导数的概念及几何意义

选择题设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时f(x)•g(x)+f(x)•gf(x)>0,且g(—3)=0，则不等式f(x)・g(x)<0的解集是().(—3,0)U(3,+8)(—3,0)U(0,3)(—8,—3)u(3,+8)(—8,—3)u(0,3)D构造函数F(x)=f(x)・g(x),则F，(x)=f(x)•g(x)+f(x)•gz(x),由已知当x<0时，F，(x)>0，函数F(x)在(一8,0)上为增函数，又f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，从而F(x)为奇函数，F(x)在(0,+8)上也为增函数且F(—3)=F(3)=0.根据题意提供的信息作出大致图象如图所示，由图象不难得到f(x)・g(x)<0的解集为(—8,—3)U(0,3),故选D.选择题已知对任意实数x,有f(—x)=—f(x),g(—x)=g(x)，且当x>0时，有f(x)>0,则当x<0时，有().f(x)>0,g‘(x)>0f(x)>0,gz(x)<0f(x)<0,gz(x)>0f(x)<0,g‘(x)<0B由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.根据奇偶函数图象的特点知，当x<0时，f(x)的单调性与x>0时相同，g(x)的单调性与x>0时恰好相反.因此，当x<0时，有f(x)>0,g‘(x)<0.选择题函数y=x3在x=1处的导数为().TOC\o"1-5"\h\z2—23—3

Ax选择题设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=TOC\o"1-5"\h\z0123D考察导数的几何意义，复合函数求go，中档v,=£j-—.v,(O)=£7-1=2.^=3十 工+1题.选择题/(x)=^-/r(l)Z<-x若函数，若函数，OOOf'(1)的值为().0TOC\o"1-5"\h\z21-1Af'(x)=x2-2f'(1)-x-1,则f'(1)=12-2f'(1)-1-1,解得f'(1)=0选择题y=x2的斜率等于2的切线方程为().2x-y+1=02x-y+1=0或2x-y-1=02x-y-1=02x-y=0CEE—、，/ 、y兹设切点为(x0,y0),L % ,.•. ，.・.2x0=2,.・.x0=1..・.… '.•••切点为(1,1),.••切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.选择题若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x—y+1=0,则().a=1,b=1a=—1,b=1a=1,b=—1a=—1,b=—1ATOC\o"1-5"\h\z由导数定义可求得y'=2x+a.因为曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线l的方程是x—y+1=0,所以切线l的斜率k=1=y，|_，且点(0,b)在切线l上，于是有[0-F13=1, =1, x—°- ,解得.故选A.选择题曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是().—9—3915

z=3+3Ax+(咬z=3+3Ax+(咬，则曲线在点P(1,12)处的切线斜率- ，故切线方程为y-12=3(x-1)，令x=0，得y=9.选择题设a>0,f(x)=ax2+bx+c,设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范!0—：!,41围为--,则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为().B.C.&-1D.Lvi：i°7i..•曲线y=f(x)在点P(xo,f(xo))处的切线的倾斜角的取值范围是' 七f'(x°)=2ax0TOC\o"1-5"\h\z° "-n 0 0跖巳一 5+b「・f'(x)e[0,1],「・ - -.0又..•点P到曲线y=f(x)对称轴'的距离.f",...「1T气成」选择题曲线y=x3—2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为().A.30°B.45°C.60°D.120°A.30°B.45°C.60°D.120°根据导数的定义，得y'=3x2—2.因为了y'lx=「3X1—2=1,即曲线y=x3—2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为1,所以倾斜角为45°选择题

觊竺兰虹竺设函数f(x)可导，则一f 3：等于().f(1)3f(1)一f'(3)根据导数的定义，因为SAvS所以 SAvS所以 1 -,故选C.选择题已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则曲线在点A处的切线斜率为().TOC\o"1-5"\h\z41682AxE=思半=息料弓心=危所以 顼L则点A处的切线斜率k=f‘（2）=8.选择题华函数f(x)=2x2—1在区间[1,1+Ax]上的平均变化率上「等于().TOC\o"1-5"\h\z44+2Ax4+2(Ax)24xB竺=4F因为△y=[2(1+^x)2—1]—(2X12—1)=4Ax+2(Ax)2,所以上’ ，故选B.选择题

