第01讲任意角和弧度制三角函数的概念

第四章《三角函数》第01讲任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝αr扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr23．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R，取它的终边上一点P(x，y)，设点P到原点O的距离|OP|=r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号图示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．一．角及其表示例1．（1）下列命题中正确命题的个数是（

）①第二象限角大于第一象限角，②三角形的内角是第一象限角或第二象限角③若，则与的终边相同④若，则是第二或第三象限的角.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据任意角、象限角关系判断①；由三角形内角性质知：直角不在第一象限或第二象限判断②；由特殊值判断③；由余弦函数值符号，结合特殊值判断④.【详解】①由任意角定义，各象限的角都有可能为正角或负角，故第二象限角大于第一象限角，错误；②三角形的内角第一象限角或第二象限角，也有可能是轴线角，错误；③也有，显然与的终边不相同，错误；④，此时终边在x轴负半轴上，错误.∴正确命题的个数为0.故选：A.（2）设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么（

）A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅【答案】C【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得．【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，故选C．【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．（3）终边在直线上，且在内的角的集合为__________.【答案】【分析】由角终边在直线上，得到，由，能求出的集合，得出结果.【详解】如图，在坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是，在内，终边在直线上的角有两个：，；在内满足条件的角有两个：，，故满足条件的角构成的集合为.【点睛】该题考查的是有关已知角的终边，确定落在某个区间内的角的集合的问题，在解题的过程中，需要利用直线的斜率，求得对应角的正切值，之后确定角的大小，属于简单题目.（4）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=_____．【答案】﹣960°．【详解】试题分析：α与120°角终边相同，可表示为α=k•360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．解：α与120°角终边相同，∴α=k•360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k•360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k•360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案为﹣960°．点评：本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．【复习指导】：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．（5）若是第一象限角，问，，是第几象限角？【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；是第一、二或第三象限角．【分析】根据已知写出角的取值集合，再分别求出，，集合即可得到答案．【详解】因为是第一象限角，所以，所以，所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；，所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；．当时，，所以是第一象限角；当时，，所以是第二象限角；当时，，所以是第三象限角．综上可知：是第一、二或第三象限角．【复习指导】:确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法(1)不等式法：先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．(2)几何法（针对eq\f(α,2)和）：如已知是第二象限角，求eq\f(α,2)所在象限。先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为eq\f(α,2)的终边所在的区域，故eq\f(α,2)为第一或第三象限角．若求，则每个象限分成3等份，同理标上一、二、三、四，故为第一、二或第四象限角。（6）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.【答案】(1){α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}；(2){α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}；(3){α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}；(4){α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}.【分析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成，根据终边相同角的表示，即可得到答案；(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，即可得到答案；(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，即可得到答案；(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，即可得到答案；【详解】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示及其应用，其中解答中熟记终边相同角的表示，准确写出阴影部分的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．【复习指导】：表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．二．弧度制及其应用例2．（1）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，又由弧长公式，可得，即，当时，可得；当时，可得，故选：C.（2）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．【详解】由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离m．故选：B（3）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，扇形面积，当时，有最大值，此时圆心角，故选：D（4）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.=1\*GB3①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；=2\*GB3②已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；=3\*GB3③若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③【分析】=1\*GB3①根据扇形的弧长公式进行计算即可．=2\*GB3②根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解=3\*GB3③根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可．【详解】=1\*GB3①α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝(cm).=2\*GB3②由题意得解得(舍去)，故扇形圆心角为.=3\*GB3③由已知得，l＋2R＝20.所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．【复习指导】：应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．三．三角函数的概念例3．（1）若，且，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【详解】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，，，同时满足，则的终边在三象限．（2）若是第四象限角，则点在第（

）象限.A．第四象限 B．第三象限C．第三、四象限 D．第一、二象限【答案】C【分析】根据给定条件确定角的范围，再求得与值的符号即可判断作答.【详解】因是第四象限角，即，则，当k是奇数时，是第二象限角，，点在第三象限，当k是偶数时，是第四象限角，，点在第四象限，所以点在第三、四象限.故选：C（3）已知角的终边过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角的终边过点，所以，，解得，故选B.（4）已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是（

）A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]【答案】A【分析】根据题意可得且，解不等式组求得的取值范围．【详解】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2<a≤3.故选A.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数值的符号判断角所在的象限，得到且，是解题的关键，属于基础题．（5）函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为角的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的值域.【详解】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选C.【点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.【复习指导】：(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．1．下列与角eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【答案】C【解析】与角eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．若且，则终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【答案】C【解析】分别写出满足与的角的集合，进一步得到的范围，取交集得答案．【详解】解：．，，即，．，，即的解集为，则可得终边在第一或第三象限．故选：．【点睛】本题考查象限角与等分角，考查交集及其运算，属于基础题．3．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【分析】根据题意求出的范围即可判断.【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.4．设是第一象限角，且，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】计算得到，，再根据得到答案.【详解】∵是第一象限角，∴，，∴，，∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，∵，∴，∴是第二象限角.故选：.【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．若α是第三象限角，则y＝＋的值为（

