高等数学微积分公式大全

高等数学微积分公式大全

一、基本导数公式

(D(c)'=O⑵x"=⑶(sin%)"=cosx

⑷(cosx)'=-sinx(5)(tanx)=sec2x(6)(cotx)=-csc2x

⑺(secx)=secx-tanx(8)(cscx)=-cscx-cotx

⑼(/)=ex(10)(/)=axIna(lD(lnx)'=>

(12)(logx)=-------(13)(arcsinx)=.(14)(arccosx]-——/

、)xinaV)71^7I)VlT?

/?1％1

(15)(arctanx)=------(16)(arccotx)'=—⑰()'=1⑱

、)\+x272\[x

二、导数的四则运算法则

(w±v)=uf±vf(wv)

三、高阶导数的运算法则

(1)[〃(x)±v(x)](，，)=〃±v(x)(，，)

(3)+=a"〃⑺(ox+b)(4)"(%)](")=Z("»伏)(%)

k=0

四、基本初等函数的n阶导数公式

(1)(xrt)W=n!(2)(产叶")=优.*+6⑶(优产)=，ln%

(4)[sin(ox+Z?)r)=ansinax-^b+n-(5)[cos(or+/?)]"=ancosax-vb-^n--

I2J

(1V)/a"nl

⑹除J=(f而可⑺阿奴+知⑺.1广詈答

yax+b)

五、微分公式与微分运算法则

(1)d(c)=0⑵d(M)=jux^dx(3)d(sinx)=cosxdx

(4)d(cosx)=-sinxdx⑸J(tanx)=sec2x(d6x)d(cotx)=-esc2xdx

(7)d(secx)=secx-tanxdx(8)d(escx)=—escx-cotxdx

(9)d(e*)=exdx(10)d(优)=a”Inadx(11)d(lnx)=—dx

---dx(13)(/(arcsinx)(14)t/(arccosx)

⑫"(*)=x\na

11

(15)J(arctanx)dx(16)J(arccotx)=dx

1+x21+x2

六、微分运算法则

⑴d(〃士u)=d"±du(2)d(cu)=cdu

,、vdu—udv

(3)d(〃u)=vdu+bidv⑷

七、基本积分公式

⑴[kdx=kx+c⑵jxpdx=-----+c(3)j—=In|x|+c

xxx

(4)fadx-———FC(5)Jedx=e+c(6)cosxdx=sinx+c

JIna

(7)Jsinxdx=—cosx+c⑻[---r-dx=fsec2xdx-tanx+c

Jcos-xJ

(9)f——--=[esc2AzZx=-cotx+c(10)f---^dx=arctanx+c

Jsin2xJJ1+x2

f1

(11)J「一dx=airsinx+c

八、补充积分公式

Jtanx4Zx=-ln|cosx|+cJcotxdx=In|sinx|+c

jsecxdx=In|secx+tanx|+cjescxdx=In|cscx-cotx|+c

r1,1x1,1.x-a

----=—arctan—+c-----dx=—In-----Fc

JQ-+x~aax-a2aX+Q

1.x22

/dx=arcsin—+c一,dx-Inx+Vx+a+c

77^7a

九、下列常用凑微分公式

积分型换元公式

u=ax+b

+=—jf(ax+6口(ax+b)

J/（x"产八）小”已）u=xp

j/(Inx)•—=j/(in(inx)w=lnx

u-ex

ISu=ax

j“sinx)•cosxdx=j/(sinx)d(sinx)u=sinx

u-cosX

J/(cosx)•sinxdx=-J/(cosxyJ(cosx)

〃

j/(tanx)-sec2xdx=j/(tanx)J(tanx)=tanx

jf(cotx)•esc2xdx=j/(cotx)d(cotx)u=cotx

j/(arctan%)--公=J/(arcSnxR(arcsnx)

u=arctanx

j/(arcsinxj--^=dx=^f(arcsinx)d(arcsinx)〃=arcsinx

十、分部积分法公式

⑴形如公，令〃=炉，dv=e<lxdx

形如Jx"sinxdx令〃=x〃，dv=sinxdx

形如Jx〃cosxdx令〃=x",dv=cosxdx

⑵形如Jxnarctanxdx,令〃=arctanx,dv-xndx

形如Jx〃lnx6^,令〃=lnx,dv=xnclx

⑶形如Je"'sinxdx,je"cosxdx令〃=,sinx,cosx均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式

(l)da2-x2x=asint(2)yja2+x2x=atant(3)dx2-a2x=asect

【特殊角的三角函数值】

(1)sin0=0(2)sin-=—(3)sin—=—(4)sin—=1)(5)sin=0

62322

乃乃］冗

(1)cosO=l(2)cos—=(3)cos—=—(4)cos—=0)(5)cos^=-l

62322

(1)tan0=0(2)tan—=—(3)tan—=\/3(4)tan工不存在(5)tan〃=0

6332

71

(1)cotO不存在(2)cot—=G(3)cot—=——(4)cot—=0(5)cot乃不存在

6332

十二、重要公式

/八「sinx1

(1)lim------=1(2)lim(l+xK=e(3)lim布(a>o)=l

71.冗

(4)limVn=1(5)limarctanx=—(6)limarctanx-----

n->ooE2XTf2

(7)limarccotx=0(8)limarccotx=7C(9)limex=0

Xf30XT一/

(10)liinex=00(11)limx”=1

XT0+

fon=m

%

rM+a"-'+

(12)lim——[X工二0n<m(系数不为0的情况)

,n

5MM+blx-'++粼

00n>m

十三、下列常用等价无穷小关系(Xf0)

10

sinxxtanxxarcsinxxarctanxx1-cosx—X

2

ln(l+x)xex-1xax-1x\na(l+x)—1dx

十四、三角函数公式

1.两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tanA+tanBtanA-tanB

tan(A+B)=tan(A-B)=

1-tanAtanB1+tanAtanB

cotA-cotB-1cotA-cotB+1

cot(A+B)cot(A-B)=

cotB+cotAcotcotA

2.二倍角公式

sin2A=2sinAcosAcos2A=cos12A-sin2A=l-2sin2A=2cos2A-l

2tanA

tan2A=

1-tan2A

3.半角公式

A/I-cosAsinA

tan——=J-----------=------------

2，1+cosA1+cosA

4.和差化积公式

i+ba-b3a+h.a-b

sina+sin。=2sin-------cos--------sin«-sinZ?=2cos--------sin--------

2222

a+ba-b-.a+h.a-b

costz4-cosZ?=2cos--------cos--------cos。一cosh=-2sin--------sin--------

2222

,sin(a+b)

tana+tan。=----

cosa•cosh

5.积化和差公式

sinasinb=-g[cos(a+Z?)-cos(a-/?)]

COScos/?cos(a+0)+cos(a-/7)]

2

cosasinb=g[sin(a+6)-sin(a-/?)]

sinacosb=：[sin(a+b)+sin(。一/7)]

6.万能公式

12a

2tan—1-tan—2tan—

.