湖南省衡阳市耒阳市长坪中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市长坪中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a，b满足，且，则的取值范围是

(A)[4,5]

(B)[5,6]

(C)[3,6]

(D)参考答案：D略2.经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为mx2﹣ny2=1（mn＞0），将（2，1）代入双曲线的方程，求得渐近线方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得m，n，进而得到双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为mx2﹣ny2=1（mn＞0），将（2，1）代入方程可得，4m﹣n=1，①由双曲线的渐近线方程y=±x，圆x2+（y﹣2）2=1的圆心为（0，2），半径为1，渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，可得：=1，即为=3，②由①②可得m=，n=，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．3.（5分）函数的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函数的定义域．解答：由函数的解析式可得log2x≠0，∴，故函数的定义域（0，1）∪（1，+∞），故选D．点评：本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的定义域，属于基础题．4.如图在展览厅有一展台，展台是边长为1米的正方体，面紧靠墙面，一移动光源在竖直旗杆上移动，其中点在地面上且点在面上的投影恰好是的中点，，设，在光源的照射下，正方体在面紧靠墙面的投影（包括面）的面积为，则函数的大致图像是。参考答案：D5.函数的最小正周期是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略6.函数y=logsin（2x+）的单调减区间为(

) A．（kπ﹣，kπ]（k∈Z） B．（kπ﹣]（k∈Z） C．（kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．（kπ+，kπ+]（k∈Z）参考答案：C考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，本题即求函数t=sin（2x+）在满足t＞0时，函数t的增区间，结合正弦函数的图象可得2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围，可得结论．解答： 解：函数y=logsin（2x+）的单调减区间，即函数t=sin（2x+）在满足t＞0时，函数t的增区间，结合正弦函数的图象可得2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ﹣＜x≤kπ+，故在满足t＞0的条件下，函数t的增区间为（kπ﹣，kπ+]，k∈z，故选：C．点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的图象性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．7.已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为()

A．5

B．4

C．2

D．1参考答案：C略8.已知(其中为的共轭复数，为虚数单位)，则复数的虚部为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.如图，正三棱锥中，点在棱上，点在棱上，且，若异面直线和所成的角为，则异面直线与所成的角（）A．等于

B．等于

C．等于

D．等于参考答案：A略10.已知，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为（1+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为

．参考答案：答案：12.已知，且满足，则xy的最大值为

▲

.参考答案：313.对于数列{an}，若?m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{an}具有性质P（t）．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为

；（2）若数列{an}的通项公式为an=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是

．参考答案：2;[36，+∞）.【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得≥t恒成立，即有≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值为2，则t≤2．故t的最大值为2；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即为﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3时，取得最小值﹣36，则﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案为：2，[36，+∞）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．14.若函数有三个不同的零点，则函数的零点个数是________个．参考答案：415.设随机变量，则

.参考答案：16.若A、B、C、D四点共线，且满足，，则

.参考答案：17.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________．参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设直线与圆相交于，两点，问是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：∵直线垂直平分弦，∴直线经过圆心．又∵直线过点，∴直线的斜率为，∴直线的方程为的斜率为，∴，此时，圆心到的距离，符合题意．故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，此时．19.已知某保险公司的某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数0123≥4保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数0123≥4频数140401262

该保险公司这种保险的赔付规定如下表：出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）2.5a1.5aa0.5a0

将所抽样本的频率视为概率.（1）记随机变量为一续保人在下一年度的续保费用，为其在该年度所获的赔付金额，求和的分布列；（2）若下一年度有100万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于900万元，求a的最小值（纯收益=总入保额－总赔付额）.参考答案：（1）见解析；（2）最小值为100元【分析】（1）根据题目条件，依次计算概率得到分布列.（2）分别计算公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值和此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，相减得到纯收益，解不等式得到答案.【详解】解：（1）由题意得的所有取值为，，，，，其分布列为

的所有取值为，，，，，其分布列为

（2）由（1）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为，该公司此险种的总收益为，，，基本保费为的最小值为元.【点睛】本题考查了概率，分布列，平均值，属于概率统计的应用，属于常考题型.20.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足.（1）判断△ABC的形状；（2）若，，CD为角C的平分线，求CD的长.参考答案：（1）直角三角形；（2）.【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简已知条件，求得，由此判断也即三角形为直角三角形.（2）根据勾股定理求得和,由此求得，根据正弦定理列方程，解方程求得的长.【详解】（1）由，得，∴，∴，∴.故为直角三角形．（2）由（1）知，又，，∴，，.由正弦定理得，∴.【点睛】本小题主要考查两角和与差的余弦公式，考查勾股定理，考查正弦定理解三角形，属于基础题.21.已知在数列{an}中，（t>0且t≠1）．是函数的一个极值点．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，当t=2时，数列的前n项和为Sn，求使Sn>2012的n的最小值；

（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）．由题意，即．…………1分∴∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列…………2分以上各式两边分别相加得，∴，当时，上式也成立，∴…………5分

（2）当t=2时，…7分

由，得，，

…………8分当，因此n的最小值为1005．

…………10分则

22.（10分）已知数列{an}的前n项和为,且,n∈,数列{bn}满足，n∈.(1)求(2)求数列{}的前n项和Tn.参考答案：【知识点】数列的求和；等差关系