如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t=3时的瞬时速度为（）.TOC\o"1-5"\h\z6185481BAs=3(3+At)2—3X32=18At+3(At)2,As当^t-0,选择题函数在某一点的导数是（）.在该点的函数的增量与自变量的增量的比一个函数一个常数，不是变值函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率是一个常数选择题4.八

占=一厂-lr一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为-，那么速度为0的时刻是（）.1秒末0秒2秒末0或1秒末D由题意可得s'=4t2-4t，令s'=0，解得t「0,t「1，故选D选择题已知函数 在X处取得极大值，在x处取得极小值，且xe（-11）,芸（1,2），则2a+b的取值范围是（）2 1(—7,2)(—7,3)(2,3)(—1,2)•.•f'(x)=x2+bx—a,据题意知，f'(xi)=f'(x)=0,又据二次函数知，f'(—1)>0且f'(1)<0且f'(2)>0即|I—。彳l-!-& <0=>I皿+5-茎<。?a—b—l>0L-2&-4<0如图为(a,b)之可行域,A(1,0),B(2,—1),C(—2,—3).把A,B,C三点坐标代入2a+b得2,3,—7所以2a+b的范围为(一7,3)选择题TOC\o"1-5"\h\z了= %3'气 1-A曲线…K一在点r.处的切线与直线「一一 互相垂直，则a为( )4213A\o"CurrentDocument"t %\ 1\o"CurrentDocument"矿=一.：_: ^^:0； -,.•・曲线在点'•处的切线的斜率为匚ax4-2v-1=0又..•切线与直线 互相垂直1f弓171~2),「・a=4.选择题ft=设函数• ，则（ ）•一■■为 的极大值点■V /（•一■■为 的极小值点c..一■■为 的极大值点■V_eD.,一、为 的极小值点..•当*「时，门"“当:"W时门W时，有极小值为 的极小值点.填空题y=jdn_r上点尹 2x-y+l=0:贝"点尹若曲线 处的切线平行于直线(e,e)本题考查直线方程、两条直线的位置关系、导数计算、导数的概念和几何意义，中档题。y=1xInx+xx—=]nx+1JC，In玛+1=2In_v.=1A"=sf[x:I=s切线斜率K=2，则, ，，^所以P(e,e)。填空题xOv )一+j P(Z-S)在平面直角坐标系,中，若曲线■(a，b为常数)过点 ，且该曲线在点P7x-2v-3=0 a-b处的切线与直线^平行，则"-的值是—.-3』b』b7-\a——=——4 2，y=2ax~k=~- P(2.-5)"， ■，故将 代入得£?=—1*:即疽+3=—3S=—2解得填空题v=e~^p 2x+v+1=0 p若曲线"上点处的切线平行于直线"，则点的坐标是.f2⑵本题考查直线方程、两条直线的位置关系、导数计算、导数的概念和几何意义，中档题.Qv=s\.v=-e~7'p(玉=比|=「-—田■=—-设 ，.■-9=ZQh=矿功=2.P(-ln22)填空题v=—5ex+3 (0=—-I曲线" 在点.'处的切线方程为5x+y+2=0v'=—5e^fc=—^——5v=—5eK+3本题考查导数的几何意义。-，故- *一，所以- 在点(0=—-) v+2=—5x+v+2=0处的切线方程为- ，即- 。填空题v=e~5K+2 （03）曲线- 在点 处的切线方程为5x+y-3=0本题考查导数的几何意义以及导数的运算.v「=—5臼一"y心=—5： v—3=—5x 5x+v—3=0TOC\o"1-5"\h\z- ，所以 所求切线方程为- ，即'填空题若直线’与曲线‘一满足下列两个条件：（0 /尹&此）c00cp I直线在点 处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称Ip c直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）/:y=0 A0:01 c>=/直线-在点处“切过”曲线-:-/：x=-lA-l:0'l cy=(x+l)2直线在点处“切过”曲线：I:y=x7\0:01 cy=sinx直线-在点处“切过”曲线-:-I\y=x7\0:01 cy=tanx直线-在点处“切过”曲线-:-

