2023-2024学年四川省成都市嘉祥外国语学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023.2024学年四川省成都市嘉祥外国语学校九年级（上）入学

数学试卷

1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人

民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美

情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.若a<b,c<0,则下列结论正确的是（）

A.-a<-bB.->-C.a+c>b+cD.ac2>be2

cc

3.若分式身的值为0,则％的值为（）

A.-3B.3C.D.Y

22

4.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A.6B.7C.8D.9

5.下列说法正确的是（）

A.三条边相等的四边形是菱形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

6.如图，△ABC中，乙4cB=90。，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC,使点B的对应

点。恰好落在48边上，AC,ED交于点、F.若4BCD=50°,则/EFC的度数为（）

A

B.100°C.105°D.110°

7.如图，直线丫=一％+6和丫=忆％-3交于点「，根据图象可知上％-3〈一%+/）的解集为（）

A.x>1B.%<1C.0<x<1D.-2<%<1

8.如图，菱形04BC的边长为2,4Aoe=45。，则点8的坐标是（）

A.(2/1,2)

B.(2+<2,2/7)

C.（女2+

D.（2+S,<7）

9.因式分解：12abe2—3ab=.

10.一个n边形有20条对角线，贝加=.

11.关于x的方程与+守=3有增根，则m的值为____.

x—22—x

12.如图，在△ABC中，NC=90。，AC=5,BC=FD

12.以4B为一边在4ABC的同侧作正方形48DE,

则图中阴影部分的面积为.

亲子装的售价均为130元/套.

(1)求2020年“幸福牌”亲子装的进价；

(2)若该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？

25.如图，直线八丫=k无+匕(卜工0)与坐标轴分别交于点力，B,以。4为边在y轴的右侧作

(1)求直线，的解析式；

(2)如图1,点。是X轴上一动点，点E在的右侧，NACE=90。，AD=DE.

①当4E+CE最小时，求E点的坐标；

②如图2,点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，EL^HAC=ABAD,请求出点H的

坐标.

26.⑴发现：如图1,正方形4BCD中，点七在(7。边上，将△4DE沿4E对折得到AAFE,延

长EF交BC边于点G,连接4G.证明：BG+DE=EG.

(2)探究：如图2,矩形ABCD中AD>AB,。是对角线的交点，过。任作一直线分别交BC、AD

于点M、N,四边形力MNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN,若△CDN的面积与

△CMN的面积比为1：3,求霁的值.

(3)拓展：如图3,在菱形4BCD中，AB=6,E为CC边上的三等分点，3=60。.将4ADE沿AE

翻折得到△AFE,直线EF交BC于点P,求PC的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

8.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C.原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

D原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

故选：D.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某

一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，

这个点就是它的对称中心.

2.【答案】B

【解析】解：a<b,两边同时乘以一个小于0的值-1,可得-a>-b,故A错误，不符合要求;

a<b,两边同时除以一个小于0的值c,可得@>2故8正确，符合要求；

CC

a<b,两边同时加上c,可得a+c<b+c,故C错误，不符合要求；

a<b,两边同时乘以一个大于0的值c2,可得叱2<加2,故。错误，不符合要求；

故选：B.

根据不等式的性质进行判断即可.

本题考查了不等式的性质.解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用.

3.【答案】B

【解析】解：•.•分式呆的值为0,

2%-5

•••%—3=。且2x—5彳0,

解得工=3,

故选：B.

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此可得x的值.

本题主要考查了分式值为零的条件，解题时注意：“分母不为零”这个条件不能少.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解

决.

根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.

【解答】

解：多边形的外角和是360。，根据题意得：

180°•(n-2)=3x3600

解得71=8.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】解：4四条边相等的四边形是菱形，故原命题错误；

8、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；

C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误；

。、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，

故选：B.

利用菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定方法，解题的关键是了解有关的判定定理，难度

不大.

6.【答案】C

【解析】解：由旋转的性质可知，BC=CD,乙B=AEDC,乙4=NE,乙4CE=NBCD,

•••ABCD=50°,

・・.Z.B=乙BDC=18Q0~500=65°,Z-ACE=50°,

・・•乙ACB=90°,

.・・乙4=90°一乙B=25°.

・・・乙E=25°.

・・・乙EFC=180°-Z,ECF-乙E=105°.

故选：C.

由旋转的性质可知，BC=CD,乙B=乙EDC,NA=4E,Z.ACE=乙BCD,可得NB=4BDC=65°,

AACE=50°,由三角形内角和可得，〃=90。-48=25。.从而得到NE=25。.再由三角形内角和

【解析】(1)通过SAS证明AZCD三ZkBCE,从而证明结论：

(2)连接AD,8E交于点K,4D与BC交于点R,由(1)可知NC4D=4CBE,证出DE=BD,由等腰

直角三角形的性质可得出结论；

(3)过点。作OP10M,且OP=0M,连接PM、PC,并延长PC交0M于点Q,交QM于点”,连接0C,

ilAP0CN4MOB(SAS),得CP=BM,乙OPC=NOMB,再证/PQM=4PoM=90°,则4CMQ是

等腰直角三角形，设CQ=MQ=x，贝iJPQ=x+5，N，然后在RtzxPQM中，由勾股定理得出方

程，解方程即可得出答案.

