广西壮族自治区桂林市第十六中学高三数学理知识点试题含解析

广西壮族自治区桂林市第十六中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若i是虚数单位，复数的虚部为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：复数===+i，∴复数的虚部为，故选：D．2.已知球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，则此矩形的最大面积为（）A.12 B.18 C.24 D.30参考答案：C【分析】推导出BD＝4，当AB＝AD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD2＝2AB2＝48，由此能求出此矩形的最大面积．【详解】∵球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，∴2，∴BD＝4，由不等式性质得到得到：当AB＝AD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD2＝DB2＝48，解得AB2＝AD2＝24，∴此矩形的最大面积S＝AB2＝24．故选：C．【点睛】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.如图所示，则该图可能是下列函数中的那个函数的图象（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设向量，是互相垂直的两个单位向量，且|﹣3|=m|+|，则实数m的值为（）A． B．± C． D．±参考答案：C【考点】93：向量的模．【分析】首先求出向量，的数量积以及模长，然后对已知等式平方展开，转化为关于m的方程解之．【解答】解：因为向量，是互相垂直的两个单位向量，所以=0，，|﹣3|=m|+|，所以|﹣3|2=m2|+|2，展开得10=2m2，又由题意，m≥0，所以m=；故选C【点评】本题考查了平面向量的运算；利用了向量的平方与其模长平方相等．5.若，则必定是

（

）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B，所以，所以三角形为直角三角形，选B.6.若，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7.设随机变量服从正态分布，若，则A. B. C. D.参考答案：D略8.已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有，②对于任意的，都有，

③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是

(

)

A．

B．C．

D．参考答案：B略9.已知函数，则关于函数的零点情况，下列说法中正确的是

A．当时，函数有且仅有一个零点． B．当或或或时，函数有两个零点． C．当或时，有三个零点． D．函数最多可能有四个零点．参考答案：C10.已知点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线上的一点，点F是C的焦点，点P在C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．3 B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线x=﹣上的一点，可得﹣=﹣3，即p=6，则抛物线的标准方程为y2=12x，则抛物线的焦点为F（3，0），准线方程为x=﹣3，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则cosα=m，当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx+3k﹣，代入y2=12x，可得y2﹣y+3k﹣=0，∴△=1﹣4??（3k﹣）=0，∴k=或﹣，可得切点P（2，±2），由题意可得双曲线的焦点为（﹣3，0），（3，0），∴双曲线的实轴长为﹣=7﹣5=2，∴双曲线的离心率为e===3．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的任意一点，且满足，则的取值范围是．参考答案：略12.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A. B.C. D.参考答案：D令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选D．13.点A（1，2）关于直线m：x﹣y﹣1=0的对称点是

．参考答案：（3，0）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设点A（1，2）关于直线m：x﹣y﹣1=0的对称点为B（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件求得a、b的值，可得结论．【解答】解：设点A（1，2）关于直线m：x﹣y﹣1=0的对称点为B（a，b），由，求得，可得B（3，0），故答案为：（3，0）．14.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是

；参考答案：60°解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，TBN=D1M=NM=．TA1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，T12=++－2′cosq，Tcosq=．Tq=60°．15.函数在区间

上的值域是,则

的最小值是____.参考答案：

16.设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则=_______________.

参考答案：因为函数的周期为2，所以。【答案】【解析】17.若复数，则等于

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4－1：几何证明选讲如图，已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，是的平分线并交于点、交于点，求？

参考答案：解：——————————10分略19.（12分）医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：

（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（1）根据合格率、优秀率的意义即可得出；（2）利用分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望即可得出．【解答】解：（1）解：各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，∴这个样本的合格率为1﹣0.2=0.8，优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3．（2）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中，各组人数依次为4，6，4，3，2，1．从20名医生中随机选出2名的方法数为，选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为．故这2名医生的能力参数K为同一组的概率．②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人．依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则，，．∴X的分布列为X012P∴X的期望值．【点评】熟练掌握合格率、优秀率的意义、分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望是解题的关键．20.定义在R上的单调函数满足且对任意都有．(1)求证为奇函数；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)

(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是单调函数，所以在R上是增函数又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，∴k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

R恒成立．略21.（本小题满分14分）

已知函数,其中．（Ⅰ）若在区间上为增函数，求的取值范

围；（Ⅱ）当时，（ⅰ）证明：；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．参考答案：见解析考点：导数的综合运用解：函数定义域，．

（Ⅰ）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，

即，在上恒成立，则

（Ⅱ）当时，,．（ⅰ）令，得．令,得，所以函数在单调递增．令,得，所以函数在单调递减．所以，．

所以成立．

（ⅱ）由（ⅰ）知，，所以．

设所以．

令，得．

令,得，所以函数在单调递增，

令,得，所以函数在单调递减；所以，，即．

所以，即．所以，方程没有实数解．22.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的

50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计男

5

女10

合计

50已知在调查的50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，抽取3名进行其他方面的排查，记抽取患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差；大气污染会引起各种疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）

参考答案：（Ⅰ）解：列联表补充如下

………2分

患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅱ）解：因为，所以又．那么