2021-2022学年高二人教A版数学选修1-1学案：第三章3 .4 生活中的优化问题举例

3.4生活中的优化问题举例

；'学

i习1.理解生活中的优化问题.(数学抽象)

i目2.掌握用导数解决生活中的优化问题的方法与步骤.(数学运算、逻辑推理、数学建模)

'、、标

快能力形成•合作探究《

类型一平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)

【典例】1.如图所示，半径为2的。M切直线AB于点O,射线OC

从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB,旋转过程中，OC交。M于

P,记NPMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是如

图中的()

选A.由所给的图示可得，当X<71时，弓形PnO的面积为S=f(x)=

S扇形PnO-SAMPO=2x-2sinx,其导数为f(x)=2-2cosx,由余弦函

数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可

以排除B,C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加

得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0,由此可以排

除D.

2.如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD

的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底C,D的端点在圆周上，

则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为.

连接OC,过C作CE±OB,垂足为E,如图：

设OE=x,CE=y,贝!]X?+y?=4,

所以等腰梯形ABCD的面积S=；(2x+4)y=(x+2)y=(x+

2)^4-x2(x+2)3(2-x),0<x<2,

令h(x)=(x+2)3(2-x),0<x<2,

h〈x)=3(x+2/(2-x)-(x+2)3

=4(1-x)(x+2)2,xG(0,1),h\x)>0,h(x)单调递增,xe(l,2)8(x)<0,

h(x)单调递减，

所以x=1时，h(x)取得极大值，也是最大值，

h（X）max=Ml）=27,即S的最大值为3小.

答案：3小

3.如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，

一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用

的材料最省时，堆料场的长和宽分别为.

要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为X米，则

si?-si?SI?

长为丁米，因此新墙壁总长度L=2x+—（x>0），则U=2-qr,

XXX

令L'=0,得x=±16.

因为x>0,所以x=16.

当x>16时,L>0,L递增，

当0<x<16时,LV0,L递减,

所以当X=16时，Lmin=64,此时堆料场的长为32米.

答案：32米，16米

【思路导引】建立函数模型，应用导数求最值.

解题策略

1.利用导数解决优化问题的基本思路

（优化问题）建立数学模型.（用函数表中数学问题）

，加❷解决数学模型

（优化间嬴的答案）-----—~（用导数解】数学问题）

2.关于平面图形中的最值问题

平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要

研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，

求极值，从而求最值.

«跟踪训练》»

如图是一块地皮OAB，其中OA,AB是直线段，曲线段OB是抛物

线的一部分，且点0是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线

的对称轴.经测量，OA=2km,AB=啦km,ZOAB=/现要从

这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪其中点C在曲线段OB上,

点D,E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD=akm,矩

形草坪CDEF的面积为f(a)km2.

⑴求f(a),并写出定义域.

⑵当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？

⑴以O为原点，OA边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐

标系过点B作BG_LOA于点G在直角△ABG中AB=啦,ZOAB

=1，所以AG=BG=1,又因为OA=2,所以OG=1,则B(1,1),

设抛物线OCB的标准方程为y2=2px,代入点B的坐标，得p=；,

所以抛物线的方程为y2=x.因为CD=a,所以AE=EF=a，则DE

=2-a-a2,

所以f(a)=a(2-a-a2)=-a3-a2+2a,定义域为(0,1).

巾-1巾-]

(2)f(a)=-3a?-2a+2,令f(a)=0,彳导a=--.当0<a<-~

时，网a)>0,f(a)在|o,与[|上单调递增；

y[7-1(S-1\

当七一<a<l时，f(a)<0,f(a)在1上单调递减.所以

JI3J

市-1

当a二七一时，f(a)取得极大值，也是最大值.类型二立体几何

中的最值问题(数学运算、直观想象)

【典例】如图所示，正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一

个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱推外接球的表面积

为()

52K1697T3387r

A.o-B.-TTC-~25~口•

选D.由题意，正方形ABCD的边长为2,可得对角线的一半为吸，

折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为a,高为h,可得：1?=2-ga,

（0<a（啦）.