）A．0 B．2 C．－2 D．2或－2【答案】A【详解】∵α是第三象限角，∴是第二或第四象限角．当为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0.6．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．【详解】解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，可得：，而符号不确定，又为第一或三象限角，，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定综上所述，必定为正值的只有一个故选：．【点睛】本题给出是第一象限角，判断几个三角函数值的符号．着重考查了象限角的概念和三角函数在各个象限的符号等知识，属于基础题．7．已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数．【详解】据题意，得解得或所以或.故选D.【点睛】本题考查扇形的面积公式以及弧长公式，方程思想，牢记公式是解答本题的关键．8．已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长.【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，所以，扇形的面积为，当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时，如下图所示：取的中点，则，且，因此，.故选：C.【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解【详解】，又，为锐角，∴

，故选：A.10．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为()A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值．【详解】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知，故角的最小正值为．故选：B．【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．11．设，角的终边与圆的交点为，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点在单位圆上求出，再由三角函数的定义求解即可.【详解】画图，角的终边与圆的交点为，设，则，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在单位圆中，，，∴，，∴，故选：D12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据终边关于y轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；【详解】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴，∵，∴故选：B.【点睛】本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.13．若，且，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】根据已知得到，且，即得解.【详解】解：因为，，所以，且，故a是第四象限角．故选：D14．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角的终边上一点，所以，又，所以为第四象限角，所以，又因，所以.故选：C.15．已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要【答案】B【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立.故选：B.16．终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是故选：A17．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径的等式，由此求解出的值.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为，所以，取等号时，即，所以面积取最大值时，如下图所示：设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，因为，所以，所以，所以，故选：C.18．点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】首先求出所在象限，然后判断和符号即可求解.【详解】∵，∴913°角为第三象限角，∴，，∴点位于第三象限.故选:C．19．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用侧面展开图是一个半圆，求得与之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，圆锥的侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，，故圆锥的底面半径为，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，分别由，，最后由圆锥体积公式求解即可.【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，解得，又，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为.故选：A.21．若角满足，，则是（）A．第二象限角 B．第一象限角 C．第一或第三象限角 D．第一或第二象限角【答案】C【详解】∵角满足，∴在第二象限，即∴∴是第一或第三象限角故选C22．下列说法正确的是（

）A．第二象限角比第一象限角大B．角与角是终边相同角C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为【答案】D【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误；对于B，，与终边不同，故B错误；对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误；对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确．故选:D．23．已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据三角函数值的符号可求的范围，从而可得正确的选项.【详解】因为，，故，同理，故，故的终边不在第二象限，故B不成立，故选：B.24．若点在函数的图象上，则的值为（）A．0 B． C．1 D．【答案】D【详解】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.25．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为．试根据以上信息，计算（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先由是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，，，过A作于D，则AD也是三角形的中线和角平分线，故.故选：B.【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.26．（多选）给出下列四个选项中，其中正确的选项有（

）A．若角的终边过点且，则B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C．若在单调递减，则D．设角为锐角（单位为弧度），则【答案】AD【分析】A由终边上的点可得即可求m值；B由题设，进而求的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定所代表的长度，即可比较大小.【详解】A：，易知且，则，正确；B：，则，可知为第一象限或第三象限角，错误；C：由，当时，上递增，上递减；当时，上递减，上递增；而在上递减，则且，可得，故错误；D：如下图，单位圆中，显然，正确；故选：AD27．（多选）已知，则函数的值可能为（

）A．3 B．-3 C．1 D．-1【答案】BC【解析】讨论在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四种情况分别化简得到答案.【详解】，当在第一象限时：；当在第二象限时：当在第三象限时：当在第四象限时：故选：【点睛】本题考查了三角函数值化简，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.28．若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．【答案】【详解】由题意可知：，则，当时，；当时，；当时，；当时，；而当时，；当时，；综上可得：终边与的终边相同的角有.【点睛】所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：.即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和.29．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝_________【答案】72°或144°或216°或288°.【分析】由角4θ与角θ终边关于x轴对称，可知角4θ与角－θ终边相同，从而可得到4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，结合θ为小于360°的正角，可得到答案．【详解】依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z).又0°<θ<360°，故令k＝1,2,3,4.得θ＝72°或144°或216°或288°.【点睛】本题考查了终边相同的角的表示，两个角的终边关于x轴对称这一条件是解决本题的关键，属于基础题．30．终边落在第四象限内的角的集合可表示为______________.【答案】【分析】按照第四象限角的概念直接写出即可.【详解】终边落在第四象限内的角的集合可表示为.故答案为：.31．与2014°角终边相同的最小正角是__________，与2014°角终边相同的绝对值最小的负角是__________.【答案】