¥=faXI\v=x-l¥=faX直线-在点处“切过”曲线①③④.本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练（0=1）了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当xE 时，tanx>x>sinx，该题是中档题.对于①，由y=x3，得y，=3x2，则yzlx=o=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x>0时y>0，当x<0时y<0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，・•・命题①正确；对于②，由y=（x+1）2，得y'=2（x+1），则y，lx=1=0，而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，・•・命题②错误；对于③，由y=sinx，得y'=cosx，则y'|尸0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切（-凯y=x两侧，・.・命题③正确；对于④，由y=tanx，线，又xE 时x<sinx，xE y=x两侧，・.・命题③正确；对于④，由y=tanx，线，「1v=——-—cos"X得 ，则y'lx=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切（o=f）又xE、 时tanx<x，xE 时tanx>x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线・.・命题④正确;，1y=—对于⑤，由y=lnx，得'，则y'|尸「1，曲线在P(1,0)处的切线为y=x-1,D=]_{由g(x)=x-1-lnx，得 ，当x£(0，1)时，g'(x)V0，当x£(1，+8)时，g'(x)>0.•.・g(x)在(0，+8)上有极小值也是最小值，为g(1)=0.•.・y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误..••正确的命题是①③④.故答案为①③④.填空题在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3—10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.（—2，15）设点P的坐标为(x°，y0)，因为y'=3x2—10，所以毛，解得x°=±2,又点P在第二象限内，所以x=—2，又点P在曲线C上，所以y=(—2)3—10X(—2)+3=15，所以点P的坐标为(一2,°15) °填空题y=-x+2已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为-，则f(1)+f'⑴=./(1)=lxl^2=- !1：|1 f^)=k=-- '又由在切点,-■■处的切线方程知 '，故1冷打(1)=孑；=3ZjL-填空题曲线y=x3-4x在点(1,3)处的切线的倾斜角为宾=—71

由导数定义求得寸=3x2—4,k=y'，_]=—1,即tana=—1,「・ 遽填空题已知函数y=x3—2,当x=2时，(△x)2+6Ax+12当自变量从2变化到2+△x时，函数的平均变化率为 = = =*ASfVlIS12里填空题函数y=2x3—x在区间［1,3］上的平均变化率为25猝-愆2x3-'-3-(2xl-l) = 函数在区间［1,3］上的平均变化率为3-1填空题Ax已知函数y=f(x)在x=xo处的导数为11,贝0-11

血电-*）-拭咤）=_g员秘十（一明卜拭气）it-M）Ax A&-M} -k=_血您土2竺=_门填空题若f(x)=x3,f'(x0)=3，贝0xo=±1x=±1.x=±1.填空题若函数填空题若函数f（x）=，・°（b尹1）在x=1处有极值，则ab的最大值等于 (1-hyn.••据题意知 '=0a+2b=1又ab=k(aX2b)W又ab=k(aX2b)W等号当且仅当a=2b即a=*,b=—时成立1ab的最大值等于'填空题在区间［?6,6］内任取一个元素％,抛物线x2=4y在x=x°处的切线的倾斜角为a,则：3氟：UIL'的概率为.ae当切线的倾斜角ae当切线的倾斜角:3-=」时切线斜率的取值范围是（一8,—1］U口，+8）—年处的切线斜率是'故只要•、 ---即可.如果在区间［—6,6］内取值，则只能取区间［-6,-2］U［2,6］内的值，这个区间的长度是£28,而区间［—6,6］的长度是12,故所求的概率是二=-'.

