2021届高三5月模拟数学试题

绝密★启用前8.已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且AABC是边长

上海市崇明中学2021届高三5月模拟数为6的等边三角形，则球面面积为.

学试题9.已知直线版+>-2=0与单位圆V+y2=i交于A5两点，设射线OAOB的对应

的角是尸，则cosa+cos/7=.

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、

10.若函数/。)=2四一〃|工|+1-2(工wR)有唯一零点，则实数a的值为

请将答案正确填写在答题卡上

一、填空题

11.定义乩=4+2/+:+2"''为数列｛4｝的均值，已知数列也｝的均值

1.椭圆三+二=1长轴长为.n

925

H„=2"：记数歹U｛。-kn｝的前"项和是S"，若S”<邑对于任意的正整数n恒成立，则

2.已知哥函数y=/(x)的图像过点［2,弓)，则〃4)=.

实数k的取值范围是.

12.数列｛a/满足44+14+2=4,+4用+4+2(°，4川#N*)，且q=1,，=2.

3.在四边形A8C£>中，AC=(3,-l),BD=(2,/n),AClBD,则该四边形的面积

是.若。“=Asin(@?+e)+c(0>O,O<s<T),则实数A=.

二、单选题

4.已知复数2=0+>/五(aeR，i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,

13.“sinx=0”是"cosx=l”的()

且国则复数

=2,z=.A.充要条件B.充分非必要条件

5.由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为.14.下列命题中与“/(X)为R上非奇非偶函数”等价的命题是()

6.如图，函数段)的图象为折线ACB,则不等式於以ogj(x+l)的解集是.

A.对任意xeR，有/(-x)r/(x)或y(-x)H-/(x)

B.存在XocR,有/(-7,)*//%)且/(一再)二一/(七)

C.存在与eR,有/(-%)中/(玉))或/(-%)工-/(%)

(-1)"1<«<2019D.存在有且一七)手一/,(迎)

7.7知数列｛《,｝的通项公式4=,z।xH-2019前〃顶和为S〃，贝叫吧S,值

In>2020

15.若氏|。|>|勿且lim"""，则。的取值范围为()

n-c”n-knTic"

是•

A.或av-lB.—1<tz<1热互补工作，从此，公司每年的燃料费为二二k八、(%为常数)万元，记y为该公

20x+100

C.a>l或T<〃<0D."-1或Ovtzvl

司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.

16.已知数列｛《J满足/+i=M-3/+4,q=3,则下列选项错误的是()

(1)求我的值，并建立y关于工的函数关系式；

A.数列｛〃〃｝单调递增B.数列｛《,｝无界(2)求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.

20.已知椭圆「：_二+t=1,过点。(一1,0)的直线/：>=与椭圆「交

于M、N两点(M点在N点的上方)，与)，轴交于点E.

三、解答题(1)当〃2=1且左=1时，求点M、N的坐标；

17.直角坐标系工Oy中，锐角a的终边与单位圆的交点为P,将。尸绕。逆时针能转

(2)当机=2时，设丽=4两\丽=〃两，求证：义+，为定值，并求

到OQ,使/尸OQ=a,其中。是与单位圆的交点，设。的坐标为C，y).出该值；

1Q

(1)若P的横坐标为3,求上：(3)当团=3时，点。和点尸关于坐标原点对称，若AMNf的内切圆面积等于一不，

49

5x

求直线/的方程.

(2)求百太+)，的取值范围.

21.若数列｛a,,｝,｛始满足|可*|一凡|=。(〃€N*)，则称也｝为数列｛q｝的“偏差数

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，尸C_L底面A5CDA8CD是直角梯形，

列”.

ADLDC、AB//DC,AB=2AD=2CD=2,点E足依的中点.

(1)若｛a｝为常数列，且为｛4｝的“偏差数列”,试判断｛4｝是否一定为等差数列，并说

明理由；

(2)若无穷数列｛%｝是各项均为正整数的等比数列，且%-%=6,｛〃,｝为数列｛见｝

1111、

的“偏差数列"，求hm(z1+…+1)的值；

…”耳仇&bn

(3)设=6-(：)向，｛勿｝为数列｛为｝的“偏差数列”,4=1.%“4且生“V«2„+i

(1)证明：直线8C_L平面PAC；

若同4M对任意〃仁M恒成立，求实数M的最小值.

(2)者直线心与平面尸AC斤城角的正弦值为*3,求三棱锥P—ACE的体积.

3

19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为1(%>0)

(单位：平方米)可用15年的太阳能板，其工本费为;(单位：万元)，并与燃料供

2

参考答案

1.10

根据椭圆的方程，求得4的值，即可求得其长轴长，得到答案.