214°

-146°【分析】求出与2014°角终边相同的角，进而可得到答案．【详解】与2014°角终边相同的角为2014°＋k×360°(k∈Z).当k＝－5时，214°为最小正角；当k＝－6时，-146°为绝对值最小的角.【点睛】本题考查了角的知识，考查了终边相同的角的表示，属于基础题．32．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）【答案】【分析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，则，所以矢长为，在中，，，所以，所以所以弧田的面积为.故答案为：.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，考查运算求解能力，是基础题.解题的关键就是认真审题，计算出“矢”和“弦”..33．设分别是第二象限角，则点落在第___________象限.【答案】四【分析】由是第二象限角，判断，的符号，进而可得结果．【详解】∵是第二象限角，∴，，∴点在第四象限．故答案为四．【点睛】本题考查三角函数的符号，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】【解析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得，可求的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.【详解】如图，是月牙湖的示意图，是的中点，连结，可得，由条件可知，所以，所以，，所以月牙泉的周长.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.35．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是_______.【答案】第一或第二象限【分析】当为偶数时，，当为奇数时，，即可作出判定，得到答案．【详解】由题意，当为偶数时，，当为奇数时，，∴的终边在第一或第二象限.【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示，准确作出判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．36．已知角的终边经过点，且，则__________．【答案】-1【分析】先分析得到，再解方程得解.【详解】因为，则的终边在第二或三象限，又点的纵坐标是正数，所以是第二象限角，所以，由，解得.故答案为-1【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义和三角函数在各象限的符号，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.37．若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝____．【答案】【分析】先根据点P在单位圆上以及钝角范围解得m,再根据三角函数定义求结果.【详解】因为点P在单位圆上，所以，因为钝角，所以，因此由三角函数定义得tan＝【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本求解能力.属基础题.38．已知角的终边经过点P(1，﹣2)，则tan的值是_________．【答案】-2【分析】由任意角的三角函数定义，可求出tan的值．【详解】因为角的终边经过点P(1，﹣2)，所以tan==-2.【点睛】本题考查了任意角的三角函数定义，考查了学生对三角函数定义的掌握，属于基础题．39．如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A，则cosα－sinα＝________.【答案】【分析】通过图象根据任意角的三角函数的定义确定cosα的值，然后求出cosα-sinα的值．【详解】由题意得cos2α＋2＝1，cos2α＝.又cosα<0，所以cosα＝－，又sinα＝，所以cosα－sinα＝－.【点睛】本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，单位圆的知识，考查计算能力视图能力．40．若点是角终边上的一点，且，则______.【答案】-4【分析】由正弦的定义,可得,即可求出的值.【详解】由题意,,解得.故答案为:-4.【点睛】本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题.41．角终边上一点M（，-2），且，则=.【答案】或【详解】试题分析：由三角函数定义，解得，故sinθ＝，或．故答案为或42．点P(tan2012°，cos2012°)位于第_____象限.【答案】四【详解】因为，是第三象限角，故其正切值为正数，余弦值为负数，故点位于第四象限.43．下列判断正确的是__________．（填序号）①；②；③；④.【答案】④【详解】由题意结合诱导公式可得：，①错误；，②错误；，③错误；，则，④正确；综上可得判断正确的序号为④.44．三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为，则＋＋的值是________.【答案】-1【分析】根据三角形ABC是锐角三角形，可得，从而，判断出，，即可判断P点象限，化简可得答案.【详解】因为为锐角三角形，所以，则,所以，所以，同理，故，即点位于第四象限，所以＋＋，故答案为：.45．若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【答案】

2

【分析】设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为故扇形的面积由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为此时，故答案为：2，46．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq\f(2,3)，面积等于圆面积的eq\f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．【答案】eq\f(5,18)【详解】设圆的半径为r，则扇形的半径为eq\f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的eq\f(5,27)，可得eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，解得α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧长与圆周长之比为eq\f(l,C)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).47．若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的非正半轴上,的终边在第一象限或第三象限.【分析】写出第二象限角的集合，然后利用不等式的基本性质得到．【详解】∵角是第二象限角，∴，（1），∴角的终边在第三象限或第四象限或轴的非正半轴上．（2），当时，∴，∴的终边在第一象限．当时，∴，∴的终边在第三象限．综上所述，的终边在第一象限或第三象限．【点睛】本题考查了象限角和轴线角，关键是写出第二象限角的集合，是基础题48．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（