解答题已知函数f(x)=x3+2bx2+cx—2的图象在与x轴的交点处的切线方程是y=5x—10.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数 J ，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.见解析(1)由已知，切点为(2,0),故有f(2)=0,即4b+c+3=0.①f'(x)=3x2+4bx+c,由已知，f'(2)=12+8b+c=5,即8b+c+7=0.②联立①②，解得c=1，b=—1.于是，函数f(x)的解析式为f(x)=x3—2x2+x—2.3疽-4*口+兽=0有实根，当函数有极值时，方程 3有实根，由△=4(1—m)30，得mW1.'左右两侧均有g'(x)>0，'左右两侧均有g'(x)>0，故函数I.当m=1时，g'(x)=0有实根g(x)无极值.而二:以-J1-扔)荏二上以—-丹砂II.当m<1时，g，(x)=0有两个实根， , -当x变化时，g'(x)、g(x)的变化情况如下表:X(—8，x)x(x，x)x(x，+8)G'(x) 1 +01 2一 2 0 2 +g(x)3极大值j_=极小值3故当m£(—8,1)时，函数g(x)有极大值.jf—-(2—J1—说》当- 时，g(x)有极大值;Ji；—-(2H-J1_瘀当- 时，g(x)有极小值.解答题f(X)=.v—Sx2+ax+2v=f(x) x已知函数・ ，曲线「在点(0,2)处的切线与■'轴交点的横坐标为-2.求a；证明：当-■=-时，曲线-二"与直线-一''只有一个交点。(I)f(x)=书-3/+OX+2f\x)=眼-6工+疽，fr(P)=a7n设切点煎0刀切线与轴交点为研则虹=r(。)：即示*所以;a=1(II)_ , 4当止<1时?令f(工)・H+2=¥・3x2+x-kx+4=CL则-3x+1+—==x=#0x令对二¥-3h+1+」贝l]/(对=Zt-3-M=——兰-X X"y令h(x)=2^-Sx2-4,则7/(X)=6了-6工=6js(jc-1)二当现寸，K(x)Eg递减当.ve(-00,0),或Q+B时,心》Og递增；且M。)罚例2)=0-■■-当0】时，K^)<0=g(x)<0:^{_v)ft(-oq0):(0:2)±递减当一。b时,h(x)>o: >o:创:力在(o,+勺上递增；■■-当xe(0=2)U(0j+og时,w(对企或2)二1当K(-8,0)时，单调递减且或泸〔一叫+叫二当左<1时，京》=破有一个根点=图像如图所示所以档K1时，y=f(x)与”2仅有一个交点本题考查函数的性质、导数的计算、导数的几何意义、导数法研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查推理论证能力以及运用有关知识分析问题和解决问题的能力，难题。

f(xG=f(xG=£7^1nx+丁v=f(x) f(l)设函数 ■■，曲线-•在点(1,• 处的切线为y=e(x—1)+2a.b /(x)>l求；(II)证明：度=1一石=2(I) ；(I)证明见解析.本题考查函数的解析式、导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数，考查对数与对数函数；指数与指函数；考查函数与方程的思想，考查运用知识综合解决问题的能力.难题./⑴ 〔饥+④)(I)函数 的定义域为/(l)=2./r(l)=^度=1•石由题意可得 ，故f(x)=^lnx+-f(x)=^lnx+-—x(II)由(I)知， ■■~ .xlnx>xe~::——grl e从而等价于g(x)g(x)=xlnx g'(x)=x+lnx设函数- ，则一xe[_.+r' 0时， ，故在rk__iE(.对〔Q+h) '广琶在 的最小值为 .•一lL, gr(^)<0所以当 时， ，当n M *- —=+r；e, 3 ,单调递减，在 单调递增，从而松)=K-己 g=/[1—松)=K-己 g=/[1—对 "(0:1)设函数 一，则 ，所以当 时，hr(x)>0，xe(l:-HE)当 时，hr(x)<0h(x)(OJ)，故在单调递增，(L+oo)在 单调递减，从而的最小值为x>0 g(,x)>h(x)/(x)>1综上：当 时， ，即解答题Md（&如） = eN*设等差数列的公差为，点在函数 的图象上（ ）.•i=—2(1)若〔知妆） f（•i=—2(1)若皿=f（x）（么X 皿=f（x）（么X 2一占函数 的图象在点 处的切线在轴上的截距为，求数列（2）若的前项和=h1—(1) ；(2)本题主要考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列通项公式与前项和公式、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力.较难题.（%也）g=F 如=的 M（1）点 在函数 的图象上，所以 ，又等差数列 的公差h 乃T，所以（知4如） f（x） 4氏=2，=站，所以因为点在函数 的图象上，所以，所以2』=冬=4K=＞』=2c r, 2 2i显=昨的+——a=—ln+n—n=n^—in.，所以