解：

22

由题意，椭圆工+二=1,可得a=52=3,

925

所以椭圆的长轴长为2a=10.

故答案为：10.

2.1

2

利用待定系数法求出某函数的解析式，再代入求值即可；

解：

解:设/函数/(%)=/,

••・慕函数y=/(x)的图象过点(2,孝，

.72於

2

解得Ct——，

2

f(x)=x2'

.•J(4)=44=；,

故答案为：

点评：

本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.

3.10

根据向量的数量积的运算，求得加的值，结合面积公式，即可求解.

解：

由题意，向量配=(3,—1),而=(2,加)，/_L而，

因为ACJ.B。，可得AC-3£>=3x2+(-l)7〃=°，解得帆=6，

所以四边形的面积为:“H叫=；/+㈠产•6+62=10.

故答案为：10.

4.-1+V3Z

根据国=2得到忖=，？+3=2,解方程即可.

解：

因为z=a+J^i，所以d=>//+3=2,解得a=±l.

又因为z=a+gi在复平面内对应的点位于第二象限，所以a=—1.

所以z=-1+>/3z.

故答案为：-1+V3Z

1

5.一

3

求出每市分配两名医生的方法数，再求出甲、乙两人恰好分配在同一个城市的方法数后可得

概率.

解：

四名医生平均分配到两市的方法为C；=6,甲、乙两人恰好分配在同一个城市的方法数是2,

所求概率为p=2=J.

63

故答案为：­.

点评：

本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数.平均分组时要注意组间有无区别.

6.W-l<x<l}

先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.

解：

令g(x)=y=log2(x+l),作出函数g(x)的图象如图.

|x+y=2,_[x=l,

由彳得,

7=log2(x+l),ly=l.

工结合图象知不等式f(X)>10g2(X+1)的解集为{X|-1<X<1}.

点评：

本题考查函数图象应用，考查基本分析求解能力.

7.0

利用分组求和，再求极限.

解：

'、

++=—

limSn=H----1-a20{9）+（a2o2o^2021,,J—=0，

1----

I2；

故答案为：0

8.64万

设球的球心为O,半径为R,取AB的中点。，连接。，根据题意得△A6C的外心。'，

在线段C。上，分析得2+QW=R2,求出R即得解.

12,

解：

设球的球心为O,半径为R,取AB的中点。，连接C。，

根据题意得△A6c的外心。'，在线段CD上，

由△MC是边长为6的等边三角形可得CO=3百，O'C=[CO=26，连接OC,00,

如图根据球的性质可得OC=E,O0_L平面ABC.

即0。，=0，所以OOJ_（7C,

2

在Rt/XOO'C中，O'O2+O'C2=OC2

即+（2超）2=/?2,解得R=4或R=4（含去），

所以该球的表面积S=4万R?=64万，

故答案为：64%

点评:

方法点睛：求解球的半径，一般通过解直角三角形完成.直角三角形的斜边是球的半径，另

外两条直角边，一边是球心到圆心的距离，一边是多边形外接圆的半径.

6

9.

5

3x+y-2=0

设4（4,%）,3（工2，%），由《22,得到玉+工2,再根据三角函数的定义由

x+y=1

cosa+cos4=xt+x2求解.

解：

如图所示：

设4（石,巧）,3（孙必），

3x+y—2-0

由〈2“2,，消去了得10/一i2x+3=0,

x+y=1

6

则xt+x2=~,

根据三角函数的定义得：cosa+cos^=xl+x2,

„„八6

即cosa+cos/?=—.

故答案为：—

10.-1

根据偶函数的性质，可得/(0)=0,解得。=±1,再对。的取值分两种情况讨论得解.

解：

因为XGR,Xf(-x)=-a\-x\+a2-2=/(x),所以函数为偶函数.

因为函数有一个零点,根据偶函数的性质，可得/(0)=0,所以2°+/—2=()，解得a=±L

当。=1,此时/(x)=23一|x|—1,知/(g)⑵<0,f(x)有零点(x=l),不符合题意：

当。=一1,此时/■(尤)=2叫|。-1在(0,2)上单调递增,/(x)>/(0)=0,根据偶函数

对称性，符合题意；所以。=一1.

故答案为：-1

点评：

关键点睛：解答本题的关键如何检验。=1和。=-1,用零点存在性定理检验。=1,利用函

数的单调性检验a=—1.

1+|

因为4+24+…+2"-bn=n-2"因+2匕2+…+2心如=(〃-1)•2"，从而求出

2=2(〃+1),可得数列也-kn｝为等差数列，记数列也一如｝为｛%｝，从而将S„<S5对任意

的n(neN*)恒成立化为20,。6<。,即可求得答案.

