的增函数．∴f(n)≥f(1)＝2－1＝1＞0，总结评述：放缩法、构造法是证明不等式的常用方法．放缩法证明不等式时，放缩要适度，必须有目标，而且要恰到好处，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质，不等式的性质，函数的性质等，构造法证明不等式，往往利用构造函数的单调性，几何图形的性质等解决问题．1．作差比较法证明不等式时