2021-2022学年高一数学同步讲义第03讲 对数（教师版）

第03讲对数

0目标导航

课程标准课标解读

1.理解对数的概念、掌握对数的性质.

掌握指数式与对数式的互化，能进行简单

通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件，

的对数运算.

熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则

2.理解对数的运算性质和换底公式，能熟

练运用对数的运算性质进行化简求值.进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合

问题.

3.能利用对数的运算性质进行解方程及与

指、嘉函数的综合应用问题的解决.

册’知识精讲

知识点01对数

i.对数的概念

(1)对数：一般地，如果"=N(a>0,且awl),那么数尤叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,

其中“叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log“'N记为IgN.

(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底数的对数，以e为底的对数称为自然

对数，并把logeN记为InN.

2.对数与指数的关系

当a>0,且“声1时，=Nob=log”N.即

a>0

ab=Nb=io&N

N>0T

3.对数的性质

根据对数的概念，知对数log,,N(a>0,且a*1)具有以下性质：

(1)负数和零没有对数，即N>0；

(2)1的对数等于0,BPlogal=0；

(3)底数的对数等于1,即log/=l.

【微点拨】指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的基作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幕，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

不

蜜,知识点02对数的运算

1.基本性质

若a〉0,且aHl,N>0,贝!]

(1)*》=N；

b

(2)log(1a=b.

2.对数的运算性质

如果a〉0,且aHl,">0,N〉0,那么：

(1)\ogti(M-N)-log„/W+log“N；

⑵log噂=log„MTog.N;

H

(3)logoAf=nlogaA/(neR).

3.对数的运算法则

如果a>0,且分1,M>0,N>0,那么：

①=1O&M+log“N；

M

②logaR=loggN；

③10gM=(n£R).

三、换底公式及公式的推广

1.对数的换底公式

IngN

10gz,N=-^^(b>0,且bwl;c>0,且c#l;N>0).

log加

【注】速记口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.

2.公式的推广

（1）lognb=--—（其中4>0且awl；b>0且bwl）；

logf

（2）logbn=log^b（其中a>0且awl；b>0）；

m

（3）log„bm=—logb（其中。>0且QW1；/?>0）；

"ntt

（4）log1b=-\ogab（其中a>0且4W1；b>0）；

a

（5）logwb-log^c-logcd=log6/d（其中〃，b,c均大于0且不等于1,rf>0）.

【微点拨】①换底公式常利用常用对数、自然对数表示

②推导结论logv“=21og,vM.

a

【即学即练1】已知108.=3,贝ija的值为（）

A.1B.6C.9D.27

【答案】D

【分析】将对数式化成指数式即可求解.

【详解】由log3a=3可得“=33=27,故选：D.

【即学即练2］已知4"=2，lgx=a,则》=（）

A.B.710C.10D.1

【答案】B

【分析】依题意首先求出。，再根据指数与对数的关系计算可得；

【详解】因为4"=2，lgx=a,所以a=J,

因为lgx=a=g,则尤=加.

故选：B.

【即学即练3】对于“>0,且W1,下列说法中，正确的是（）

①若M=N,则log“M=logaN；

②若log”例=10gaN,则M=N;

③若log„A/2=log„?72,则M=N；

④若M=N,则logJWMogJV2.

A.①③B.②④

C.②D.①②③④

【答案】C

【分析】

根据对数的基本概念对各个说法逐一判断即可.

【详解】

对于①，当河=怅0时，log〃M,logjv都没有意义，故不成立；

对于②，log“M=log〃M则必有M>0,N>0,M=N,故正确；

对于③，当M,N互为相反数且不为0EI寸，也有logJVfTogJV2,但此时故错误:

对于④，当M=N=0时，bgaM2,loga/V2都没有意义，故错误.

综上，只有②正确.

故选:C

log,x,x>3

【即学即练4】已知函数/*)=15,则f(7(81))=()

2',x<3

B.-log34D.log,4

【答案】C

【分析】

根据分段函数解析式先求出/(81),再求/(f(81))即可得解.