解：

・・H=J+2.+…+2〃也_2，出

〃n

・•・4+22+・・・+2〃7勿=/?2川，

故々+2d+…+2"-2%二(九—1)•2〃(〃22),

n+I

•••2-'bn=n-2"-(n-l)-2"=(〃+])•2",

则%=2(〃+l)，对4也成立,

hn=2(〃+1),

则。“一面=(2—A)〃+2,

.・.数歹为等差数歹U,

记数列｛々一如｝为｛%｝.

故S,,<55对任意的〃(〃eN*)恒成立，可化为:c5>0,c6<0；

‘5(2-2)+220712

解得,彳4z4一,

6(2—2)+240'35

712

故答案为:[§,二].

点评：

本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性，掌握判断数列前几项和最大值的

方法是解题关键，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

2乃

由数列｛%｝的递推关系可得数列｛%｝是以3为周期的数列，从而可得啰=彳，再由

1=Asin[g+e)+c,2=Asingx2+°)+c,3=Asin(gx3+“+c可求得9,

继而可得实数A的值.

解:

解：数歹II｛可｝满足ana„+lan+2=a,+«n+1+all+2(a//产1,〃eN*)，且4=1,%=2.

令〃=1,得：2a3=1+2+%,解得%=3.

令〃=2,得：6〃4=2+3+。4，解得4=1.

令〃=3,得：3a5=1+3+解得%=2.

可得“〃+3=96=1,a?=2,“3=3.

;an=Asin(G/?+0)+c(G>O,Ov0<;r),

24八，“匚2兀

——=3,解得co=——

co3

2乃

a=Asinn+(p+c(0<e<»),

nT

=^+(p\+c,2=Asin与x2+“+c,3=Asin浮+夕+c.

/.1=Asin

2乃

化为：l=Asin+9卜c,2=_Asin[?+e)+c,3=Asin°+c.

Asin^+Asinly+^l=1,Asin夕-Asin>=2.

即日sin0+Acos°=1①

当sin。—乎Acose=2②

①+②得：3Asin0=3,即Asin°=l；

①-②得：百Acos°=-1,即Acos。=一亭；

联立解得：tan(p-->/3,。<0<)，

3

.F冷

3

故答案为：巫

3

点评:

本题考查了数列递推关系、考查了数列与三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力,

属于难题.

13.C

根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

解：

因为sinx=O,根据三角函数的基本关系式，可得cosx=±l,

反之：若cosx=l,根据三角函数的基本关系式，可得sinx=O,

所以“sinx=0”是“cosx=1”的必要不充分条件.

故选：C.

14.D

根据奇函数与偶函数的定义，集合选项进行判定，即可求解.

解：

根据奇函数与偶函数的定义：对于任意xeR,/(—x)=/(x),函数y=/(x)为偶函数,

对于任意xeR,函数y=/(x)为奇函数，

所以，若存在使得了(一/)。/(%)，函数“X)不是奇函数，

存在使得〃一天)。—/(毛)，函数/(%)不是偶函数，

由此可得，函数y=/(x),xeR为非奇非偶函数，

则存在不々€尺，有/(一石)且/(一9)。一/(々).

故选：D.

15.D

n~'+h"a"+'+b"

根据数列极限运算法则化简lim-La°>lim,求出关于。的不等式，即可求解.

"—8a""廿a"

解：

n+]n

ra'-+夕ra+b

Iim------n---->hm-------n----化为

28aa

limd+4”)>lim(a+(-)n),

"T8QQnea

....,[./久〃八1(a—1)3+1)八

•「Ia|>|bI,/.lim(—)=0,「.—>a,---------------<0,

-gaaa

・•.av-l或Ocavl.

故选:D

点评：

本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.

16.D

111

AB选项，利用作差法判断；C选项由条件化简得到一7=----------------^求和判断；D

为-1an-2all+i-2

选项结合数列的单调性，利用具体项的值判断.

解：

an+l-an=4—2%+4=(a,一炉+3>0,所以数列｛«„｝单调递增，«„>3恒成立,

故A,B正确；

a

«n+i=n-3a“+4=an+i-2=a；,-3a“+2=(凡一2)(a“-1)=—!—=------fy

a“+「2(%-2)(凡一

所以

1111

所以lim------------F•••H--------=lim=lim—=1,

H—>4-Xn—>+<x>

an-、4—2a“+]—2,+004-2

故C正确:

2

因为4+1=-3a“+4,q=3,所以4=4,4=8,4=44,a5-44-44x3+4>101,

结合数列｛4｝单调递增，所以400Al01,

故D错误，

故选：D.

17.(1)-y；(2)卜62].

34

(1)先求出cosa=g,sina=g,再求出sin2a,cos2。即得解；

(2)先求出Gx+y=2sinf2a+^j,再利用三角函数的图象和性质求解.

