专题01 角平分线模型巩固练习（提优）-中考几何专项复习（解析版）

角平分线模型巩固练习（提优）1． 如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（）A．50 B．56 C．60 D．72【解答】A【解析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD+S△BED﹣S△AED＝50，故选：A．2． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（）A．AE＝BE B．DE垂直平分AC C． D．【解答】D【解析】过D点作DF⊥AB于点F，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，∴DC＝DF，∵过点D作BC的平行线交AB于点E．∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵AD＝3，DE＝4，∴，∴，∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B说法错误；∵，∴AE≠BE，故A说法错误；∵，∴故C说法错误；∵，故D说法正确；故选：D．3． 如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】C【解析】（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．4. 在中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解答】【解析】过点E作于G，连接CF，如图所示：分别是和的平分线，，CF是的平分线，，在中，，由勾股定理可得.5. 如图，在中，，，、的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【解答】【解析】延长FE交AB于点D，作于点G，作于点H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分，CE平分，四边形BDEG是正方形，在和中，，同理可得，设，则，，，解得，，，即，解得，.6． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为．【解答】4【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝22.5°，∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，∴∠EJC＝45°，∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，∴JC＝JB＝m，∴EB＝m+m，∵EC2+EB2＝BC2，∴m2+（m+m）2＝42，∴m2＝8﹣4，∴S△ECB＝•EC•EB＝•m（m+m）＝•（1+）m2＝2，∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，∴EH＝EK，∴，∴S△AEB＝2×＝4．解法二：延长CE交AB于点F，证明△ABE的面积等于△ABC的一半，可得S△AEB＝4．故答案为4．7. 如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：.【解答】见解析【解析】在直线BC上截取，连接EF，如图所示：在和中，，，在和中，，又，即.8. 如图，在中，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离.【解答】3【解析】过点P作于点D，于点E，于点F，如图所示：，点P是三条角平分线的交点，，又，即，点P到AB的距离为3.9. 如图，在中，AB为直径，CD平分交于点D，求证：.【解答】见解析【解析】连接AD、BD，过点A作，过点B作，垂足分别为点M、N，如图所示：是的直径，CD平分交于点D，，与都是等腰直角三角形，在中，，在中，，，是的直径，，，又，.10. 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，若，求两个三角形的重叠部分面积是多少？【解答】重叠部分面积为【解析】连接BD，AB与CD相交于点O，过点O作于点M，ON⊥BD于点N，如图所示：又，，，在中，由勾股定理可得，在中，，解得，平分，又于点M，于点N，，，，.11．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．【解答】见解析【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）见解析；（2）AB+AC＝2AE．【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，