【详解】

log]x,x>3

因函数/(x)=5，于是得f(81)=/(34)=log[34=log!

所以/(7(81))=〃-4)=27=%

16

故选：c

【即学即练5】已知方程8x+4=0的两根为a,h,则1。&a+1呜。=()

【答案】D

【分析】

根据韦达定理及对数的运算即可得到答案.

【详解】

..,方程》2-8》+4=0的两根为。，b.

二ab=4,

.,,..,,.log,42

..log8a+logsfe=Iog8«/?=log84=^^=-.

故选：D.

【即学即练6］若4"=25”=10,则,+，=()

ab

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，再利用换底公式及对数的运算性质计算可得;

【详解】

解:•.•4"=25"=10,

log4I0=a,log2510=/?,

―1+―1=---1--+----1--

ablog410log2510

=lg4+lg25

=lg(4x25)

=IglOO

=2.

故选：B

【即学即练7】(多选)下列选项中错误的是()

A.零和负数没有对数

B.任何一个指数式都可以化成对数式

C.以10为底的对数叫做自然对数

D.以e为底的对数叫做常用对数

【答案】BCD

【分析】

对于A：由对数的定义即可判断；

对于B：用对数的定义即可判断；

对于C：由常用对数的定义即可判断；

对于D：由自然对数的定义即可判断.

【详解】

对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；

对于B：只有符合“>0,旦awl,N,才有优=Nox=log,,N,故B错误;

对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；

对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.

故选：BCD.

【即学即练8】下列指数式与对数式互化正确的一组是()

A.10°=1与1g1=0B.27-=；与唾27；=-g

€\10839=2与/=3D.Iog55=l与51=5

【答案】ABD

【分析】

根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案.

【详解】

对于A,100=1olgl=0,A正确；

-1111

对于B,27'=_olog_=一，B正确；

3,33

对于C,Iog39=2o32=9,C不正确；

对于D,log55=l«5'=5,D正确.

故选：ABD.

【即学即练9】有以下四个结论，其中正确的有()

A.Ig(1g10)=0B.lg(Ine)=0

C.若e=Inx,贝!]x=e2D.In(lg1)=0

【答案】AB

【分析】

利用对数的概念逐个分析判断即可

【详解】

解：lg(lg10)=lg1=0,lg(lne)=lg1=0,所以A,B均正确;

C中若e=\nx,则x-ee,故C错误；

D中lgl=0,而In0没有意义，故D错误.

故选：AB

【点睛】

此题考查对数的概念的运用，属于基础题.

【即学即练10】下列运算错误的是()

A21og,10+log,0.25=2

55

8

B.log427-log258-log95=-

C.lg2+lg50=10

D・1。勖+5(2-6)-(1呜&『=-；

【答案】ABC

【分析】

根据对数的运算性质逐项运算检验，即可判断各选项是否运算错误.

【详解】

21og,10+log,0.25=log,(102x0.25)=log,52=-2,八错误:

对于A,

5555

晦27%82=繇翳翳3x39

对于B,J，B错误;

2x2x2O

对于c,lg2+lg50=lgl00=2,c错误:

对于D,log(2+扬(2-6)-(k)g2&)=T—(g)=—；'D正确•

故选ABC.

【点睛】

本题主要考查对数的运算法则的应用，意在考查学生的数学运算能力.

Q能力拓展

考法01

对数的概念

解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可.对数

的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系.

【典例1】在6=10&3加|）（3-2«）中，实数”的取值范围为.

]_223

【答案】

3,33,2

【分析】

根据对数的概念与性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】

由题意，要使式子匕=1。耳31）（3-2a）有意义，则满足<3〃-1",

.3-2。>0

解得或|<“<|,即实数”的取值范围为，,|卜（|,|）.