解:

(1)♦.•2的横坐标为5，.'.以k==《,5111二=1.

c2.29167.4324

/.cos2a=cos'a-sin~a=---------=一■—,sin2na=2sinacosa=2x—x—=■—

2525255525

y_sin2a_24

xcos2a7

(2)5+yGcos2a+sin2a=2sinf2cr+yl,aef0,^j,

2

「・2a£(0,万),2a+(£7141

G1(2。+讣卜62].

/.sin26z+—G------，］2sin

I4)2

点评:

方法点睛：求三角函数/(x)=Asin(的+。),%€31)的取值范围，一般根据x的范围，

利用不等式的性质结合三角函数的图象逐步求出函数的取值范围.

18.(1)证明见解析；(2)

3

(1)由PC_L平而ABC。，证得PCLBC,再由AC2+BC2=AB2,得到AC_L8C，

结合线面垂直的判定定理，即可证得8C_L平面PAC；

(2)由(1)得到NBPC为依与平面PAC所成角，在直角△BPC中，可求得PB=娓,

得到PC=2,结合“A，即可求解・

Vr-ZiCzS=~2VrP-/ICJD

解：

(1)因为PC,平而ABC。，BCu平面ABCZ)，所以PCJL3C,

又由A3=2,A。=CO=1,A。，，且43co是直角梯形,

可得AC=BC=0，AC2+BC2AB\所以ACLBC，

又因为PCcAC=C,且PCACu平面尸AC,所以BC_L平面PAC.

(2)由(1)知平面PAC,所以N8PC即为直线网与平面PAC所成角,

在直角△BPC中，可得sin/BPC=&W=«Z=走，所以PB=C，则PC=2,

PBPB3

所以Vp_ACE=5%-ACB==

1QQQv-

19.(1)氏=2400,y=----+--；(2)1=55时，y=57.5

x+52min

k

(1)根据题意，先取x=0,得而=24,求出&=2400,从而可得出结果;

(2)由旷=幽+£=幽+二9一9,根据基本不等式，即可求出结果.

x+52x+522

解：

k

(1)因为公司每年的燃料费为:—―(左为常数)万元，

20x4-100

取x=0,得±=24,则％=2400,

100

所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：

2400x1800x八

y=15x---------+—=-----+—，x>0；

20x+1002x+52

1800x1800x+51800

(2)因为y=----+—----+>2J------=57.5,

x+52x+5---22V22

1onnr।c

当且仅当亏’即>55时取等号.

所以安装太阳能板的面积为55时，y取得最小值为57.5万元.

点评：

本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题

型.

41

20.(1)M(0,1),N(—一,一一)；(2)4+〃为定值3(3)/：y=±(x+l)

33

(1)代值联立方程组.解得即可求出，

(2)联立方程,利用韦达定理，以及向量的知识可得从而4+〃=^+怖,化简整

理即可证明，

(3)假设存在直线/：产k(x+1)满足题意，则尸的内切圆的半径为逆，根据韦

-7

达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出发的值

解:

X22X二一

---FV=1x=0

解：⑴当机=k=1时，联立，2），解之得：，,或，

[y=i

.y=x+i）'二一

„41

即n”(0,1),N(——，——)；

33

⑵当m=2时联立＜32消去y得：（3公+2）/+6公%+3〃-6=0,

?=小+1)

6k2

xi+x2-3公+2

设M(xi,yi),N(X2,”)，则＜

3-一6

中23A2+2

由两=4方访，丽=〃丽，且点E的横坐标为0,

得%=力(百+1)、x2=//(x2+l).从而％+〃=+

2+//=2——--I---j=2—玉+工2+2

、为+1x2+1JX}X2+X]+X2+1

----7?----^2A

23-+2_24_3

3女2一66--6+2

3k2-F2~3k2-b2+l

丸+〃为定值3；

（3）当〃?=3时，椭圆「：?+匕=1,假设存在直线/:y=攵（％+1）满足题意，则4MNF

的内切圆的半径为半，又。（一1,0）、E（1,O）为椭圆「的焦点，故△MNB的周长为8,

什。1。301272

从而S&MNF=万*8X----，

消去V,得（4左2+3）/+8女2%+4公—12=0,设M（x，yJ、N（x2,y2）,

则SAJWNF=20p||yi—丁2卜|、—％卜伙（%—工2）|.

故k(X|一%2)|=12.，即左2[(演+巧)2一4不巧=~^'

2

2

8/I-4x4k-12288

由(2),得k一，

4女2+34^+349

化简，得17公+/一18=0,解得％=±1，

故存在直线/:y=±(x+1)满足题意.

点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计

算公式、考查了推理能