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文档简介
定理3且级数¥n=1间[a,b]上可积.因为级数在区间[a,
b]u(
x)n设un
(x)(n
=1,2,3,)在[a,b]上连续,¥n=1nu
(
x)
[a,
b]在区间 上一致收敛于s(
x),则xxs(
x)dx0存在, 且级数项积分,
即¥n=1nu
(
x)[a,
b]在 上可以逐xxs(
x)dx
=¥xxn0
0
n=1
0¥u
(
x)
dx
=n=1xxnu
(
x)dx
,其中a
£
x0
<
x
£
b,
且上式右端的级数在[a,
b]
上也一致收敛.证
由定理2知,
s(
x)
在[a,b]
上连续, 从而在闭区¥n=1间[a,b]上可积.因为级数在区间[a,
b]u(
x)n[a,
b]间上可积. 因为级数¥n=1nu
(
x)[a,
b]在区间上一致收敛于s(x),故对任给e
>
0,
存在N
(e),使得当n
>
N时, 都有,
从而eb
-
an|
s
(
x)
-
s(
x)
|<xxn[s
(
x)
-
s(
x)]dxx
xs(
x)dx
-xns
(
x)dx
=x00x0dx
=
e.£xbaeb
-
an|
s
(
x)
-
s(
x)
|
dx
<0于是, 根据极限定义,
有lims(
x)dx.x0nfi
¥xx0sn
(
x)dx
=x即有0
0¥¥
0n=1xxnx
n=1nu
(
x)dx
.u
(
x)
dx
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