故答案为：段）

【即学即练11】在对数式log（z）（3-x）中，实数1的取值范围应该是（）

A.l<x<3B.x>l且/2

C.x>3D.l<r<3且#2

【答案】D

3—x>0

【解析】要使对数式log（i）（3-x）有意义，需<无一1>0,解得l<x<3且/2.

%—1丰1

【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数x—l需大于0且不等于1.

考法02

对数运算性质的应用

对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则

是：

（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式;

（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；

（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）.运算时要灵活运用对数的相关公式求解,

如log”a=l（a>0,且a。1）,logab♦log%a=1等.

【典例2】1.化简下列各式:

,1

(1)Mgl-lg25U100I2

(2)log225-log341og59

（3）；lg卷一gig%+lg

【答案】（1）-20；（2）8；（3）

【分析】

（1）先化简为1g士xlO,再计算得解；

100

（2）先化简为与gx罟x黑，再计算得解；

1g21g3lg5

（3）先化简为1g逑-Ig4+lg7出，再计算得解.

【详解】

原式=lg」-x10=-2x10=-20

(1)

100

»g4Ig9_21g521g221g3_

^-l|2Xlg3Xlg5-lg2lg3lg5-8-

原式=lg华-Ig4+lg7石=lg(；0x；x7不)=/

(3)

【点睛】

本题主要考查对数的运算和指数的运算，意在考查学生对这弊知识的理解掌握水平和计算能力.

7

【即学即练12】计算：（1）Iog535-21og5-+log57-log51.8；

⑵log2+log212-i'108242_1,

3

【答案】⑴2；（2）

2

【分析】

利用对数的运算法则结合对数的性质求解.

【详解】

9

(1)原式=log5(5x7)-2(log57-logs3)+log57-log5-

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.

万

(2)原式=log2+log212—Iog2(42—log22

X/7X12

g2748x^42x2

.123

=log2^=log22^--.

【点睛】

本题主要考查对数的运算与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2

【即学即练13】计算：（1）叫国百（Q-血）-2叫,（2）（Ig5）+lg2xlg5+lg2.

【答案】⑴-1-V3;（2）1.

【解析】（1）因为log五+币(6-6)=l(〉ga+w丁+0=-1，

2SC=21叫3=2叫=6,所以log、联0（6一夜）_2喝心=_1_6.

2

(2)(Ig5)+lg2xlg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

【名师点睛】在计算log拒+召（百-夜）的值时，注意将百—血化为G：夜即可求解.在求解⑵时,

注意提取公因式，利用Ig2+lg5=l求解.

【即学即练14】计算：1°g：+学21。迎8=

!Og64

【答案】1

_1_21og63+log632+log6/Iog66x3_]一2[og63+log632+1-1咱32

【解析】

式一log64-log64

21—loge3log66-log63log()2

210g62.loge2-log62-

考法03

换底公式的应用

换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟

换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

【典例3】已知(J)=1,log74=^-试用表示Iog4948.

【答案】log4948=^^.

【解析】。=妲.

⑺31g7

Vlog74="=*.

,,lg48lg4lg3,a2b+a

则log4948o=-^—=—+-^=/?+-=------.

49lg49lg721g722

【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为

底).

【即学即练15】已知log95=a,3"=7,试用“，6表示log2135

【分析】首先根据题意得到k)g37=6,log35=2«,再利用换底公式化简即可得到答案.

【解析】由3"=7得到log37=6,

由log95=a,得到a=；log35,即log35=2a.

I：_335log?5+log?72a+匕

821

log321log37+log33b+\'

【点睛】

本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.

考法04

对数方程的求解及对数不等式的求解

解对数方程时，(1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；(2)化简后得到关于简单对数式

的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解.

【典例4】求下列各式中的x的值：

(1)log,(x2-2)=0；

（2）1。%4|）（3，+2工-1）=1.

【答案】（1）x=±G;⑵x=-2.

【分析】

（1）根据对数式与指数式互化公式进行求解即可；

（2）根据对数式与指数式互化公式，结合对数的定义进行求解即可.