/(对=2""⑴=2气2由/（-v） （灼。） ，-如=（2鱼ln2）（x-佝）函数 的图象在点 处的切线方程为所以切线在i]7轴上的截距为 ，所以切线在i]7轴上的截距为 ，“Id2从而h2 ,，故任=犬从而TOC\o"1-5"\h\z1 2 3——+―—+——T+・・・，+22r 24„ 1 1 1 1 1n. 1n.yi+2—T=—+—+—+—H 1-—— =1———— =1— \o"CurrentDocument"月2 1斗 2英 2超 1所以°m+2=一亍解答题/（#=疽血工+虾亍—时@引） v=/（x）在点[1,/（!））设函数 " ，曲线 处的切线斜率为0(1)求b;d了3北（IId了3北（II）若存在,使得_1，求a的取值范围。（I）由题设知尸(1)=0，解得b=1y(x)y(x)=£jlnx+(II)f(x)的定义域为(0,+¥)，由(I)知,小=一+〔1—小一小=一+〔1—小一1=XX— 1—度(工一1|——<1——<11—G.则故当xI(1,+¥)时，f'(x)>0,f(x)在(1,+¥)上单调递增.所以，存在31,使得 --的充要条件为-'，即所以，存在31,使得 --的充要条件为-'，即1—47 ,Q -1< 2 1—却所以-J所以-J<£-1;1-<：£?<(ii)1-<：£?<(ii)若’——>11—CL则 :-KB，故当xi(1,一一”)时，f'(x)<0,xi(-f)尸(对＞0时，,f尸(对＞0时，,f(x)在(1,)上单调递减，f(x) :-H»\—a单调递增.所以，存在31,1—所以，存在31,1—1—G1—G使得 的充要条件为 ，而f( )=£?ln + r+ > 1-6T 1一度 1-^r 1-6T，所以不和题意.1——1—I /{1)=——-1£1>1(iii)若，则2 £7-1综上，a的取值范围为：本题考查函数的解析式、导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数，考查指数与指函数；考查运用知识综合解决问题的能力。难题。/(x)=—+——h/(x)=—+——hjc——4x2亦J?已知函数 ，其中1V=—X「2 口垂直于。 (1)求的值；¥=/(X) (1/(1))，且曲线「 ■在点.处的切线求函数 的单调区间和极值。/(x)=—+——hX——4x2I)V£..•曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y='x.£4...f= -a-1=-2，...f54解得:a=，解得:TOC\o"1-5"\h\zx5 3 1 5 1 小一4直 一 5/(x)=-+—-Inx--f\x)=- -- =A44x2 4 4x2x4x2(II)0)，由(I)知： ， (x>(II)0)，(x)=0，解得x=5，或x=-1(舍)，•.,当x£(0，5)时，f'(x)V0，当x£(5，+8)时，f'(x)>0，故函数f(x)的单调递增区间为(5,+8)；单调递减区间为(0，5)；当x=5时，函数取极小值-ln5.本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档.解答题/(x)=Inx+一meRx，设函数 ^m=ee当(为自然对数的底数)时，求 的最小值；xg(x)=/V)--讨论函数 °零点的个数；b>a球性羿Gm若对任意 -一" 恒成立，求''■的取值范围.(1)f(x)的极小值为2⑵所以当m<0,或7M亏时，玳力只有一个零点；当05〈亍时，E(对有2个零点;当用》亍时，投有零点；⑶■.■/(X)x+—■f(x) =— RX XX"X"(1)

