2022-2023学年江苏省南京市大学附属中学高一数学理期末试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市大学附属中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内为（）

A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：

K

S

是否继续循环循环前1

1第一圈2

4

是第二圈3

11

是第三圈4

26

是第四圈5

57

是第五圈6

120

否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．2.若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c等于

(

)A．－a＋3b

B．a－3bC．3a－b D．－3a＋b参考答案：B略3.已知b＞0，log3b=a，log6b=c，3d=6，则下列等式成立的是（）A．a=2c B．d=ac C．a=cd D．c=ad参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数式和对数式的互化和对数的运算性质即可判断．【解答】解：b＞0，3d=6，∴d=log36，∴log36?log6b=log3b，∴a=cd故选：C【点评】本题考查了对数函的运算性质，属于基础题．4.已知扇形的半径为4，圆心角为45°，则该扇形的面积为（

）A.2π B.π C. D.参考答案：A【分析】化圆心角为弧度值，再由扇形面积公式求解即可。【详解】扇形的半径为，圆心角为，即，该扇形的面积为，故选．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式的应用。5.已知f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则f（x）解析式是（）A．f（x）=2sin（x﹣） B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x﹣） D．f（x）=2sin（2x+）参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，?=﹣，∴ω=，再根据五点法作图，可得+φ=π，φ=，∴f（x）=2sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．6.如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（

）。（A）与是异面直线

（B）平面（C），为异面直线，且

（D）平面

参考答案：C略7.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若mα，nβ，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β参考答案：C8.等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A． B． C．2 D．﹣参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．9.设集合A＝{5，log2(a2－3a＋6)}，集合B＝{1，a，b}，若A∩B＝{2}，则集合A∪B的真子集的个数是()A．3

B．7C．12

D．15参考答案：D10.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()．A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有二个红球参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于的方程恰有个不同的实根,则的取值范围是________.参考答案：12.已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为

．参考答案：413.已知函数f（x）=2x﹣2﹣x，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是

．参考答案：（﹣3，+∞）

【考点】函数恒成立问题．【分析】通过判定函数f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上单调递增、奇函数，脱掉”f“，转化为恒成立问题，分离参数求解．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上单调递增，又∵f（﹣x）=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，?对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）＞f（﹣4+x）恒成立，?对任意的x∈[1，3]，x2+（t﹣1）x+4＞0?（t﹣1）x＞﹣x2﹣4?t﹣1＞﹣（x+，∵，∴t﹣1＞﹣4，即t＞﹣3．故答案为：（﹣3．+∞）【点评】本题考查了函数的单调性、奇函数，恒成立问题，分离参数法，属于中档题．14.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于有下列命题：①的图象关于原点对称；②为偶函数；③的最小值为0；④在(0，1)上为增函数.其中正确命题的序号是:--- .参考答案：②③④15.已知函数满足当时，总有，若，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略16.已知=，则__________．参考答案：20略17.函数，若，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，集合.（1）当，求；（2）若，求实数a的取值范围.参考答案：（1），（2）【分析】（1）化简集合，得到，或，求交集即可.（2），分类讨论和，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以.或，.（2）.当时，.当时，.综上：【点睛】本题主要考查了集合的运算，同时考查了子集关系和对数不等式，计算能力是解题的关键，属于简单题.19.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1B1C1D1，且这个几何体的体积为．（1）求证：EF∥平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面A1AB∥平面CDD1C1．证得A1B∥平面CDD1C1．（2）设A1A=h，已知几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，利用等体积法VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1，进行求解．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长．【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D1C，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴A1D1∥BC且A1D1=BC．∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C．∵A1B?平面CDD1C1，D1C?平面CDD1C1，∴A1B∥平面CDD1C1．证法二：∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴平面A1AB∥平面CDD1C1．∵A1B?平面A1AB，A1B?平面CDD1C1．∴A1B∥平面CDD1C1．解：（2）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=，即SABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，且A1P?平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴=，∴C1Q=1又∵PQ∥BC，∴PQ=BC=．∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，∴A1P==20.(本题满分12分)某部门为了了解用电量(单位：度)与气温x(单位：)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，因某天统计的用电量数据丢失，用表示，如下表：气温（）181310-1用电量(度)24t3864(1)由以上数据，求这4天气温的标准差（结果用根式表示）.(2)若用电量与气温之间具有较好的线性相关关系，回归直线方程为，且预测气温为时，用电量为度.求的值.参考答案：

21.（本小题满分12分）某水仙花经营部每天的房租、水电、人工等固定成本为1000元，每盆水仙花的进价是10元，销售单价x(元)()与日均销售量(盆)的关系如下表，并保证经营部每天盈利．20354050400250200100

x20354050y400250200100

(Ⅰ)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x,y)的对应点，并确定y与x的函数关系式；（Ⅱ）求出的值，并解释其实际意义；（Ⅲ）请写出该经营部的日销售利润f(x)的表达式，并回答该经营部怎样定价才能获最大日销售利润？

参考答案：解：(Ⅰ)由题表作出，，，的对应点，它们分布在一条直线上，如图所示．

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