湖南省张家界市芭茅溪中学2022年高三数学文期末试题含解析

湖南省张家界市芭茅溪中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（

）A.B.C.D.-参考答案：C=,2.函数f1（x）=，f2（x）=，…，fn+1（x）=，…，则函数f2015（x）是(

)A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：f1（x）=，则f（x）是奇函数不是偶函数，f2（﹣x）==﹣=﹣f2（x），则f2（x）为奇函数不是偶函数，f3（﹣x）==﹣=﹣f3（x），则f3（x）为奇函数不是偶函数，…则由归纳推理可得函数f2015（x）为奇函数不是偶函数，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．3.命题p实数满足（其中a>0），命题q实数满足(1)若a=1，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：略4.在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于16cm2的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据几何概型的概率公式，设AC＝x，则BC＝10﹣x，由矩形的面积S＝x（10﹣x）＜16可求x的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段的长为，则线段长为，那么矩形面积为，或，又，所以该矩形面积小于的概率为.故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．5.已知，复数，则（

）A．2

B．1

C．0

D．-2参考答案：A由题意得，所以，选A.

6.已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：D7.若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．44参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】设公差为d，由S8﹣S3=10可得a1+5d=2，代入S11=11a1+=11（a1+5d）运算求得结果．【解答】解：设公差为d，由S8﹣S3=10可得，8a1+﹣3a1﹣=10，故有a1+5d=2，∴S11=11a1+=11（a1+5d）=22，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，求出a1+5d=2，是解题的关键，属于中档题．8.已知不等式组表示区域，过区域中任意一点作圆的两条切线且切点分别为，当最大时，（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：【知识点】简单线性规划．E5B

解析：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设∠APB=α，则，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：B【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．9.已知x、y∈R*满足x2+y2=1，则+的最小值为A．

B．

C．

D．2参考答案：D10.已知函数，若在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的区间长度，解不等式可得满足条件的区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：令f（x）=0，解得：x=4，故在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率p==，故选：D．【点评】本题考查几何概型，涉及不等式的解法，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，函数在区间单调递减，则的最大值为

.参考答案：12.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.参考答案：112

13.已知函数f（x）=cos2x，若将其图象沿x轴向左平移a个单位（a＞0），所得图线关于原点对称，则实数a的最小值为．参考答案：

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的对称性可得结论．【解答】解：将函数f（x）=cos2x图象沿x轴向左平移a个单位（a＞0），所得函数解析式为：y=cos（2x+2a），由于所得图象关于原点对称，所以：2a=kπ+，k∈Z，解得：a=+，k∈Z，a＞0，所以：实数a的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．14.每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将个家庭分成两组，组负责种植棵银杏树苗，组负责种植棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时.假定两组同时开始种植,若使植树活动持续时间最短，则组的家庭数为

，此时活动持续的时间为

．参考答案：【知识点】函数模型及其应用【试题解析】因为由已知得，得

所以，

故答案为：15.抛物线y=x2的准线方程是（） A．y=﹣1 B． y=﹣2 C． x=﹣1 D． x=﹣2参考答案：A略16.已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则

参考答案：略17.如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|?|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4=0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2=|OR|?|OQ|，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2．点P在直线l：x+y﹣4=0上，直线l的极坐标方程ρ=．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2=|OR|?|OQ|，即，∴，∴ρ=．【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.设函数。（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；

（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，

求证：。参考答案：1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴当时，．-----------------4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------8分（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．---------------------------------12分略20.（本小题满分12分）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是棱AA1上一点，平面BC1D⊥平面BB1C1C，AB=AA1=2.（Ⅰ）求点A到平面BC1D的距离；（Ⅱ）求直线A1B与平面BC1D所成的角的正弦值.参考答案：解1：（Ⅰ）作DF⊥BC1于F，∵平面BC1D⊥平面BB1C1C，∴DF⊥平面BB1C1C，……2分取BC中点E，连接AE，EF，则AE⊥平面BB1C1C，∴AE∥DF，AE∥平面BC1D，于是A、E到平面BC1D的距离相等，…4分作EG⊥BC1于G，则EG⊥平面BC1D，又EG=B1C=，因此，A到平面BC1D的距离为；……6分(Ⅱ)∵AA1∥平面BB1C1C，∴AD∥EF，得EF∥CC1，F是BC1的中点.………………8分于是AD=EF=CC1=1，D是AA1中点，所以A1和A到平面BC1D的距离相等.设A1到平面BC1D的距离为d，则d=，…10分

设A1B与平面BC1D所成的角为θ，则sinθ=.

……12分

解2：（Ⅰ）以AC中点O为原点，建立空间直角坐标系如图.

……1分设AD=h,则A（0,-1,0），B（，0,0），C（0,1,0），A1（0，-1,2），C1（0,1,2），D（0，-1，h）.

……2分,设平面BC1D的法向量为n=（x，y，z），则，令z=2，则y=h-2，x=.n=（，h-2，2）……3分取BC中点E（），）是平面BB1C1C的一个法向量.∵平面BC1D⊥平面BB1C1C，∴×+(h-2)×=0，得h=1.………………5分n=（，-1，2），=(0,0,1).A到平面BC1D的距离为d=.…………6分(Ⅱ),设A1B与平面BC1D所成的角为θ，则sinθ=.

…12分略21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=-lnx,

x∈[1,3].(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值；(Ⅱ)若f(x)＜4-at对于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.参考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x∈[1,3]时,f(x)≤,故对任意x∈[1,3],f(x)＜4-at恒成立,只要4-at＞对任意t∈[0,2]恒成立,即at＜恒成立,记g(t)=at,t∈[0,2],所以,所以a<.22.已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的表达式；（2）设bn=an?an+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{an}中是否存在这样的一些项，an1，an2，an3，…nank，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{ank}？若存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）先求出sn，通过讨论n的范围，从而得到数列{an}的通项公式；（2）通过讨论n的奇偶性，从而求出Tn的表达式，问题转化为使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立即可；（3）通过讨论公比的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（x+1）2﹣，∴Sn=（n+1）2﹣=n2+n（n∈N*），当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=，当n=1时，a1=s1=1适合上式，∴数列{an}的通项公式是：an=（n∈N*）；（Ⅱ）∵bn=anan+1cos（n+1）π，（n∈N*），