数学人教A版必修4问题导学1.6三角函数模型的简单应用

1.6三角函数模型的简单应用问题导学一、与函数图象有关的问题活动与探究1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段eq\f(1,150)秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？迁移与应用已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的一系列对应值如下表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(5π,6)eq\f(4π,3)eq\f(11π,6)eq\f(7π,3)eq\f(17π,6)y－1131－113(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为eq\f(2π,3)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想，还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题．二、函数解析式的应用活动与探究2一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，点P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是()A．A＝8B．ω＝eq\f(π,6)C．φ＝eq\f(π,2)D．B＝10迁移与应用设y＝f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(x)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是()A．y＝12＋3sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋π))，t∈[0,24]C．y＝12＋3sineq\f(π,12)t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,2)))，t∈[0,24]解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下：当堂检测1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq\f(1,200)s时，电流I为()A．5AB．2.5AC．2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时振动速度为零3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________．4．振动量y＝eq\r(2)sin(ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和eq\f(3,2)，则它的相位是__________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)根据图中提供的数据求T，进而得出ω，根据图象过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)，0))得出φ，从而得出函数解析式．(2)由题意得出周期T不超过eq\f(1,150)是关键．解：(1)由图知A＝300，设t1＝－eq\f(1,900)，t2＝eq\f(1,180)，则周期T＝2(t2－t1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq\f(1,75)．∴ω＝eq\f(2π,T)＝150π．又当t＝eq\f(1,180)时，I＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0．而|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)．故所求的解析式为I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6)))．(2)依题意，周期T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)(ω＞0)，∴ω≥300π＞942．又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943．迁移与应用解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝eq\f(11π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2π．由T＝eq\f(2π,ω)得ω＝1．又解得令ω·eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，即eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,3)．∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋1．(2)∵函数y＝f(kx)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))＋1的周期为eq\f(2π,3)，又k＞0，∴k＝3．令t＝3x－eq\f(π,3)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))．如图，sint＝s在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有两个不同的解的条件是s∈eq\b\lc\[\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(\r(3),2)，1))，∴方程f(kx)＝m在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时恰好有两个不同的解的条件是m∈[eq\r(3)＋1,3)，即实数m的取值范围是[eq\r(3)＋1,3)．活动与探究2思路分析：将题目中出现的量与三角函数解析式中A，ω，φ，B相联系，从而解决问题．C解析：由摩天轮最低点距地面2米，最高点距地面18米，得解得因此A，D都正确；又由摩天轮每12分钟旋转一周，得T＝12，而T＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(π,6)，则B正确；又由P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，得8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×0＋φ))＋10＝2，所以sinφ＝－1，而φ∈[0,2π)，所以φ＝eq\f(3π,2)，所以C错误．迁移与应用A解析：∵y＝f(x)的图象可以近似地看成y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，∴y＝f(x)具有周期性．当t＝3,15时，y取得最大值，∴T＝15－3＝12，则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，∴排除C、D．下面将点(3,15.1)的坐标分别代入A、B验证．将t＝3代入A，得y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3))＝15；代入B，得y＝12＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3＋π))＝9，与15.1相差太多．∴应选A．【当堂检测】1．B解析：将t＝eq\f(1,200)代入I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))得I＝2.5A．2．B解析：由图知该质点振动的周期要大于0.7s，振