湖南省常德市崇德中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

湖南省常德市崇德中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正方形ABCD的边长为2，点P,Q分别是边AB，BC边上的动点且，则的最小值为（

）

A．1

B．2 C．3

D．4

参考答案：C2.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数即方程f[f（kx）+1]+1=0的解的个数，从而解方程可得．【解答】解：令f[f（kx）+1]+1=0得，或解得，f（kx）+1=0或f（kx）+1=；由f（kx）+1=0得，或；即x=0或kx=；由f（kx）+1=得，或；即ekx=1+，（无解）或kx=；综上所述，x=0或kx=或kx=；故无论k为何值，均有3个解；故选C．3.如图所示是函数y=f（x）的图象，则函数f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx

D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的变换趋势推出结果即可．【解答】解：由函数的图形可知：函数是奇函数，可知y=（x+）sinx不满足题意；当x→+∞时，y=（x+）cosx与y=xcosx满足题意，y=不满足题意；当x→0时，y=（x+）cosx满足题意，y=xcosx不满足题意，故选：A．4.直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．{0，π） B．（，）∪（，） C．[0，）∪（，π） D．（，）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先根据题意直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＞0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x﹣）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1由于直线的斜率存在：倾斜角故选：B5.一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为………………(

)

（A）6

（B）2

（C）

（D）

参考答案：D6.复数z为纯虚数，若（3﹣i）?z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为(

)A．﹣ B．3 C．﹣3 D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求解a的值．【解答】解：∵（3﹣i）?z=a+i，∴，又z为纯虚数，∴，解得：a=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.若函数存在零点，则实数的取值范围是

(

)A．

B.

C．

D.参考答案：A略8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．22 B．25 C．28 D．31参考答案：B【考点】程序框图．【分析】阅读程序框图知道框图的功能知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+3，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．【解答】解：阅读算法中流程图知：运算规则是对S=S+3，故第一次进入循环体后S=1+3=4，i=1第二次进入循环体后S=3+3=7，i=3第三次进入循环体后S=7+3=10，i=7第四次进入循环体后S=10+3=13，i=15第五次进入循环体后S=13+3=16，i=31第六次进入循环体后S=16+3=19，i=63第七次进入循环体后S=19+3=22，i=127第八次进入循环体后S=22+3=25，i=255由i=127＞100，退出循环，输出S=25．故选：B．9.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略10.若双曲线y2=4(m>0)的焦距为8，则它的离心率为

A．

B．2

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的通项公式是，前项和为，则.参考答案：因为，所以。12.（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是．参考答案：（，2）【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即loga4＜3，且loga8＞3，由此解得：＜a＜2，故答案为：（，2）．【点评】：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．13.在的展开式中，常数项为

．参考答案：﹣5【考点】二项式定理的应用．【分析】的展开式中的通项公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．的通项公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．进而得出．【解答】解：的展开式中的通项公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．∵的通项公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．∴常数项=1﹣×+×1=﹣5．故答案为：﹣5．14.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是

．参考答案：丙试题分析：若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意；若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意；当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.故答案为丙.考点：合情推理.15.等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式

．参考答案：16.对任意的a、b、cR+，代数式的最小值为__________.

参考答案：17.矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第列各元素之和为，则

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．参考答案：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；显然k1≠k2；直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；设点C的坐标为（x1，y1），则2?x1=，从而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；又直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．

…（16分）考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的几何性质，利用离心率e以及AB的长，求出a、b的值；（2）方法一：结合椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，计算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N的坐标，计算kMN的值；从而得出正确的结论．方法二：利用椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线的斜率，由直线与椭圆联立，求出M、N点的坐标，计算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N点的坐标，计算kMN的值，即可得出正确的结论．解答：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故椭圆方程为+=1；由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；从而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；显然k1≠k2；直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；设点C的坐标为（x1，y1），则2?x1=，从而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；又直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；从而点N的坐标为（，）；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直线MN的斜率为定值﹣1；

…（14分）②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB=﹣；此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），从而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．

…（16分）点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是较难的题目19.某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利润需要提高（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出

多少人参加项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.参考答案：【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.（2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）根据题意可得，

……3分

展开并整理得，,

……5分解得，最多调出的人数为500人.

……6分

（2），解得,

……7分，对于任意的恒成立,

……9分

即,

即对于任意的恒成立.

……10分

当时，不等式显然成立；当时，.

……11分

令函数，可知函数在区间上是单调递减函数.

……12分故，故.

……13分故，所以实数的取值范围是.

……14分20.（本小题满分12分）

合肥市环保总站对2013年11月合肥市空气质量指数发布如下趋势图：

（I）请根据以上趋势图，完成表1并根据表1画出频率分布直方图，

（II）试根据频率分布直方图估计合肥市11月份AQI指数的平均值．参考答案：21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设是实数，函数（）．（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，解关于的方程；（3）当时，求函数的值域（用表示）．参考答案：（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，从而，即，但是，矛盾．所以不是奇函数．（也可用等证明）

………（4分）（2）因为，，所以当时，，……………（1分）由，得，即，，解得（舍去）或．

…………（4分）所以，当，即时，，原方程无解；…………（5分）当，即时，，原方程的解为．…（6分）（3）令，则，原函数变成．

……（1分）因为，故

………（2分）对于，有，当时，是关于的减函数，的取值范围是；当时，，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是．

…………（5分）

对于，有是关于的增函数，其取值范围．

………