【详解】

（1）由屿（炉-2）=0,得2=1。=1，解得x=±5

（2）由1。42，1）（3一+2》-1）=1,

得3x?+2x—1=（2x?—1）'=2厂—1,2丁—1>0,」」2——1/1,且3x?+2x-1>0,

解得x=-2（x=0舍去）.

【即学即练16］方程1082（91-5）=1。8式31-2）+2的解为.

【答案】x=2

【解析】：log2（91-5）=log］©）-2）+2,log2（9、T-5）=log,［（3^-2）x4］,

9'-|-5=4（3'-1-2）,即（3、）2—12X3*+27=0,即（3*-3）0-9）=0,解得3'=3或3*=9，

则x=l或x=2.当x=l时，9'-1-5<0.3A-1-2<0,故舍去.从而尤=2.

【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解.另外，解对数方程必须

把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必不可少的步骤.

【即学即练17］若log4<K«>0且存1）,则实数a的取值范围是.

【答案】（0,Ju（l,+00）

3

1

（解析］当0<67<1时，log*log“a=1,4

3

-

当a>］时，log“沁g“”=I,.SI....实数a的取值范围是I4+oo）.

ls

【即学即练18】S^llog5［log2（4'）］=0.则x的值为一

【答案】回

【分析】

根据指数式与对数式互化公式，结合指数幕运算公式进行求解即可.

【详解】

El：|log5[log2（4^）J=0,得log2（4*）=50=l,所以4电，=2=2，

即2?g=2,所以21gx=1,lgx=；，所以.io：布.

故答案为：V10

考法05

易错—忽略真数大于0

X

【典例5]已知lgx+lgy=21g（2x-3y）,求log,一的值.

2y

【错解】因为坨%+怆丁=2馆（21一3丁），

9

所以孙二（2x—3y）2,即4f_13孙+9丁=0,即（％一丁）（4%-9y）=0,解得x=y或

JQx93o

所以10g3-=10g31=0或10g3-=10g3：=10g3（7）2=2.

"25y2422

【错因分析】错解中，lgx+lgy=21g（2x-3y）与孙=（2x—3y>对x,y的取值范围要求是不同的，即求

解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证.

9

【正解】同错解，得到％=丫或%=一丁.

4

由也%+尼〉=2坨（2工一3》）知，x>0,y>0,2x-3y>0,

当x=y时，2x-3y<0,此时lg（2x-3y）无意义，所以x=y,即log?二=logg1=0应舍去；

2y2

9[x[9]A2。

当X=_y时，10g3-=10g3-=10g3（-）-=2.

4-5y5422

【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略原式中

对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要求我们对

于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验.

品分层提分

题组A基础过关练

4

1.若2，=6，log4§=y,则x+2y的值是()

A.3B.；C.log,3D.-3

【答案】A

【分析】

利用对数与指数的互化，指数的运算性质可求得结果.

【详解】

因为log(=y,则4，=22'=g,所以，2g=2,.22，=6xg=8=23,故x+2y=3.

故选:A.

2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2，，则〃1/827)的值为()

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】A

【分析】

先判断log.27>0,然后根据函数Ax)是奇函数进行求值.

【详解】

易知Iog827=log23>。因为“X)是定义在R上的奇函数,且当x<o时,f(x)=2x,

log；

所以/(log827)=/(log?3)=-/(-log23)=-7|^log2；)=-25=-1.

故选：A.

3.方程上一2”i—3=0的解是().

A.Iogj2B.1C.Iog23D.2

【答案】C

【分析】

结合指数运算化简已知条件，求得2',再求得x.

【详解】

方程4，-2"+1—3=0可化为(2，)2—22'—3=0,即(2■'—3)(2'+1)=0,V2'>0,；.2，=3,.*.A-=log23.

