2023年广东省高等学校招生数学试卷

第1页（共1页）2023年广东省高等学校招生数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{1，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{3，4}2．（5分）sin45°的值等于（）A． B． C． D．3．（5分）椭圆的离心率是（）A．2 B． C． D．4．（5分）函数的最小正周期是（）A．2π B． C． D．5．（5分）斜率为，且过点P（0，3）的直线方程为（）A． B． C． D．6．（5分）已知一组数据：2，8，1，9，a，6的平均数为5，则a＝（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）“x＝2”是“x（x﹣2）＝0”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）向量，，若，则x＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣29．（5分）已知a＝0.83，b＝30.8，c＝log30.8则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b10．（5分）不等式x2﹣6x+5≥0的解集为（）A．{x|1＜x＜5} B．{x|x＜1或x＞5} C．{x|1≤x≤5} D．{x|x≤1或x≥5}11．（5分）抛物线x2＝2y的准线方程为（）A． B． C． D．12．（5分）袋中有5个大小完全相同的球，其中2个红球，3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到白球的概率为（）A． B． C． D．13．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，an＝2an﹣1+1（n≥2），则a4＝（）A．13 B．11 C．9 D．1514．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B． C． D．115．（5分）圆心在y轴上，且过点（﹣1，2）并切于x轴的圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+y2＝ B．x2+（y﹣）2＝ C．（x+）2+y2＝ D．x2+（y+）2＝二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）计算log28＝.17．（5分）甲、乙、丙三人排，不同的排法的种数有种．18．（5分）若直线x﹣2y+1＝0与直线2x+my﹣1＝0平行，则m＝.19．（5分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝14，则a2+a3＝.20．（5分）已知，且，则sinα＝.三、解答题：本大题共4小题，其中第21，22，23，题各12分，第24题14分，满分50分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）21．（12分）已知等差数列{an}满足a1＝1，a2+a4＝10．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前10项和．22．（12分）（1）在△BCD中，BC＝3，，，求cosB的值；（2）在△ABC中，BC＝3，∠A＝30°，∠B＝45°，求AC的长。23．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，点D，E，F分别在AC，BC边上，DE∥AB，DF⊥AB．（1）若点D是AC边的中点，求DF的长；（2）当点D在AC边上运动时，求矩形DFBE的面积最大值．24．（14分）已知双曲线C：的右焦点为F（2，0），P是双曲线C左支上一点，点M（0，2），连接PF和PM。（1）求双曲线C的方程.（2）当|PF|+|PM|取得最小值时，求点P的坐标。

2023年广东省高等学校招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{1，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{3，4}【分析】根据集合并集的定义即可求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，集合B＝{1，3，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}．故选：A．【点评】本题考查集合的运算，难度不大．2．（5分）sin45°的值等于（）A． B． C． D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值即得．【解答】解：由特殊角的三角函数值，即得sin45°＝故选：B．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，是基础题．3．（5分）椭圆的离心率是（）A．2 B． C． D．【分析】求得a，c的值，即可得到离心率.【解答】解：椭圆的a2＝4，b2＝3，c2＝a2﹣b2＝1，所以.故选：D。【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题.4．（5分）函数的最小正周期是（）A．2π B． C． D．【分析】由三角函数的周期公式，即可得出答案.【解答】解：因为函数f（x）＝3sin（4x+），所以函数的最小正周期为T＝＝，故选：C。【点评】本题考查三角函数的周期，属于基础题.5．（5分）斜率为，且过点P（0，3）的直线方程为（）A． B． C． D．【分析】易知纵截距为3，再由斜截式即可得解.【解答】解：因为斜率为，且过点P（0，3）则由直线的斜截式方程可得，所求直线方程为，故选：B。【点评】本题考查直线方程，考查运算求解能力，属于基础题.6．（5分）已知一组数据：2，8，1，9，a，6的平均数为5，则a＝（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据2，8，1，9，a，6的平均数为5即可求解．【解答】解：∵2，8，1，9，a，6的平均数为5，∴2+8+1+9+a+6＝5×6＝30，∴a＝4．故选：C．【点评】本题考查样本的平均数，难度不大．7．（5分）“x＝2”是“x（x﹣2）＝0”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由充要条件的定义，即可得出答案.【解答】解：若x（x﹣2）＝0，则x＝0或x＝2，所以“x＝2”是“x（x﹣2）＝0”是充分不必要条件，故选：C。【点评】本题考查充要条件的定义，属于基础题.8．（5分）向量，，若，则x＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据题意可得3x+2（1﹣x）＝0，进而得解.【解答】解：因为，，，所以3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2，故选：D。【点评】本题考查两向量垂直的条件，考查运算求解能力，属于基础题.9．（5分）已知a＝0.83，b＝30.8，c＝log30.8则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】将a＝0.83，b＝30.8，c＝log30.8和0或1进行比较即可求解．【解答】解：∵0＜a＝0.83＜1，b＝30.8＞1，c＝log30.8＜0，∴c＜0＜a＜1＜b．