不等式的解法（教师版）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——不等式的解法（教师版）不等式的解法

一，基础知识

①穿针引线法（穿根法）②一元一次不等式

?b??,????时解集为?a一元一次不等式ax>b解的探讨：对ax>b形式的不等式，当a>0

b????,??a??。时解集为当

当a<0a=0且b<0时解集为R当a=0且b≥0时，解集为?

③一元二次不等式

④分式不等式

f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0;?f(x)g(x)?0?0??g(x)?g(x)?0f(x)⑤无理不等式

f(x)??f(x)?0????定义域g(x)??g(x)?0???f(x)?g(x)○1

?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?2?f(x)?[g(x)]○2

?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?2?f(x)?[g(x)]?f(x)?0??g(x)?0○3

⑥绝对值不等式

○1应用分类探讨思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)??g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)

⑦对数指数不等式

指数不等式：转化为代数不等式

aaf(x)f(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb

对数不等式：转化为代数不等式

loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)?loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?⑧含参不等式

1.已知参数范围求不等式的解集；

2.满足不等式的解集的参数的取值范围。（存在和恒成立的区别）

二、典型例题

题型一（穿根法）

例1解不等式：（1）2x3?x2?15x?0；（2）(x?4)(x?5)2(2?x)3?0．

解：（1）原不等式可化为x(2x?5)(x?3)?0把方程x(2x?5)(x?3)?0的三个根x1?0,x2??52,x3?3顺次标上数轴．然后从右

上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．

∴原不等式解集为?x???5??x?0或x?3?2?（2）原不等式等价于

(x?4)(x?5)(x?2)?0?x??5?x?5?0????(x?4)(x?2)?0??x??4或x?223∴原不等式解集为

?xx??5或?5?x??4或x?2?

题型二（一元一次不等式）例2

已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为

(??,?13)，求关于x的不

等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集。

题型三（一元二次不等式）

例3.已知不等式?x2?2x?3?0的解集为A，不等式x2?x?6?0的解集B，不等式x2?ax?b?0的解集是A?B,那么a?b等于（）

变式：函数y??x?3x?4xx2的定义域为_____________________

?1?例4已知关于

的不等式ax2?bx?c?0的解集是?xx??2或x???，求

?ax2?bx?c?0的解集。

变式：已知不等式ax2?bx?c?0的解集为(?,?),且0????，cx2?bx?a?0的解集。

例5解关于x的不等式x2?(a?a2)x?a3?0．

解：原不等式可化为(x?a)(x?a2)?0．(1)当a?a2（即a?1或a?0）时，不等式的解集为：

?xx?a或x?a2?；

(2)当a?a2（即0?a?1）时，不等式的解集为：

?xx?a2或x?a?；

2?求不等式

(3)当a?a2（即a?0或1）时，不等式的解集为：

?x变式：解关于x的不等式ax2

x?R且x?a?．

?(a?1)x?1?0．

例6，是否存在实数m，使不等式

x?8x?202?m2?1?x?2?m?1?x?12?0对于一切实数x恒

成立？假如存在，求出m的取值范围；假如不存在，请说明理由

2练题一（1）对任意x?[?1,1]，函数f(x)?x?(a?4)x?4?2a的值恒大于零，

求a的取值范围；

2（2）对任意a?[?1,1]，函数f(x)?x?(a?4)x?4?2a的值恒大于零，

求x的取值范围。

题二是否存在实数m，使不等式

x?8x?202对于一切实数x恒成?0?m22?1?x?2?m?1?x?12立？假如存在，求出m的取值范围；假如不存在，请说明理由

题三不等式?a-2?x?2(a-2)x-4?0对于x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A.(-∞,2]B.(-∞，-2)C.(-2,2)D.(-2,2]

题型三(分式不等式)例7解不等式

x?6x?512?4x?x22?0．

解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：

22??,?(x?1)(x?5)?0,?x?6x?5?0?x?6x?5?0,或????22??12?4x?x?012?4x?x?0?(x?2)(x?6)?0;??或??(x?1)(x?5)?0,?(x?2)(x?6)?0;

?1?x?5,?x?1,或x?5,?1?x?5,或x??2或???；x??2,或x?6???2?x?6或x?6．

∴原不等式解集是{xx??2，或1?解法二：原不等式化为

x?5，或x?6}．

(x?1)(x?5)(x?2)(x?6)?0．

画数轴，找因式根，分区间，定符号．

(x?1)(x?5)(x?2)(x?6)符号

∴原不等式解集是{xx??2，或1?练习题解不等式