当如=溯寸！/Xjf)=-― m>。.解>。得百>e3JF，■,■TO)单调谢增J同理，当0<x< ?/V)<0危3)单调递减.■■■川)只有极小值f(e)=Ins1--=2.所以,fCr)的极小值为N.(2)(2)yy淇>)=-—=一一如-—=0,3 3Y3 Y3 2二皿=x-——>令H、.k)=x-一fx>03jsiEr,则Xi)=—3 3 3方3)=1-/=(1-JF)(1-M).令迎..M)>口解得。<JF<「*俺区间上谢增，值域M-).3同理，令打(不)<。解得应>nA吕怎俺区间上通减，值域为］—上)3大致画出函数淇歹制图像，则所以当皿W°,或j?=言时，gO)只有一个零点；9当0< |时，吕怎清N个零点；当加><时，忒X》没有零点J38>”>。8>”>。仰)一只、_.1任意恒成立，等价于恒成立，m心=/W-x=lnx+--x(x>0)设 ■ ,则原不等式等价于 在上单调,itlKQc)=——、一技。『凸、递减，由 •••• 在 上成立得：TOC\o"1-5"\h\z-Z1.2 1 1m>x-x=-(x-—)「+—/小 m>—2 4(^>0) 4m恒成立，所以 ，即的取值范围为序+°O本题主要考查函数概念及表示、函数零点、导数的概念、利用导数研究函数的单调性、极值等知识，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想、数形结合思想，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力。解答题=履*—be~2y-cx^a.b.c^R)/R(x)已知函数, 的导函数. 为偶函数，且曲线TOC\o"1-5"\h\zy=f(x)(QJ(O)) 4-c■'在点’ 处的切线的斜率为 ^a.b确定的值；c=3 /0¥)若，判断 的单调性；若有极值，求的取值范围.(I)aW；(II)",在其定义域内为增函数；(山)(4,5本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档.~cx(a,机ceRI(l)v函数./F(x]=2如侦+2be^-c,TOC\o"1-5"\h\z•• ,尸3)由为偶函数，frl-x)=-ff(x)知 ，2(。—》)[歆+/*)=0即 ，即a=b,y=f(x)(0,/(0)) 4-c又,在点,处的切线的斜率为fr\0\=2a+2b—c=4—c即' ,故a=b=1；疣3)=2度巳侦+2方已*一3> x2e—3=1>0当c=3时，.故’ 在定义域R为均增函数；fr（xI=&巳*+2阮*（III）由（I）得’2度已质+1方已*> xlbe=4而 ，当且仅当x=0时取等号，/F（x）-° /（对当cW4时， 恒成立，故 无极值；2勺 2i+——c=0r当c>4时，令 ，方程 的两根均为正，尸3）=o 工1-改即， 有两个根■\工丘（勺改） 尸3）<0 工丘（―《\jqIi改:+<»） 尸3）>0当,-时，. ，当^ -时，.X=瓦X=JCi f(x)故当•，或-时，• 有极值，综上，若-有极值，C的取值范围为(4,E.解答题f(z)=宓+—+&(tz>0)设定义在(0,+8)上的函数*- .若曲线y=f(x)在点(1,y=—xf(1))处的切线方程为三，求a,b的值.见解析因为1 f11+Ax)+ +打一E痘+—+5§-IAx)-/(!)_ £1(1+咬[a)_^a+Ax)—* * <s(iH-Ajd广/口+念)Tg*-1

