湘教版数学八年级下册同步练习 1 1含30 °角的直角三角形的性质及应用

[含30°角的直角三角形的性质及应用]一、选择题1.(2020常德五中月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB的长度为()A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm2.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D为斜边AB的中点,则图中与线段AC的长度相等的线段有()A.0条 B.1条 C.2条 D.3条3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°,AB=4,则BD的长为()A.3 B.2 C.1 D.14.已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为2,则它的最长边长为 ()A.2 B.22 C.3 D.325.(2020怀化六中期中)如图,∠ACB=90°,AC=12AB,CD⊥AB于点D,AD=ED,则图中30°角的个数是 (A.2 B.3 C.4 D.56.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D,若AD=1,则CD的长度为 ()A.1 B.2 C.3 D.47.如图,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD于点E,2CE=AC,那么CD的长是 ()A.2 B.3 C.1 D.1.5二、填空题8.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,则AC=.

9.在直角三角形中,最长边长为10cm,最短边长为5cm,则这个直角三角形中最小的内角为度.

10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD=.

11.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB于点E,交AC于点D,AD=2BC,则∠A=°.

12.等腰三角形一腰上的高与腰之比为1∶2,则等腰三角形顶角的度数为.

三、解答题13.如图所示,在四边形ACBD中,AD∥BC,AB⊥AC,且AC=12BC,求∠DAC的度数图14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CE⊥AB于点E,D是AB的中点.(1)求证:AE=DE;(2)若AC=2,求DE的长.15.如图,某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P在北偏东75°方向,又继续航行7海里后到达B处,在B处测得小岛P在北偏东60°方向.(1)求此时轮船与小岛P的距离BP;(2)小岛P3海里内有暗礁,如果轮船继续向东行驶,请问轮船有没有触礁的危险,请说明理由.16.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=6cm,点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动,同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动,设运动的时间为ts,解决以下问题:(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?图[转化思想]如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,D为AB上的一点,且AD=AC,CD,BE相交于点M.(1)求∠DMB的度数;(2)若CH⊥BE于点H,求证:AB=4MH.图

答案1.C2.D由“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知,AC=12AB.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=12AB=AD=BD,所以AC=AD=BD=CD.故选3.C∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴CB=12AB=2,∠B=60°∵CD是AB边上的高,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=30°,∴BD=12BC=14.B设三个内角的度数分别为x°,(2x)°,(3x)°,则x+2x+3x=180,解得x=30,∴三个内角的度数分别为30°,60°,90°,∴这个三角形是直角三角形,30°角所对的直角边为最短边,斜边为最长边.∵这个三角形的最短边长为2,∴它的最长边长为22.5.C6.B∵BD⊥BC,∴∠CBD=90°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=120°-90°=30°.∵AB=BC,∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°,∴∠A=∠ABD,∴BD=AD=1.在Rt△CBD中,∵∠C=30°,∴CD=2BD=2.7.A在Rt△AEC中,∵2CE=AC,∴∠1=30°=∠2.又∵AD=BD=4,∴∠B=∠2=30°,∴∠ACD=90°,∴CD=12AD=28.59.3010.2∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°,∴∠BAD=∠B,∴∵CD=1,∠CAD=30°,∴AD=2CD=2,∴BD=AD=2.11.15连接BD.∵DE垂直平分AB,∴AD=BD.∵AD=2BC,∴BD=2BC,∴在Rt△BCD中,∠BDC=30°.又∵BD=AD,∴∠A=∠DBA=12∠BDC=15°12.30°或150°当该三角形为锐角三角形时,如图①,∵BD=12AB,∴∠A=即△ABC的顶角为30°;当该三角形为钝角三角形时,如图②,在Rt△ABD中,∵BD=12AB∴∠BAD=30°,∴∠BAC=150°,即△ABC的顶角为150°.综上所述,该等腰三角形顶角的度数为30°或150°.13.解:∵AB⊥AC,∴∠CAB=90°.∵AC=12BC,∴∠CBA=30°∵AD∥BC,∴∠BAD=∠CBA=30°,∴∠DAC=∠CAB+∠BAD=120°.14.解:(1)证明:在△ABC中,∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=AD=BD=12AB∴∠DCB=∠B.∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴∠DCB=30°,∠A=90°-30°=60°,∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°,∴∠A=∠ADC,∴AC=DC.又∵CE⊥AB于点E,∴AE=DE.(2)∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°.∵∠A=60°,∴∠ACE=30°,∴AE=12∵AC=2,AE=DE,∴DE=AE=1.15.解:如图,过点P作PD⊥AB,交直线AB于点D.(1)由题意,得∠PBD=90°-60°=30°,∠PAB=90°-75°=15°.∵∠PBD=∠PAB+∠APB,∴∠APB=15°=∠PAB,∴BP=AB=7海里.(2)没有.理由:∵在Rt△PBD中,∠PBD=30°,∴PD=12BP=12×7=3.5(海里)>3∴轮船继续向东行驶没有触礁的危险.16.解:(1)根据题意可得AD=tcm,CD=(6-t)cm,CE=2tcm.∵∠A=90°,∠B=30°,∴∠C=90°-∠B=90°-30°=60°.若△DEC为等边三角形,则CD=CE,∴6-t=2t,解得t=2,∴当t的值为2时,△DEC为等边三角形.(2)①当∠DEC为直角时,∠EDC=30°,∴CE=12CD,∴2t=12(6-t),解得t=②当∠EDC为直角时,∠DEC=30°,∴CD=12CE,∴6-t=12×2t,解得t=∴当t的值为65或3时,△DEC为直角三角形[素养提升]解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠C