专题10导数与函数的极值（课时训练）

专题10导数与函数的极值考试时间：90分钟满分：100分A组基础巩固（60分）一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在处取得最大值 D．在处取得极大值【答案】D【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，当时，，当且仅当时取等号，因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.故选：D2．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知函数，则（

）A．在定义域内单调递减 B．有无数个极值点C．只有一个零点 D．为周期函数【答案】C【分析】先求函数的导数,再根据导数研究函数性质分别逐项判断即可【详解】因为函数,所以,所以在定义域内单调递增,故选项错误;因为在定义域内单调递增,所以无极值点,故选项错误;因为在定义域内单调递增,所以不是周期函数,故选项错误;因为在定义域内单调递增,且,所以只有一个零点,故选项正确;故选:3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知的一个极值点为，若，则实数的值为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先求导,令导数为零,即可求参.【详解】已知,则,因为极值点为,可得,即得,则,则故选:.4．（2021春·天津蓟州·高二校考期中）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.【详解】因为函数在内无极值，所以在在内无变号零点，根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，所以或即可，解得或，故选：C.5．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．－1是的极小值点 B．曲线在处的切线斜率小于零C．在区间上单调递减 D．－3是的极小值点【答案】B【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，结合极值点的定义即可判断ACD选项，根据导数的定义和几何意义即可判断B.【详解】结合导函数图像可知当或时，，单调递增，当时，单调递减，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，C错误；所以是的极大值点，是的极小值点，不存在其他极值点，AD错误；又因为，所以在处切线斜率小于零，B正确；故选：B6．（2022·河南·模拟预测）当时，函数取得极小值4，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】求导得到，计算，且，解得答案.【详解】，，根据题意有，且，解得，，.此时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.函数在处取极小值，满足.故选：A7．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数的取值范围．【详解】由题意，,令得，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，当直线与的图象相切时，设切点为，则切线方程为，故且，解得，所以当时，直线与的图象相切，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）,由图可知，当时，与的图象有两个交点．则实数的取值范围是．故选：B8．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）函数的极值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据导数判断函数的导函数，据此可知函数单调递增无极值点.【详解】由题意知，令，则，令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，由此可知，函数单调递增，所以函数不存在极值点.故选：A.二、多选题：本大题共2小题，每个小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．（2022春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数有极小值，且极小值是的最小值B．C．函数在区间单调递减，在区间单调递增D．设，若对任意，都存在，使成立，则【答案】BCD【分析】首先确定定义域，根据导数研究函数的单调性以及最值，逐项分析判断即可得解.【详解】对C，由，可得，求导可得，由，可得，当，时，，为减函数，当时，，为增函数，故C正确；对A，由选项C可知，函数在处有极小值，且其极小值为，而，故极小值不是最小值，故A错误；对B，由，所以，所以，，即，又，，故成立，故B正确.对D，在上的值域包含在上的值域，由时，为减函数，当时，为增函数，故的值域为，由在上的值域为，所以，故D正确；故选：BCD10．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有2个零点C．不存在最小值D．不等式对恒成立【答案】ABD【分析】对A，由导数法可得有两个极值点；对B，由导数法可得的单调性，以及即可判断；对C，由的单调性及极小值可判断最小值；对D，原命题等价于对恒成立，令，由导数法得最小值，即可判断.【详解】，由得，故当，，在单调递增；当，，单调递减.对A，由得，故有两个极值点，A对；对B，，又当，，结合单调性可知，有2个零点，B对；对C，由的单调性得，在取得极小值，又当，，故在取得最小值，C错；对D，当，，即，即，即，故原命题等价于不等式对恒成立，令，则，故在单调递减，故，故D对.故选：ABD三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答题卡中的横线上.11．（2022春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）函数的极大值为___________.【答案】【分析】利用导数求得函数的极大值.【详解】的定义域是，，令解得，所以，在区间递增；在区间递减；所以的极大值为.故答案为：12．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）方程有唯一的实数解，实数的取值范围为__________．【答案】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性，结合零点存在性定理求解作答.【详解】令函数，依题意，函数有唯一零点，求导得，当时，，无零点，当时，，函数在上单调递增，，当且时，，则在上存在唯一零点，因此，当时，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，当且仅当，即时，在上存在唯一零点，因此，所以实数的取值范围为.故答案为：B组能力提升（40分）四、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．13．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数f（x）的极值；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值为，极小值为0；(2)【分析】（1）由导数研究函数的单调性，进而研究其极值；（2）将不等式转化为，研究的最小值，分类讨论与是否成立，即可得结果.【详解】（1）∵∴，解得或，，解得，故函数的增区间为，，减区间为（－1，0），∴函数的极大值为，极小值为.（2）不等式，可化为，，可化为，可化为，可化为，令，，有，，解得，，解得，可得函数的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞），∴（当且仅当时取等号），可得不等式，（当且仅当时取等号）故有，（当目仅当时取等号）①当时，因为，所以，，可知不等式成立；②当时，令，，∴在单调递增，且，可知存在满足，此时有，而，此时不满足恒成立，综述：.即：若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（－∞，1].【点睛】不等式恒成立（能成立）问题，一般有两种方法，方法1：分离参数法解决恒(能)成立问题，方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.14．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的极值；(3)证明：当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.【答案】(1)(2)极小值为，无极大值；(3)证明过程见解析【分析】（1）求导，得到，并得到，从而写出曲线的切线方程；（2）求导后得到时，，当时，，从而得到函数单调性，求出的极小值为，无极大值；（3）令，求出定义域和导数，对导函数变形得到，令，得到其单调性，结合零点存在性定理得到，即，此时取得极小值，从而得到当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.【详解】（1），，则，故曲线在点处的切线方程为：，即；（2），当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，，故的极小值为，无极大值；（3）令，定义域为，，其中，令，则在上恒成立，在上单调递增，因为，，由零点存在性定理可知：，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，当时，，即，此时取得极小值，，因为，所以，故，当时，，此时在上，，则曲线：与曲线：无交点，当时，，此时，有且仅有一个，使得，当且时，都有，即，故当时，曲线：与曲线：存在一个交点，故当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.15．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)最大值是1，最小值是【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）先求得在区间上的单调区间，进而求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（1），∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即．（2），令，解得或，又，∴当变化时，，的变化情况如下表所示：100+1单调递减单调递增1∴在区间上的最大值是1，最小值是．16．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知函数.(1)判断0是否为的极小值点，并说明理由；