hm = •整“£T所以3 1M 席=——■，解得a=2或 =(不符合题意，舍去).丁(行二度+—+》=二将4=2代入 很",解得b=—1.所以a=2,b=—1.解答题已知曲线C1：y=x2与C2：y=—(x—2)2,直线l与C「C2都相切，求直线l的方程.见解析解：设直线l与曲线C切于点(x〔,y),与曲线C切于点(x，y),则由y=x2，得1 1 1 -f2. 2 2出=土延 v- y=V，所以直线l的方程可以表示为’一 -一，即’一•①.又由y—(x—2)又由y—(x—2)2=—x2+4x—4,得=一g+4'.L■■■ X所以直线l的方程可以表示为y+(x2—2)2=(—2x2+4)(x—x2)，即由题意可得，①和②表示同一条直线，由题意可得，①和②表示同一条直线，所以xj0，x2=2或xj2，x2=0.若xi=0，则由①可得切线方程为y=0；若x2=0，则由②可得切线方程为y=4x—4.所以适合题意的直线l的方程为y=0或y=4x—4.解答题一物体做直线运动，其位移o与时间t的关系是o=3t—12.求此物体的初速度；求从t=0到t=2的平均速度.见解析As敏 =―: : = :——:—=3—Ai-解:⑴「上 2「 ，竺t3当^t—0时，即左 ,v|t_0=3，物体的初速度为3.-As3^2-2^-0_⑵上-，即t从0到2的平均速度为1.解答题如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数y=s(t)=t3+3(位移单位:m；时间单位：s).求：(1)t=4时，物体的位移s(4)；t=4时，物体的速度v(4)；t=4时，物体的加速度a(4).见解析解：(1)s(4)=43+3=67(m).竺=堂空土42”心・(K「 * ，As..•当△《无限趋近于0时，X无限趋近于48..•.v(4)=48(m/s).物体在任意时刻t的速度记为v(t)，AtAs..•当△《无限趋近于0时，X无限趋近于3t2.v(t)=3t2.Avv(^A£)-l<4)3但卒『—= = : =的+扣而Av..•当△「无限趋近于0时，*无限趋近于24..・.a(4)=24(m/s2).解答题求下列函数的导数.f(x)=x2+ax+b；(2)f(x)=x4.见解析解：⑴f(x)TOC\o"1-5"\h\z芸mI1+Ax)2-i-威x-i-Ajc)4-d- d)1 -k I■": .t . ■- T_阮工+£或侦+衣*返*｝「&-尝-公-5=Hm(2x-i-a-*-Ax)=2x-i-af‘(x)=勘缶金Ax

=Hm4*^3*Ax-i-6*a2・-i-4<y*(ix/+(女)*=Hm[4X3-i-6_y2■ix-r4■-Y(2\x)2-!-(At}3]=4x3解答题已知曲线3上一点',求曲线在点P处的切线方程.见解析h七日3 J=-X-解：记y=f(x)，因为点.」■■在曲线’3，所以曲线在点P处的切线的斜率即为f(2),l(2^Ax-y-ix2广⑵=g 冬—而I蝠3x2 3x2x(Ax)2-?(Ax)'=1^^3?<2^3>:2?<^(Ax-/]=2i=4，y=-x~ y~-=4(^-2)故曲线*5在点P处的切线方程为’一'即12x—3y—16=0.解答题设曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处两切线的夹角为。，求cos。.见解析fV=X2-Fl-：：g=?+芝由,- 得x3—x2+x—1=0,即(x—1)(x2+1)=0,.・.x=1,.・.交点为(1,2).TOC\o"1-5"\h\z(1H-Ax)2H-1—(I-1-H-1}—lisi =2令 Ax,・.・曲线y=f(x)在交点(1,2)处的切线l1的方程为y—2=2(x—1),即y=2x.「r g(\-r -g(Dg(0二岫 7 又— 如vUdE*—(5.二Iim 二t京T。 &,•••曲线y=g(x)在交点(1,2)处的切线12的方程为y—2=4(x—1),即y=4x—2.取切线1的方向向量为a=(1,2),切线1的方向向量为b=(1,4),则盎宓9 9妨 "COS$— =—i= = :"趴V5x^/17 £5解答题

建造一栋面积为X平方米的房屋需要成本y万元，y是x建造一栋面积为X平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，逆10，求f'(100)，并解释它的实际意义.见解析根据导数的定义，得f(100)=hm——=hm TOC\o"1-5"\h\z宓tm*宓f Ax=Iits 支t。 lOAx+r(1JlOO+k—1。］=—+ I10WAxf±rriii—i—-!- 」 i丛-笔¥010(^100+Ax+10)J=0.105.f'(100)=0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元.解答题求过点P(—1，2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1，1)处的切线平行的曲线.1.y=-jr已知曲线C： -，①求曲线c上横坐标为斤的点处的切线方程；