故选：C

4.已知》>0,log58=a,lg〃=c,5d=10,则下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

【答案】B

【分析】

利用指数式与对数式的互化可得b=5",6=10，，再由指数的运算即可求解.

【详解】

因为b>0,log5b=a,lg6=c,

所以b=5"力=10’，

又5J10,

所以b=5"=10°=(5"丫=5",

所以a=cd,

故选：B

5.已知函数小）=［野::::，则|&|的值为（§

A.：B.-C.3D.5

22

【答案】B

【分析】

根据自变量范围代入分段函数对应解析式，求得/（g）=T，再计算/（T）即为所求.

【详解】

3

又140,.•.〃-1)=2T+1=5,

…I，

故选：B.

【点睛】

本题考查根据分段函数求值，涉及指数对数运算，属基础题.关键在于从内到外的运算，注意分段函数的分

段标准，注意对数的求值，一般地，log“a、=x(a>0,“Hl,xeR).

6.在N=log(5-历S—2)中，实数〃的取值范围是()

A.X2或6>5B.2cb<5

C.4<b<5D.2<X5且厚4

【答案】D

【详解】

b-2>0

由对数的意义得解得2<6<5且6H4.

5-21

所以实数b的取值范围是2〈匕<5目.6*4.选D.

7.3%4-27,一坨0.。1+始/等于()

A.14B.0

C.1D.6

【答案】B

【解析】

原式=4-(33户-(-2)+3=4-9-(-2)+3=0・选B.

点睛：基的运算性质和对数恒等式的综合是对数运算中常见的题型，解题时要注意运用基的运算性质将所

给的式子进行变形，化成指数哥的形式，以便于运用优=Nox=log./V

(a>0且aN1)求解，同时解题中还要注意对数运算性质的运用.

8.对于a>0且下列说法正确的是()

①若M=N,则log.M=log„N.

②若log,,M=log„N,则M=N；

22

@^flogflM=logoN,则"=汽；

④若M=N,则log“扭2=iog“解.

A.①②B.②③④

C.②D.②③

【答案】c

【分析】

①中若M,N小于或等于0时，不成立；②根据对数的运算即可判断；③中M与N也可能互为相反数；④

中当M=N=O时不正确.

【详解】

①中若M,N小于或等于0时，log“M=log〃N不成立;

②根据对数的运算易得加=',故正确；

③中M与N也可能互为相反数；

④中当M=N=O时不正确.所以只有②正确.

故选：C

9.(\)，+fg2+lg逐的值是()

A5「7"9

A.-B.-C.一

622

【答案】B

【分析】

根据指数基运算与对数运算性质运算求解即可.

【详解】

解：f—1'+1lg2+lg石=3+：(lg2+lg5)=3+1lglO=3+：=；.

V27)22222

故选：B.

10.已知ln2=a,1n3=b,则1n(36e3)可以用a和。表示为()

A.a+2Z?—3B.4a+2/7+2

C.2a+2Z?+3D.2a+3b+3

【答案】C

【分析】

利用对数的运算性质求解.

【详解】

In(36叫

=In36+Ine3

=ln（22x32）+31ne

=ln22+ln32+3

=21n2+21n3+3

=2a+2b+3

故选：C.

ILlog⑶）（3-20）等于（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【分析】

先把真数化为3-2四=的形式后再根据对数的运算性质求解.

【详解】

2

3-272=2-2应+1=（应产-2立+12=（拒—1尸==（0+1>2.

•♦・叫屈43-20)=叫即(0+1)、-2.

故选A.

【点睛】

本题考查对数的运算，解题的关键是熟记对数的运算性质及进行适当的变形，考查计算能力，属于基础题.

12.正实数。，b,c均不等于1,若log7+logf=5,log；：+log*=3,则log：的值为()

A.-B.-C.-D.-

5543

【答案】A

【分析】

一log.a+log.b1

由对数的运算性质和换底公式可得5=■―-^-+-——，结合log〃4+log*=3可得结果.

log/,log*log£.a

【详解】

依题意，

ci7ii111\oga+\ogb1

5=log“b+log,c+log”c=-------+--------+--------=—h---------—c+--------

log/,alogrblog,。log》4•log,blogf.a

____3___।____1______4__

logcalogralogra'

4

解得logt,«=-.

