高中数学一轮复习考点专题81 排列组合-选择合适的数学模型 (含解析)

PAGE微专题81排列组合——寻找合适的模型在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题一、典型例题：例1：设集合SKIPIF1<0由SKIPIF1<0个元素构成，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所有子集的个数为_______思路：可将组成子集的过程视为SKIPIF1<0中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从SKIPIF1<0开始，有两种选择，同样后面的SKIPIF1<0都有两种选择，所以总数SKIPIF1<0个答案：SKIPIF1<0例2：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0中有三个元素，若SKIPIF1<0中的元素可构成等差数列，则这样的集合SKIPIF1<0共有（）个A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：设SKIPIF1<0中构成等差数列的元素为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0应该同奇同偶，而当SKIPIF1<0同奇同偶时，则必存在中间项SKIPIF1<0，所以问题转变为只需在SKIPIF1<0中寻找同奇同偶数的情况。SKIPIF1<0同为奇数的可能的情况为SKIPIF1<0，同为偶数的可能的情况为SKIPIF1<0，所以一共有SKIPIF1<0种答案：C例3：设集合SKIPIF1<0，那么集合SKIPIF1<0中满足条件“SKIPIF1<0”的元素个数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中至少有一个SKIPIF1<0，且不多于SKIPIF1<0个。所以可根据SKIPIF1<0中含0的个数进行分类讨论。①五个数中有2个0，则另外3个从SKIPIF1<0中取，共有方法数为SKIPIF1<0②五个数中有3个0，则另外2个从SKIPIF1<0中取，共有方法数为SKIPIF1<0③五个数中有4个0，则另外1个从SKIPIF1<0中取，共有方法数为SKIPIF1<0所以共有SKIPIF1<0种答案：D例4：设集合SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的三元素子集中，三个元素的和分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值思路：SKIPIF1<0的三元子集共有SKIPIF1<0个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的SKIPIF1<0各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这SKIPIF1<0个子集中共含有多少个SKIPIF1<0。以1为例，含SKIPIF1<0的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有SKIPIF1<0个，所以和为SKIPIF1<0，同理，含2的集合有SKIPIF1<0，其和为SKIPIF1<0……，含10的集合有SKIPIF1<0个，其和为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而将问题转化为分组问题。则SKIPIF1<0（种）答案：90例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（）对异面直线A.450B.441C.432D.423思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有SKIPIF1<0，每条棱与对棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点共面的情况共有SKIPIF1<0种，所以四点不共面的情况有SKIPIF1<0种，从而异面直线的对数为SKIPIF1<0种答案：D小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化例7：设SKIPIF1<0是整数集的一个非空子集，对于SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么称SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的一个“孤立元”，给定SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：首先要理解“SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：SKIPIF1<0种答案：C例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有SKIPIF1<0个答案：SKIPIF1<0个例9：一个含有10项的数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则符合这样条件的数列SKIPIF1<0有（）个A.30B.35C.36D.40思路：以SKIPIF1<0为入手点可得：SKIPIF1<0，即可视为在数轴上，SKIPIF1<0向左或向右移动一个单位即可得到SKIPIF1<0，则问题转化为从SKIPIF1<0开始，点向左或向右移动，总共9次达到SKIPIF1<0，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。所以不同的走法共有SKIPIF1<0种，即构成36种不同的数列答案：36种例10：方程SKIPIF1<0的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？思路：本题可将10理解为10个1相加，而SKIPIF1<0相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：SKIPIF1<0种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：SKIPIF1<0种答案：正整数解有84种，非负整数解有286种二、历年好题精选1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（）A．144种B．96种C．48种D．34种2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（）A.232B.252C.472D.4843、在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（）A.16个B.18个C.19个D.21个4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A．96B．240C．48D．405、某班组织文艺晚会，准备从SKIPIF1<0等8个节目中选出4个节目演出，要求：SKIPIF1<0两个节目至少有一个选中，且SKIPIF1<0同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860B．1320C．1140D．10206、某班一天中有SKIPIF1<0节课，上午SKIPIF1<0节课，下午SKIPIF1<0节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、物理、体育、艺术SKIPIF1<0堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．128、某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种A．24B．48C．96D．1149、（2014重庆八中一月考，2）要从SKIPIF1<0名男生和SKIPIF1<0名女生中选出SKIPIF1<0人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010、（2015，广东文），若集合：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示集合SKIPIF1<0中的元素个数，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011、（2014，浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对13、（2014，重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．16814、（2014，广东）设集合SKIPIF1<0，那么集合SKIPIF1<0中满足条件“SKIPIF1<0”的元素个数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<015、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选人，不同的选取法的种数为()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<016、集合SKIPIF1<0的4元子集SKIPIF1<0中，任意两个元素差的绝对值都不为1，这样的4元子集SKIPIF1<0的个数有_____个习题答案：1、答案：B解析：SKIPIF1<0相邻则考虑使用整体法，程序SKIPIF1<0有要求所以先确定SKIPIF1<0的位置，共有2种选法，然后排剩下的元素SKIPIF1<0，再排SKIPIF1<0间的顺序SKIPIF1<0，所以总数为SKIPIF1<02、答案：C解析：考虑使用间接法，16张卡片任取3张共有SKIPIF1<0种，然后三张卡片同色则不符合要求，共有SKIPIF1<0种，然后若红色卡片有2张则不符合要求，共有SKIPIF1<0种，所以不同的取法种数为：SKIPIF1<03、答案：A解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，三位数共有SKIPIF1<0个；若有两个重复数字，则数字为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，三位数有SKIPIF1<0个；若三个数字相同，则只有333，所以SKIPIF1<04、答案：A解析：5张票分给4个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共SKIPIF1<0种选择，然后确定给哪两张连号的票，共4种情况，剩下的票分给3人即可。所以SKIPIF1<05、答案：C解析：由题可知可分为两类：第一类SKIPIF1<0只有一个选中，则还需从剩下6个里选出3个节目，然后全排列，所以不同的演出顺序有SKIPIF1<0；第二类，SKIPIF1<0同时选中，则还需从剩下6个里选出2个，然后SKIPIF1<0不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有SKIPIF1<0。综上SKIPIF1<06、答案：B解析：先排数学与艺术各有3种共9种，其余的4个科目全排列有SKIPIF1<0种，所以SKIPIF1<07、答案：C解析：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：（1）0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有SKIPIF1<0种情况；故0被奇数夹在中间时，有SKIPIF1<0种情况；（2）2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、2、3看成一个整体，与0、4全排列，有SKIPIF1<0种情况，其中0在首位的有2种情况，则有SKIPIF1<0种排法；故2被奇数夹在中间时，有SKIPIF1<0种情况；（3）4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.8、答案：D解析：由题可知，5个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有SKIPIF1<0种，A、B住同一房间有SKIPIF1<0种，故有SKIPIF1<0种，当为（2,2,1）时，有SKIPIF1<0种，A、B住同一房间有SKIPIF1<0种，故有SKIPIF1<0种，根据分类计数原理共有SKIPIF1<0种9、答案：A解析：由分层抽样可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生担任队长，则还需要出3名男生，所以SKIPIF1<010、答案：D解析：分别统计SKIPIF1<0中元素的个数，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0可取的值由SKIPIF1<0的值决定，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0分别可选SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0种，当SKIPIF1<0时；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种；当SKIPIF1<0时；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种；当SKIPIF1<0时；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种，所以共计SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，可知SKIPIF1<0一组，SKIPIF1<0一组，按照SKIPIF1<0的计算方式可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的选择各