故选：B．【点评】本题考查指对式比较大小，难度不大．10．（5分）不等式x2﹣6x+5≥0的解集为（）A．{x|1＜x＜5} B．{x|x＜1或x＞5} C．{x|1≤x≤5} D．{x|x≤1或x≥5}【分析】根据不等式x2﹣6x+5≥0的解集即可求解．【解答】解：∵不等式x2﹣6x+5≥0，∴（x﹣1）（x﹣5）≥0，∴x≤1或x≥5，∴不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，难度不大．11．（5分）抛物线x2＝2y的准线方程为（）A． B． C． D．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝2y，焦点在y轴上；所以：2p＝2，即p＝1，所以：＝，∴准线方程y＝﹣＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．12．（5分）袋中有5个大小完全相同的球，其中2个红球，3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到白球的概率为（）A． B． C． D．【分析】先求出从中不放回地依次随机摸出2个球的所有可能，再求出两次摸到白球的可能，最后根据古典概型即可求解．【解答】解：∵从中不放回地依次随机摸出2个球有＝10种可能，两次摸到白球有＝3种可能，∴两次摸到白球的概率为．故选：C．【点评】本题考查古典概型，难度不大．13．（5分）已知数列{an}满足：a1＝1，an＝2an﹣1+1（n≥2），则a4＝（）A．13 B．11 C．9 D．15【分析】把已知的等式an＝2an﹣1+1变形，得到an+1＝2（an﹣1+1），同时求出当n＝2时得到a2+1＝2（a1+1），将a1的值代入求出a2+1的值，确定出数列{an+1}以2为首项，2为公比的等比数列，表示出等比数列的通项公式，可得出an的通项公式，令n＝4即可求出a4的值．【解答】解：∵an＝2an﹣1+1，∴an+1＝2（an﹣1+1），令n＝2得：a2+1＝2（a1+1），又a1＝1，∴a2+1＝4，a1+1＝2，∴数列{an+1}以2为首项，2为公比的等比数列，则通项公式为an+1＝2n，即an＝2n﹣1，则a4＝24﹣1＝15．故选：D．【点评】此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的确定，熟练掌握等比数列的性质是解本题饿关键．14．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B． C． D．1【分析】根据函数f（x）是定义域为R的奇函数可知f（﹣1）＝﹣f（1）即可求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2﹣1）＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性，难度不大．15．（5分）圆心在y轴上，且过点（﹣1，2）并切于x轴的圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+y2＝ B．x2+（y﹣）2＝ C．（x+）2+y2＝ D．x2+（y+）2＝【分析】由题意求出圆心坐标与圆的半径，即可得到圆的标准方程．【解答】解：设圆的圆心坐标为（0，y），则y2＝（0+1）2+（y﹣2）2，所以y＝，所以圆的标准方程为：x2+（y﹣）2＝．故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，求出圆心与半径是解题的关键，考查计算能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）计算log28＝3.【分析】根据对数的运算即可求解．【解答】解：log28＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查对数的运算，难度不大．17．（5分）甲、乙、丙三人排，不同的排法的种数有6种．【分析】根据排列数的定义即可得解.【解答】解：甲、乙、丙三人排，不同的排法的种数有种.故答案为：6.【点评】本题考查简单的排列问题，考查运算求解能力，属于基础题.18．（5分）若直线x﹣2y+1＝0与直线2x+my﹣1＝0平行，则m＝﹣4.【分析】由两直线平行的条件可得，求得m的值，再验证即可.【解答】解：因为直线x﹣2y+1＝0与直线2x+my﹣1＝0平行，所以，解得m＝﹣4，经检验，m＝﹣4符合题意.故答案为：﹣4.【点评】本题考查两直线平行的条件，考查运算求解能力，属于基础题.19．（5分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝14，则a2+a3＝7.【分析】由等差数列的性质，即可得出答案。【解答】解：因为在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4＝14，所以2（a2+a3）＝14，所以a2+a3＝7，故答案为：7.【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题.20．（5分）已知，且，则sinα＝.【分析】根据，且可求出sin（），再根据sinα＝sin[（）+]即可求解．【解答】解：∵，∴0＜＜，∴sin（）＝＝，∴sinα＝sin[（）+]＝sin（）cos+cos（α﹣）sin＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查和角公式以及平方关系，难度不大．三、解答题：本大题共4小题，其中第21，22，23，题各12分，第24题14分，满分50分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）21．（12分）已知等差数列{an}满足a1＝1，a2+a4＝10．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前10项和．【分析】（1）设等差数列的公差为d，则a2+a4＝2a1+4d＝10，又a1＝1，解得d，即可得出答案.（2）由（1）得bn＝＝＝n，计算bn+1﹣bn，由等差数列的定义可得{bn}是等差数列，且公差为1，再由前n项和公式，即可得出答案.【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，所以a2+a4＝a1+d+a1+3d＝2a1+4d＝10，又因为a1＝1，所以d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1（n∈N+）.（2）由（1）得an＝2n﹣1（n∈N+），所以bn＝＝＝n，所以bn+1﹣bn＝n+1﹣n＝1，所以{bn}是等差数列，且公差为1，所以b1＝1，所以{bn}的前n项和为，所以.【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项公式，属于基础题.22．（12分）（1）在△BCD中，BC＝3，，，求cosB的值；（2）在△ABC中，BC＝3，∠A＝30°，∠B＝45°，求AC的长。【分析】（1）由余弦定理代入数据计算即可；（2）先求得B，再由正弦定理可得解.【解答】解：（1）因为在△BCD中，BC＝3，，，所以由余弦定理得.（2）由正弦定理可得，，则，则.【点评】本题考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.23．（12分）在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，点D，E，F分别在AC，BC边上，DE∥AB，DF⊥