故选：A.

题组B能力提升练

1设alog；,4=2,则4-"=（）

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【分析】

根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】

由。陛34=2可得10834"=2,所以4"=9,

所以有.4-"=",

故选：B.

【点睛】

本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础

题目.

21

2.设工、ywR,a>\,h>\,若"=〃=2,a2+/?=4,则一+一的最大值为（）.

xy

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

jI2]

由"=〃=2,可得x=log“2,y=log〃2,则一=log?。,一=log2%,则一+—=log2（/?），利用基本不等式

xyxy

即可得解.

【详解】

解：因为ax=by=2,

所以x=log.2,y=log/,2,511J-=10g2a,-=log2b,

xy

212

则一+-=2log2a+log,b=log2(a­/?),

xy-

又因/+b=4,所以=4,当且仅当/=/,,即。=08=2时，取等号，

所以log2("-b)410g24=2,

所以2+工的最大值为2.

xy

故选：B.

3.已知函/'(x)=log2(Jl+4_?+2x)+3,且./■(/«)=—5,则/(一〃?)=()

A.-1B.-5C.11D.13

【答案】C

【分析】

令g(x)=log2(Jl+4x2+2q,则/(x)=g(x)+3,则先判断函数g(-x)+g(x)=0,进而可得

/(-x)+/(x)=6,即〃/n)+〃m)=6,结合已知条件即可求/(-，")的值.

【详解】

令g(X)=log?(Jl+4/+2xj,贝I]/(x)=g(x)+3,

2

因为g(x)+g(-x)=log2[\ll+4x+2x)+log,(Jl+4/-2x)

22

=log2(l+4x-4x)=0,

所以/(-x)+/(x)=g(—x)+3+g(x)+3=6,

则/⑺+/(ft)=6,又因为〃加)=-5,则=

故选：C.

4.已知实数。，b,C满足0.4"=2,0.2"=5,0.5*=0.4,则“+〃+。+,+:+_1=()

abc

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】

先利用指数式与对数式的互化关系表示出。，b,c,进而得到工，;，！，再根据换底公式和对数的运算

abc

法则即可得结果.

【详解】

：0.4"=2,0.2"=5,0.5"=0.4,

/.a=log042,Z?=log025,c=logo50.4,

—=log,0.4,-=log,0.2,-=log0.5,

abc04

a+6+c+—+—+-=log2+log,5+log0.4+log,0.4+log0.2+log0.5

abc■■()400s504

—logo.42+log040.5—1+log20.4+log050.4—1=log041-1—1-2.

故选：C

【点睛】

本题考查指数与对数互化，对数运算，考查运算求解能力、逻辑思维能力，试中档题.需耍指出，涉及指数

式与对数式的运算时，常常进行指数式与对数式的互化，然后利用指数的运算性质和对数的运算性质、换

底公式进行化简，要注意对数运算性质的正确运用.

5.已知2怆(X-2)，)=怆％+吆>»,则log」,的值为()

A.0B.1C.0或1D.—1或1

【答案】B

【分析】

Yy

利用对数的运算法则和对数性质得到关于x，y的代数式，转化为关于一的一元二次方程，求得一的值，注意

yy

根据已知等式，由对数的定义探求范围，做出取舍，进而利用对数的定义求得所求对数的值.

【详解】

21g(x-2y)=lgx+lgy,lg(A-2y)2=lg(xy).

(x-2y)~=xy,x2-5xy+4y2=0.

y>0,土]+4=0,解之得:二=1或二=4.