②上题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?见解析(1)先求曲线y=3x2-4x+2在M(1，1)的rr+ -4(1h-Ax)-!-2-3h-4-2氐二v...,—lim —bmO>V!i；+2}—2u'7场K： Aw 芸t令设过点P(-1，2)且斜率为2的直线为1，则由点斜式：y—2=2(x+1).化为一般式：2x-y+4=0，所以，所求直线方程为2x—y+4=0.瑚4的切线方程是:「JT).即切线方程舟r瑚4的切线方程是:「JT).即切线方程舟r二3，所以过点-£很=。."—土m②解方程组'亍’得一&〔—©5所以"花或-"切线与曲线有两个公共点瑚/侦：—"，—")，其中点是切点，所以切线与曲线c还有另外一个公共点d一土心.解答题枪弹在枪筒中运动可以看作是匀加速运动，如果枪弹的加速度是a=5X105m/s2,它从枪口射出所用的时间为1.6X10-3S，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.见解析的■)=—ai^由物理知识得到-，再求该函数在t=1.6X10-3处的瞬时速度.£=【凉 攵=土疗化+&)，一土就二唾位+上威TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 1，•• .生.1」 & —r芯l：~r— 山2.当△《趋于0时，幸趋于at0.由题意知，a=5X105m/s2,t=1.6X10-3s,0.•.at0=8X102=800(m/s).即枪弹射出枪口时钓瞬时速度为800m/s.解答题=p\I⑴求曲线C1：充上一点'、. .『处的切线方程;4.恁、',/(x)=x-F- |⑵求曲线C2： 无过点')的切线方程.见解析(1)因为十.4-Fix 14J1心 —* Ak4(4+Ax)J4+Ax-r2■ 5 5 ■ -——JIUI:—1=— f国+明jNAx+N」16,< /7^ 5—二 y-{—；二——G—们所以所求切线的斜率为I"所以所求切线方程为 . •16y+8=0.，即5x+4 4Yt-,：~\y+ —v-—_ r二H由——— 乏=i Ax 妹T为(2) -,/c、.扩I'、, /不在曲线上，所以设切线的切点是(xo,y°)，.其(X-!-Ar)=工:-，因为点则切线的斜率Vn

又因为切线过点(x0,yo)和十'^+—| rk々：_3为+1£，所以，所以即11字,解得x°=—4或xo=1(xo=0舍去).k^-~• 4,、所以 或k=—3,所以所求切线方程是/密-3v—r，即3x—4y—8=0或3x+y—8=0.解答题求函数一"」的导数y‘及'见解析Ay=J旧+Ax尸+1-山2+1（jc+Ax］」+£—.；厂—1+Ax）'+i+y:广+1右冬+WF■.-+Ax：广+1+\i」广+1,Ay 2t-!-Ax4仙+明解答题1y=X-r—求函数•'在x=1处的导数.

见解析1_3

l-rAxI-：-Ax，1f1>x=(i+益)1_3

l-rAxI-：-Ax，"/土 “ 控瑟〈"万法一：华_&Ax]+X.4 - 4—堂£门、* 1y+dfAy=(jc-i-Aj)+ -[T-i-—=X-—+ = 、、， " 哀+如x)xx-FAx或Ax)TOC\o"1-5"\h\z万法二：_ - '伞j-1*x(x+W)„At：.. 1 —1， 1玉tn—lim =——-—=1-—龈冬t外或苏+瑟｝ x".解答题过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+^x,1+Ay)作曲线的割线，求出当Ax=0.1时割线的斜率，并求曲线在P点的切线的斜率.见解析,/Ay=f(1+Ax)—f(1)=(1+Ax)3—1=3Ax+3(Ax)2+(Ax)3,.，.割线PQ的斜—= =3+3A