正四棱锥体积V=|a2-h最大时，即V=；N2a4-包

令y=2a4-^/2a5,

Q

则y'=8a3-5啦a”，令y，=0,可得a=其历,

即当2=表时体积取得最大值；

所以h=邛.正四棱锥底面正方形外接圆r=|.

正四棱锥外接球的半径R,可得当-R12+82=R2,解得：R2=

169

250•

正四棱锥外接球的表面积S=47TR2=翟兀

JL4J

解题策略

关于立体几何中的最值问题

⑴立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此

基础上解决与实际问题相关的问题.

⑵解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已

知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行

拆分或组合，以便简化求值过程.

＜＜跟踪训练＞»

如图所示的某种容器的体积为90兀cm3,它是由圆锥和圆柱两部分组

合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为rem.圆锥的高为％cm,母

线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2cm.已知圆柱底面造价为2a

元/cn?,圆柱侧面造价为a元/cm?,圆锥侧面造价为虚a元/cn?.

(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域.

⑵当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少？

(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°,

所以hi=r,

圆锥的体积为Vi=|兀Fhira3,

2

圆柱的体积为V2=7rrh2.

因为V1+V2=90兀，

所以V2=7tr2h2=90K-nr3,

270-r390「

所以h2="^=7--

因为Vi=加＜90兀,所以r＜3？/10.

因此0<r<3洞.

所以112=患-1，定义域为"［0<!<3跖5}.

⑵圆锥的侧］面积S1=口•也r=727tr2,

圆柱的侧面积S2=2几山2,底面积S3=7rr2.

容器总造价为y=/aSi+aS?+2as3=2口2a+2兀山2a+2m2a=2na(r2

+山2+於)=2兀42r2+1'(患-t二号里(於+蔺.令f(r)=於+半，贝［J

54

f(r)=2r--p.

令F(r)=0,得r=3.

当0<r<3时，f(r)<0,f(r)在(0,3)上为单调递减的；当3<r<3^10时,

f(r)>0,f(r)在(3,3洞)上为单调递增的.因此，当且仅当r=3时,

f(r)有最小值，即y有最小值，为9071a元.

所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3cm.

类型三实际生活中的最值问题(数学建模)

角度1用料最省、费用最少问题

【典例】1.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48n?,

高为

3m,如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12

元，则箱子的最低总造价为()

A.900元B.840元

C.818元D.816元

2.某公司租地建仓库，每月土地占用费yi（万元）与仓库到车站的距

离成反比，而每月库存货物的运费y2（万元）与到车站的距离成正比，

如果在距离车站10千米处建仓库,yi和y2分别为2万元和8万元那

么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处.

【思路导引】结合导数进行求解.

1.选D.设箱底一边的长度为xm,箱子的总造价为/元，根据题意，

得

48J48）

/=15x-y+12x2l3x+~l

=240+72卜+引（x>0）,

I'=72（1-,令0解得x=^x=-4（舍去）,

当0<x<4时,1'<0；当x>4时">0.

故当x=4时，/取得最小值为816.

.设仓库与车站相距千米，依题意可设每月土地占用费

2xy.=7ZY,

每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离，K,k2

是比例系数，

k1

于是由2=而得ki=20；

4

由8=10k2得k2二弓.

所以两项费用之和为+竿（x>0）,

XJ

,204

y;-衣+5，

令y，=0,得*=5或*=-5（舍去）.

当0<x<5时，y，<0；

当x>5时,yz>0.

所以当x=5时，y取得极小值，也是最小值.

所以当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.

答案：5

变式探究

若本例1箱壁每平方米的造价为8元，则箱子的最低总造价为多

少？

设箱底一边的长度为xm,箱子的总造价为/元，根据题意，得/=

_48。工48）

15x—+8x213x+小

=240+48卜+受），/，=48（1-引,

令/，=0解得x=4或x=-4（舍去），

当o<x<4时,r<o；当x>4时,r>o.

