2024届五年高考数学（文课）真题分类训练：专题十四 选修系列4

第1页专题十四选修系列4考点34坐标系与参数方程题组解答题1.[2023全国卷甲，10分]已知点P2,1，直线l:x=2+tcosα,y=1+tsinα(t为参数)，（1）求α；[答案]记点A,B对应的参数分别为t1,t2.令x=0,令y=0，得t则PA⋅PB所以sin2α=±1所以α=π4或因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴相交，所以α=3（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.[答案]根据（1）得直线l的参数方程为x=2-22转化为普通方程为x+y因为x=ρcosθ所以l的极坐标方程为ρcos2.[2023全国卷乙，10分]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθπ（1）写出C1[答案]C1：ρ=2sinθ，方程两边同时乘以将x2+y2=ρ2，又π4≤θ≤π2，所以（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2[答案]由C2的参数方程可得C2的普通方程为x数形结合可知，若直线y=x+m与C1没有公共点，则m若直线y=x+m与C2没有公共点，可先求相切时的临界情况，即m所以当m≤2或m>22时，直线y=综上，当m<0或m>22时，直线y=x+故m的取值范围为-∞,0∪3.[2022全国卷甲，10分]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6,y=t(t（1）写出C1的普通方程[答案]根据C1的参数方程，消去参数t可得x=所以曲线C1的普通方程为y2（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0,求C3与[答案]曲线C3的极坐标方程可化为2ρcos所以普通方程为y=2x根据C2的参数方程，消去参数s可得x=-根据y2=-6x-2y≤所以C3与C2交点的直角坐标为-12,-根据y2=6x-2y≥所以C3与C1交点的直角坐标为12,14.[2022全国卷乙，10分]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2t,y=2sint(（1）写出l的直角坐标方程;[答案]直线l的极坐标方程为ρsinθ+π3+m=0,即ρsinθ（2）若l与C有公共点，求m的取值范围.[答案]曲线C的参数方程为x=3cos2t,y=2sint(t为参数)联立直线l与曲线C的方程，得3x+y+2m=0,解法一若直线l与曲线C有公共点，则Δ=-22-所以-1912≤m≤52,即m解法二4m=3y2-2y-6，因为3y2-2y-6=3y5.[2021全国卷甲，10分]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；[答案]根据ρ=22cosθ因为x2+y2=ρ所以x2+y2=22x（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足AP=2AM,写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C[答案]设Px,y,Mx',y'因为AP=2所以x-1=2又M为曲线C上的动点，所以x-12+1所以P的轨迹C1的参数方程为x=3-2+2cos易得CC1=3-22,圆C1的半径r1=2所以C与C1没有公共点【方法技巧】将极坐标方程化为直角坐标方程时，方程两边同时乘以ρ或同时平方是常用的变形技巧，从而构造含有ρcosθ,ρsin6.[2021全国卷乙，10分]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C2,（1）写出⊙C[答案]由题意知⊙C的标准方程为x-则⊙C的参数方程为x=2+cosα（2）过点F4,1作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，[答案]由题意可知，过点F的⊙C设切线方程为y-1=kx所以2k-1+1-4kk2+1=1，解得k=±3因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以过点F的⊙C的两条切线的极坐标方程分别为ρ7.[2020全国卷Ⅰ，10分]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数)（1）当k=1时，C[答案]当k=1时,C1:x=cost,y=sint(t为参数)（2）当k=4时，求C1与C[答案]当k=4时，C1:x=cos4t,y=sin4∵x=ρcos∴C2的直角坐标方程为4x由x+y=1故C1与C2的公共点的直角坐标为18.[2019全国卷Ⅰ，10分]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t（1）求C和l的直角坐标方程;[答案]将x=ρcosθ,y=ρsin得l的直角坐标方程为2x+3下面用三种解法求曲线C的直角坐标方程.解法一因为-1<1-t21+t2≤解法二由题意得x=1-t2则易得t=y2x+1，代入x+1解法三令t=tan则由x=1-t21+t2,y=注意到x=1-t21+t（2）求C上的点到l距离的最小值.[答案]由（1）可设C的参数方程为x=cosα,y=2C上的点到l的距离为2cos当α=-2π3时,4cosα-π3+11取得最小值考点35不等式选讲题组解答题1.[2023全国卷甲，10分]设a>0，函数（1）求不等式fx<[答案]解法一求不等式fx<x的解集，即求不等式整理得2x-不等式两边同时平方，得4x2-2ax+因式分解得3x-ax-3a<0故不等式的解集为a3,解法二若x≤a,则f即3x>a,解得x>a3,得a若x>a,则f解得x<3a,得a综上,不等式的解集为a3,（2）若曲线y=fx与x轴所围成的图形的面积为2[答案]解法一设曲线y=fx与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2令fx=0，得2x-a=a得x1=3a2,x2=a2,故曲线y易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为a,-a所以三角形的面积S=1即a2=4,解得a=2或a解法二fx作出fx的大致图象如图,曲线y=fx与x易得Aa2,0,B3a所以AB=a,△ABC的底边AB上的高为所以S△ABC=12AB⋅a=12a2.[2023全国卷乙，10分]已知fx（1）求不等式fx≤6[答案]fx作出y=fx及y=6-x的图象，如图所示，易得A-2,8,（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组fx≤y[答案]如图所示，作出不等式组fx≤y,x其中B0,2，直线y=-x+6所以S△ABC3.[2022全国卷甲，10分]已知a,b,c均为正数，且a2+（1）a+[答案]解法一因为a2+所以a+b+2c2所以a+b又a,b,c均为正数,所以a+b解法二因为a2+b2+4c2=3，所以根据柯西不等式有3×3=a2+b2+4c（2）若b=2c,则[答案]因为b=2c所以根据（1）有a+4c所以31a当且仅当a=b=2c=14.[2022全国卷乙，10分]已知a,b,c都是正数，且a32（1）abc≤1[答案]因为a,b,c都是正数，1=a所以abc≤19，当且仅当（2）ab[答案]由基本不等式得b+c≥2bc同理得ba+c≤b利用不等式的性质得ab=a=a=12当且仅当a=b5.[2021全国卷甲，10分]已知函数fx=x（1）画出y=fx和y=[答案]由已知得gx所以y=fx与y=g（2）若fx+a≥gx[答案]y=fx+a的图象是由函数y=fx的图象向左平移aa>0个单位长度或向右平移aa<0个单位长度得到的，根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y=fx+a的图象的右支过y=g因为fx+a≥g故a的取值范围为[1126.[2020全国卷Ⅱ，10分]已知函数fx（1）当a=2时，求不等式f[答案]当a=2时，fx=7-2x,x≤3（2）若fx≥4,求a[答案]因为fx=x-a2+x-2a+1≥a2-2a+1=a当-1<a<3所以a的取值范围是-∞,-1]∪[7.[2020全国卷Ⅲ，10分]设a,b,c∈R,a+（1）证明：ab+[答案]由题设可知，a，b，c均不为零，所以ab+bc（2）用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值，证明：max{a,b[答案]不妨设max{a,b,c