本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

19.【答案】5

【解析】解：x=V-5+1,

(x+I)2-4(x+1)+4

=(X+1—2)2

=(x—l)2

=(V~5+1-1)2

=(C)2

=5.

故答案为：5.

先根据完全平方公式得出。+I)2-4(%+1)+4=(x+1-2)2=(x-1)2,再代入求出答案即

可.

本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键.

20.【答案】10

【解析】解：关于4的不等式组整理得｛：：：+1，

而不等式组的解集为XW3,

・•・Q+1>3

・•・Q>2,

解分式方程得x=二且二=2,

a-1a-1

・•・关于X的分式方程有整数解，且a为整数，

符合条件的所有整数a为3,7,

p

Ar--%…。

•••四边形4BCD为正方形，且边长为4,点E为4。的中点

"=90°,AE=ED=2,

在RtAAGE中，由勾股定理得：GE=VAG2+AE2=2^，

由剪拼可知：PE=GE,PD=AG,

：.GP=2GE=4<2':

②当PG=PQ时，如图：

••・四边形4BCD为正方形，且边长为4,

:.AB=CD=4,

由剪拼可知：PD=AG,QC=BG,

・・・PQ=PDDC+QC=AG+DCBG=ABCD=8；

③当QG=QP时，如图：

同②可得QP=8.

综上所述：拼成的等腰三角形的腰长为44乏或8.

分三种情况进行讨论：①当GP=GQ时，此时点G为4B的中点，则AG=BG=2,由勾股定理求

出GE=2，N,再由由剪拼可知PE=GE,PD=AG,据此可得求出GP的长；②当PG=PQ时，

由剪拼可知PD=4G,QC=BG,进而得PQ=AB+CC,据此可得出答案；③当QG=（?「时・，同

②可得出答案.

此题主要考查了图形的剪拼，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，找准剪拼后图形各部分之

间的关系是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点.

24.【答案】解：（1）设2020年“幸福牌”亲子装的进价是x元/套，则2022年“幸福牌”亲子装的

进价是（工一11）元/套，

.得

根据题意,105009400

Xx-11

解得：X=105,

经检验，X=105是原方程的解，且符合题意.

答：2020年“幸福牌”亲子装的进价是105元/套；

（2）2020年及2022年购进“幸福牌”亲子装的数量为10500+105=100（套）.

设该商店每年销售这种“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率为y,

依题意，得:（130-105）x100（1+y）2=（130-105+11）x100,

解得：Xj-0.2=20%,x2——2.2（不合题意，舍去）.

答：该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率为20%.

【解析】⑴设2020年“幸福牌”亲子装的进价是x元/套，则2022年“幸福牌”亲子装的进价是

（X-11）元/套，根据数量=总价+单价结合2020年和2022年购入数相同，即可得出关于x的分式

方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）利用数量=总价+单价可求出2020年及2022年购进的数量，设该商店每年销售“幸福牌”亲子

装所获利润的年增长率为y，根据2010年及2022年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程,

解之取其正值即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列

出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

25.【答案】解：⑴•••四边形40BC为正方形，

设OA=OB=AC=BC=a,

S^AOB=^,xOA-OB=ja2=8,

解得：a=2(负值己舍去).

即做0,4),B(4,0),

由点4、B的坐标得，直线2的表达式为：y=—x+4：

(2)①过点E作EFLx轴，如图,

由题意可得：/-AOD=ADFE=AADE=90°,

•••Z.ADO+Z.EDF=Z.ADO+Z.OAD=90°,

:.Z-OAD=(EDF,

•••△4ODW2\DFE(>L4S),

DF=OA=4,EF=OD,

・・・BF=DF-DB=OA-DB=OB-DB=OD,

・・・EF=BF,

设E®y),则O(y,0),F(%0),

由题意可得：。尸=。。+。尸=。。+。4

即y=%—4,

・••点E在定直线y=x-4上，如下图：

作点4关于直线y=x-4的对称点T,交直线y=x-4于点T,则此时4E+CE=ET+EC=CT最

小，

根据图象的对称性，点4关于x轴的对称点G(0,-4),则点7(8,-4),

由点4、T的坐标得，直线47的表达式为：y=-2x4-12,

联立y=x—4和上式并解得：x=y,

则点E(¥，《)；

•••四边形。2CB为正方形，

•••/-BAC=ADAE=45°,

•••/.EAC=^BAD,止匕时点H与点E重合,

由①可得E(6,2),

•••”(6,2),

由点4、E的坐标得：直线4E为y=—：久+4,

当X=4时，y=热

•••点M(4,|),

作点M关于直线4c的对称点N,

・••N(4,学),

此时NM4C=4EAC=/.BAD,

•••点H为直线AN与BE的交点，

二直线4V为y=+4,

1

联立y=-x+4和y=x-4并解得：x—12,

即H(12,8).

