思想篇　数学思想方法的应用 【正文】听课手册

思想一函数与方程思想函数思想就是运用运动和变化的观点去分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.如求数列中的项或最值、求解三角形中的最值范围问题、求不等式中的参数、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题.方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析问题、转化和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题.1.[2022·新高考全国Ⅱ卷]设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为.

[解法关键]首先求出直线AB的斜率,然后求解直线AB关于直线y=a对称的直线l的方程,利用圆的圆心到直线l的距离小于或等于半径,列出不等式求出a的取值范围.答案为132.[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是 ()A.18,814 C.274,643 [解法关键]画出图形,由题意可求出球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为a,高为h,由l与h的关系及l的取值范围求出h的取值范围,结合a2=12h-2h2,得到正四棱锥的体积V(h)=-23h3+4h2,利用导数即可求出V(h)的取值范围.答案为C1.[2023·漳州三模]已知数列{an}为递减的等比数列,n∈N*,且a2a7=32,a3+a6=18,则数列{an}的公比为 ()A.12 B.C.235 D2.[2023·北京东城区一模]已知正方形ABCD的边长为2,P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点,且满足PA·PB=0,则CP·DP的取值范围是 ()A.(0,8] B.[0,8)C.(0,4] D.[0,4)3.[2023·邵阳二模]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,半焦距为c.在椭圆上存在点P使得asin∠PA.[2-1,1) B.(2-1,1)C.(0,2-1) D.(0,2-1]4.[2023·杭州模拟]已知正实数a,b满足8(b+1)3+6b+1≤a3+3a,则

思想二数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化.数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题、参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题.1.[2021·新高考全国Ⅰ卷]若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ()A.eb<a B.ea<bC.0<a<eb D.0<b<ea[解法关键]画出函数的图象,判断点(a,b)与函数的图象的位置关系,即可得到结果.答案为D.2.[2023·全国甲卷]已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>= ()A.-45 B.-C.25 D.[解法关键]根据a+b+c=0与|a|=|b|=1,|c|=2,作出图形,根据几何意义求解.答案为D.1.[2023·华中师大附中模拟]设F1,A分别是椭圆x216+y27=1的左焦点和右顶点,点P为椭圆上异于A点的任意一点,则使得PF1·PA=0成立的点A.1 B.2C.3 D.42.已知点F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A是椭圆上一点,点O为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆A.58 B.54 C.13 3.[2023·北京西城区一模]设c∈R,函数f(x)=x-c,x≥0,2x-2c,x<0.A.(0,1) B.{0}∪[1,+∞)C.0,D.{0}∪14.[2023·昆明一诊]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是抛物线C上位于第一象限内的点,过点P作斜率为34的直线交C的准线于点Q,点P在准线上的射影为R,当∠PQR=∠PQF时,|PF|=

思想三分类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.其研究的基本方向是“分”,但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起.使用分类讨论思想应明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,不重不漏,分类标准统一;三是明确分类讨论的步骤.常见的分类讨论问题有以下几种:(1)由概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;(3)由数学运算引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论.1.[2021·全国乙卷]设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则 ()A.a<b B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2[解法关键]分a>0和a<0两种情况,结合三次函数的性质及图象,通过图象发现a,b的大小关系,进而得出答案.答案为D.2.[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).

[解法关键]分类讨论选修2门或3门,对选修3门,再讨论具体选修课的分配,结合组合数运算求解.答案为64.1.[2023·北京东城区一模]已知a1,a2,a3,a4,a5成等比数列,且1和4为其中的两项,则a5的最小值为 ()A.-64 B.-8C.164 D.2.[2023·北京西城区一模]已知双曲线C的中心在原点,以坐标轴为对称轴,则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线方程为y=3x”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.[2023·汕头一模]在x+2x-y10的展开式中4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=(x-2a)ex+2a2-4.若f(x)的图象与x轴恰有三个交点,则实数a的值为.

思想四转化与化归思想转化与化归思想是指在研究解决数学问题时,采用某种手段将问题转化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为容易求解的问题,将较难的问题化归为较简单的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题,简单说就是化“生”为“熟”.常见的转化与化归思想的应用具体表现在:将抽象函数问题转化为具体函数问题,立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题,“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维,空间与平面的转化,相等问题与不等问题的转化等.1.[2023·全国乙卷]已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=2,则PA·PD的最大值为 ()A.1+22 BC.1+2 D.2+2[解法关键]设∠APD=α,利用平面向量的数量积定义可得PA·PD=12+22sin2α+π42.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷]若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 ()A.x+y<1 B.x+y≥-2C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2[解法关键]原等式可化为x-y22+32y2=1,进行三角代换,令x-y2=cosθ,31.已知实数x,y满足x2+4y2=5,则x+2y的最大值为 ()A.10 B.5C.6 D.32.现将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,要求A,B相邻,且B,C不相邻,则不同的排列方式有 ()A.192种 B.240种C.120种 D.28种3.已知cosα+π3=-513,则sin7π6-α-A.-513 B.