考点06分式方程（原卷版）

考点六分式方程知识点整合1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．考向一解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．典例引领1．解方程：．2．解下列方程(1)(2)3．（1）先化简，再求值：，其中满足方程．（2）解方程：．4．计算题和解方程：(1)计算：；(2)分解因式：；(3)解分式方程：．5．（1）因式分解：（2）解关于x的分式方程：6．解方程：(1)；(2)．7．（1）解方程：．（2）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务：解：去分母，得，第一步去括号，得，第二步移项，得第三步合并同类项，得，第四步……任务：①填空：上述解题过程中，第一步是依据___________进行变形的，第________步出现错误，错误的原因是：____________；②请直接写出该分式方程的正确解；③除了任务中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议．8．解下列方程：(1)；(2)．9．解方程：．10．解分式方程：变式拓展1．已知关于的分式方程．(1)当时，求此时方程的根；(2)若方程的解为负数，求k的取值范围．2．（1）计算：；（2）解方程：3．（1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中．4．解分式方程：5．解分式方程：(1)；(2)．6．解方程：(1)．(2)．7．解下列分式方程(1)；(2)．8．解方程：．考向二分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例引领1．已知关于的分式方程．(1)若这个方程的解是正数，请求出取值范围；(2)若这个方程无解，请你直接写出的值．2．已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围．3．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围．4．已知关于x的分式方程．(1)若分式方程的解是，求a的值；(2)若，求分式方程的解．5．已知关于x的分式方程．(1)当时，求分式方程的解；(2)求m为何值时，分式方程无解．6．已知关于x的分式方程(1)若分式方程有增根，求m的值；(2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围．7．已知关于x的分式方程．(1)若方程的增根为，求a的值；(2)若方程无解，求a的值．8．已知关于x的方程，若该方程无解，试求m的值．9．已知关于x的分式方程．(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何整数时，分式方程无解．10．若分式方程无解，求a的值．变式拓展1．已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值．2．已知关于的方程．(1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值；(2)若该方程的解为负数，求的取值范围．3．若数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和．4．关于的方程的解为非负数，则的取值范围5．已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围6．（1）先化简，再求值：，其中．（2）若分式方程无解，求的值．7．解方程：(1)解方程：；(2)解方程：；(3)关于x的分式方程．①若方程的增根为，求m的值；②若方程有增根，求m的值；③若方程无解，求m的值．