故当x=4时，/取得最小值为624.

角度2利润最大问题

【典例】树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践

活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该

商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百

件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)=a+2(x-5)2，其中

x-2

2<x<5,a为常数.已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10

百件.

⑴求函数g(x)的解+析式.

⑵若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销

售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最

大.

【思路导引】(1)由题意将(3,10)代入函数解+析式，建立方程，即可

求出g(x)的解+析式.

⑵商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量x销售该商品

的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再

用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出

最大值对应的x值.

(1)由题意，1°=t+2(3-5/，

解得a=2,

2

故g(x)=-+2(x-5)2(2<x<5).

x-2

⑵商场每日销售该商品所获得的利润为

y=h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2)(2<x<5),y'=4(x-5)(x-2)

+2(x-5)2=6(x-3)(x-5).列表得x,y,y，的变化情况：

X(2,3)3(3,5)

-

y'+0

y单调递增极大值单调递减

由表可得，x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点，也是最大值

点.

解题策略

解决优化问题时应注意的问题

⑴列函数解+析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定

义域.

⑵一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数在给定区

间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值

即可，不必再与端点处的函数值进行比较.

题组训练

1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量

是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)

11

-

3+a2+-

8X6X2X(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单

位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润

最大，每年需种植莲藕()

A.6万斤B.8万斤C.3万斤D.5万斤

选A.由题意，设销售的利润为g(x),

/曰/、1,9111

得g(x)=-g+ax2+2x-1-2x,

1Q

即g(x)=-§x3+j^ax2-1,

95

当x=2时，g(2)=-1+aa-1=2,解得a=2,

19

故g(x)=-gx3+gx2-1,

39

则gr(x)=-gx2+^x

3

=-gx-(x-6),

可得函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以x=6

时，利润最大.

2.做一个圆柱形锅炉，容积为V,两个底面的材料每单位面积的价

格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅

炉的底面直径与高的比为()

22

人aabb

A.rB.~rC.-D.一

bbaa

选A.设锅炉的高h与底面直径d的比为

,h.jrd2,Tid2,,Jr,,,

k=［，由V=丁h=丁-kd=akd3,

4V3Mvk2

可得d=AK，h=kd=\hr

设造价为y,则y=2冗｛雪2

-a+7rdh-b

jra3/16V23/16V2,

•k*+兀b"

一2'7l2兀2

5

16V22'

则V=詈♦'k*+nb-

九2

i-1a

；k3,令y，=0,解得k=1,可得此时y取得最小值.故当造价最

低时锅炉的高与底面直径的比为£.

3.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙

需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米

厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单

、k

位万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0<x<10),

3x+5

若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费

用G(x)与20年的能源消耗费用之和.

⑴求k的值及f(x)的表达式.

⑵隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.

k

⑴由题设知膈热层厚度为xcm每年能源消耗费用为C(x)=。=

3x+5

40

再由C(0)=8,得k=40,因止匕C(x)=-------.

3x+5

而建造费用为Ci(x)=6x,

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)

40800

+Ci(x)=20x-------+6x=-------+6x(0<x<10).

3x+53x+5

2400

令改)=0,即

_25

解得x=5或x=-y(舍去).

当0<x<5时,f(x)<0,

当5<x<10时,f(x)>0,

故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6X5+黑=70.

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.

馋学情诊断•课堂测评《

1.将边长为1m的正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两

(梯形的周长>____________

块，其中一块是梯形，记y=田也的石m，则y的取小值为()

梯形的面积

16^332^/310必C196s

A.3a-3c-9u-15

选B.如图：设^ADE的边长为x,

则梯形周长为：3-x,△ADE的面积为:乎xz,

梯形面积为：田(1-x2),

贝

-

4

v3

当xe

xe

当

/D

h2

4r--

时

.m-X317

ymV3

1--9

60-x

2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2-

2

(0<x<60),则当箱子的容积最大时，x的值为()

A.30B.40C.50D.60

13