[y)⑴yy

x犬

Vx-2^>0,y>0,/.x>2yy->2f/.—=4.

yy

/.log4-=log44=1.

y

【点睛】

本题考查对数的运算，易错点是忽视对数中的真数大于零的要求，缺少对范围的确定，产生多余的解.

6.已知函数f(x)=o?+g+4(a,AeR),/(lg(log210))=5,则/'(lg(lg2))=()

B.-1C・—5

【答案】A

【分析】

设F(x)=加+',则/(X)=尸(x)+4且/(-x)=-F(x),

/(lg(log210))=F(lg(log210))+4=5可求得F(lg(log210))=1,

怆2=丁%=(1呜10［则〃lg(lg2))=-尸(lg(lg/0))+4,即可求解.

10g?Iu

【详解】

设尸(x)=以3+§,则f(x)=尸(力+4且F(-x)=-F(x),

/(lg(log210))=F(lg(log210))+4=5,所以F(lg(log210))=1,

/(lg(lg2))=/(lg(lg2))+4=f(lg(黑)1+4

-l

+4=F(lg(log210))+4

(logJO

=F(-lg(log210))+4=-F(lg(log210))+4=-l+4=3,

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是构造函数F(x)=a?+§,则〃x)=F(x)+4且

F(-x)=-f(x),利用/(lg(log210))=5可得F(lg(log210))=1,

且坨2==(log210)-'t/(lg(lg2))=-F(lg(lg210))+4即可取值.

7.(多选题)若1伊=4,10*=25,则()

A.a+b—2B.b-a—IC.ab>8lg22D.b-a<lg6

【答案】AC

【分析】

由指对互化求出。涉，进而利用对数的运算法则求出a+b和b-a的值，可判断ACD,且ab=2lg2x2lg5=

4/g2“g5>4/g2”g4,可判断C.

【详解】

1伊=25,；.a=Ig4,b=lg25,，a+/?=/g4+/g25=/g100=2,

25

b-a=lg25-lg4=lg—>/g6,帅=2/g2x2/g5=4/g2・/g5>4/g2*/g4=8/g22.

故选：AC.

8.（多选题）设a=log26,^=log,-,则下列结论正确的有（）

6

A.a+b<0B.---=1

ab

C.cib<0D.—―+>—

【答案】BCD

【分析】

山题意可得a>0，b<0,可判断C；根据1+:<0可判断A；利用对数的运算可判断B；根据

ab

11[ab]1可判断D.

----1---->----------=—

a2b22--------2

【详解】

已知a>0,b<0,所以C正确；

-+Y=Iog62+log13=log61<0,BP<0,

ab63ab

因为必<0,所以a+b>0,A错误；

--7=log2-log3=log2+log3=1,B正确；

ab（）6x66

、fi.iY...iii…

因为1+1b）1>所以滔'+/■>/，D正确.

R记,-2-~2&

故选：BCD.

9.（多选题）已知。，匕均为正实数，若log“b+log〃a=ab=ba,则:=（）

2b

A"B.—C.y[2D.2

22

【答案】AD

【分析】

令f=log“b,代入可求出f,可得a与)的关系式,再代入底=J即可求出a,6的值.

【详解】

令t=】og"则r+LJ,

t2

所以2/一5/+2=0,即⑵-1)(7—2)=0,

解得f=g或f=2,即bg.b=g或log,4=2,所以4=廿或

因为代入得2b=a=。2或b=2a=/,

所以。=4,h=2或a=2,b=4,

所以

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.

x>3

10.已知函数代r)=«3'一’则_A2+log32)的值为.

/(x+l),x<3,

【答案】专

【分析】

根据对数的运算求得2+log32的范围，代入分段函数可求得答案.

【详解】

解：；2+log31<2+log32<2+log33,即2<2+log32<3,

.,次2+log32)=12+log?2+1)=火34-log?2).

又3<3+log32<4,

X-K>8.>2111

.•.火3+1卷2)==X3__y_—__

27272-54

.•.X2+log32)=—.

故答案为：—■

54

11.若函数f(x)=l