综上，点”坐标为(12,8)或(6,2).

【解析】(1)由S-08=gxOA-OB=3a2=8,得到4(0,4),8(4,0),即可求解；

(2)①证明点E在定直线y=%-4上，作点4关于直线y=%-4的对称点T,交直线y=x-4于点

T,则此时人后+0后二后丁+石^二仁丁最小，即可求解；

②连当点H与点E重合，符合题设条件；证明点H为直线AN与BE的交点，进而求解.

本题考查了一次函数的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点的对称性，

等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质.

26.【答案】(1)证明一•四边形48CD是正方形，

乙

:.Z.D=B=90°,AD=AB9

由翻折的性质得：AD=AFfDE=EF,Z,AFE=zD=90°,

・・・AB=AF,^AFG=Z.AFE=90°,

・・・乙B=Z.AFG=90°,

在Rt△ABG^Rt△4尸G中，

(AB=AF

lAG=AG9

・•・Rt△ABGzRt△AFG(HL),

.・.BG—GF,

：.BG+DE=GFEF=EG；

(2)解：由翻折的性质得，AM=CM,AE=CD,乙E=(D,乙AMN=^CMN,

在AANE与△CND中，

(^ANE=乙CND

\z.E=Z-D,

\AE=CD

••・△4NEwZkCND(44S),

・・・AN=CN,

•・,四边形4BC0是矩形，・・.4D〃BC,

・・・乙ANM=乙CMN,

・・・乙AMN=乙ANM,

:.AM=AN=CM=CN,

••・S^AMN~S〉CMN=qCM•CD,

又S&CDN：S&CMN=1：3,SACDN=QDN.CD,

.^DNCD_DN_1

••^CMCD~CM~3"

设DN=k,贝iJCN=CM=3k,

如图2,过点N作NG1MC于点G,

图2

则四边形CDNG为矩形，

:.CG=DN=fc,MG=CM-CG=3k-k=2k,

NG=VCN2-CG2=7(3k)2-/c2=2\T2k,

MN=VMG2+NG2=J(2k)2+[2^~2k}2=2口公

.竺=江=2c

"DN~k-"VS'

(3)解：•••四边形力BCD是菱形，

AB=AD=DC=6,AD!IBC,

①如图3,当。/=3。（7=4义6=2时，延长FE交4。于点Q,过点Q作QH1C。于点“，过点E作

EM1AQ于点M,作ENJ.AF于点N,过点4作AR_LFQ于点R,

P

设。Q=%,QE=y,

则4Q=4D—DQ=6一%,

•・•CP//DQ,

CPE~2DQE,

CP__CE_

DQDE'

CP—2DQ=2x,

由翻折的性质得：EF=DE=2,AF=AD=6,/,QAE=Z.FAE,

・•・4E是平分“4凡

・・・EM=EN,

•••SMQE=\AQ-EM=\QE-AR,SAAEF=\AF-EN=\EF-AR,

.\AQ-EM_^QEAR

“^AF-EN-^EF-AR

...AQ=QEf

AFEF

・•・y=r2-1-x,

vZ-D=60°,

DH=^DQ=^x,

■-HE=DE-DH=2-卜，HQ=7(2DH)2-£)H2=\T1DH=1X,

在RtAHQE中，由勾股定理得：HE2+HQ2=EQ2,

即(2-2x)2+(?x)2=y2,

Vy=2c—-1X,

解得：=I，%2=。（不合题意，舍去），

33

・•・PC=2x3=未

42

②如图4,当（^=；。。=：*6=2时，延长尸E交4。于点Q',过点Q'作Q'H'J.CD于点H',

则DE=4,

设。Q'=x',Q'E=y',

则AQ'=AD+DQ'=6+x',

CP//DQ',

・•・△CPE〜二DQ'E,

.CP_CE_1

：，~DQi='DE=2,

：.CP=\DQ'=\x',

由翻折的性质得：EF=DE=4,AF=AD=6,^.Q'AE=^EAF,

同理丝:=四

AFEF

即空=匕

64

7

.・・y=4+-%7,

VZ-CDA=乙Q'DH'=60°,

DH'=\DQ'=\x,

:,H'E=DE+DH'=4+H'Q'=y/~3DH'=孚/，

/z

在RtaH'Q'E中，由勾股定理得：H'Q'2+H'E2=EQ'2,

即(?/)2+(4+#)2=产，

9

•••y'=4+|x\

解得：x'i=装，X'2=0(不合题意，舍去)，

“1126

••-PC=2XT=5；

综上所述，PC的长为|或去

【解析】(1)由正方形的性质得ND=NB=90。,AD=4B,再由翻折的性质得4D=AF,DE=EF,

AAFE=4。=90°,则4B=AF,NB=^AFG,