人教版五年级数学上册【课本】5年级第01讲-整除问题初步

第一讲整除问题初步漫画修改意见：第三格中，“车牌号是2漫画修改意见：第三格中，“车牌号是2、3、4、5、6各一个”改成“车牌号是1、2、4、5、6各一个”。从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．整除的定义如果整数a除以整数b（），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作．如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．整除的一些基本性质：尾数判断法能被2，5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．能被4，25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．能被8，125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．数字求和法能被3，9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．奇偶位求差法能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．

判断下面11个数的整除性：

23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407

（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？

（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？

（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？

（4）哪些数能被11整除？

【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，那它们的和与差也都能被a整除．是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？

【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．在的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除．

上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．

牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？

【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到，于是应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？四位数能被36整除，那么这个四位数可能是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如“”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？

【分析】要被8整除，说明号码的后三位是8的倍数．想一下，这样的三位数是唯一的吗？七位数能被44整除，那么这个七位数是多少？

有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？

【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．其实在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4，只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了．课堂内外

作业下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289．其中能被9整除的有哪些？有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有哪些？是一个四位数．王老师说：“